4/25/2015E. Giovannetti -- OI09.1 Olimpiadi di Informatica 2010 Giornate preparatorie Dipartimento di Informatica Università di Torino marzo – Programmazione dinamica: i numeri di Fibonacci. (versione 25/04/2015)

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.282 I numeri rossi sulla Mole Antonelliana a Natale Che numeri sono ?

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.283 I conigli di Leonardo di Pisa, figlio di Bonaccio. Leonardo Pisano, o Leonardo Fi(lius)bonacci all'istante 0, nessun coniglio: 0 coppie; alla fine del 1 o anno, compra 1 coppia di coniglietti; alla fine del 2 o anno: i coniglietti sono diventati conigli adulti: 1 coppia alla fine del 3 o anno: la coppia adulta genera una coppia di coniglietti: 2 coppie alla fine del 4 o anno: la coppia adulta genera una coppia di coniglietti: 3 coppie; i coniglietti dell'anno prima sono diventati adulti; alla fine del 5 o anno: le 2 coppie adulte generano ciascuna una coppia di coniglietti: 3+2 = 5 coppie;...

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.284 Le regole della riproduzione dei conigli. Nessun coniglio muore mai (i conigli sono immortali). I conigli diventano adulti (e cominciano a riprodursi) soltanto al secondo anno di vita. Ogni coppia adulta genera 1 coppia di coniglietti all'anno, per sempre.

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.285 (continua) Allora, dopo n anni: num. di coppie = num. di coppie esistenti 1 anno prima + num. di nuove coppie generate; ma: num. di nuove coppie = num. di coppie adulte 1 anno prima = = num. di coppie esistenti 2 anni prima quindi: num. di coppie = num. di coppie esistenti 1 anno prima + num. di coppie esistenti 2 anni prima.

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.286 L'albero dei conigli La riproduzione dei conigli può essere descritta dall'albero seguente:

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.287 I numeri rossi sulla Mole Antonelliana fib 0 = fib(0) = 0 fib(1) = 1 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.288 L'n-esimo numero di Fibonacci: algoritmo ricorsivo long fib(int n) { if(n == 0) return 0; else if(n == 1) return 1; else return fib(n-1) + fib(n-2); } Tempo di calcolo: cresce esponenzialmente con n ! La funzione ricalcola molte volte gli stessi valori !

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.289 Rappresentazione grafica delle eq. di ricorrenza (albero di ricorsione) + fib(n-1)fib(n-2) fib(n) = fib(1) 1 =

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez fib(n) = + fib(n-2)fib(n-3) + fib(n-4) liv. 0 liv. 1

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez fib(n) = + + fib(n-3)fib(n-4) + fib(n-5) + + fib(n-4)fib(n-5) + fib(n-6) liv. 0 liv. 1 liv. 2 liv. 3 eccetera

Ricorsione con memorizzazione. Memorizziamo i risultati delle chiamate ricorsive, e non ricalcoliamo i valori già calcolati in una chiamata precedente: int* ris; long fib(int n) { if(n == 0) return 0; if(n == 1) return 1; if(ris[n] == 0) ris[n] = fib(n-1) + fib(n-2); return ris[n]; } long fibmemo(int n) { ris = new int[n+1]; //for(int i = 0; i <= n; i++) ris[i] = 0; return fib(n); } 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2812

Iterazione Si può sostituire la ricorsione con l’iterazione; inoltre è sufficiente tenere solo i due ultimi numeri calcolati. L’algoritmo che così si ottiene è in realtà l’algoritmo che si ottiene direttamente pensando al modo in cui effettuiamo il calcolo noi esseri umani. 25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2813

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2814 L'algoritmo intuitivo Infatti, se calcoliamo a mano la sequenza di Fibonacci, usiamo un ovvio algoritmo lineare: sommiamo i due ultimi numeri ottenuti, e otteniamo un nuovo ultimo numero della sequenza, ma non buttiamo via il precedente; invece la procedura ricorsiva, per calcolare fib(n-2) + fib(n-1) calcola due volte fib(n-2), a sua volta per calcolare fib(n-2) calcola due volte fib(n-4)... ripete inutilmente i calcoli ! Proviamo a implementare l'algoritmo "manuale" intuitivo per mezzo di una procedura iterativa.

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2815 L'n-esimo numero di Fibonacci: algoritmo iterativo. Per calcolare l'n-esimo numero occorre aver calcolato tutti i precedenti, e ad ogni passo si usano gli ultimi due. Servono allora tre variabili: i, ultimo, penult INVARIANTE ultimo è l' i -esimo numero di Fibonacci; penult è l'( i- 1)-esimo numero di Fibonacci. CORPO DEL CICLO ultimo + penult diventa il nuovo ultimo, il vecchio ultimo diventa il nuovo penult: nuovoUltimo = ultimo + penult; penult = ultimo; ultimo = nuovoUltimo; i++;

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2816 Test del ciclo Si esce quando i = n : in tal caso, evidentemente, ultimo è l'n-esimo numero di Fibonacci; quindi: while(i < n) Inizializzazione 0 è lo 0-esimo numero di Fibonacci; 1 è... l'1-esimo numero di Fibonacci; Allora, ricordando l'invariante: ultimo è l' i -esimo numero di Fibonacci, penult è l'( i- 1)-esimo numero di Fibonacci, si vede che l'inizializzazione deve essere: i = 1; penult = 0; ultimo = 1;

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2817 La procedura completa long fibonacci(int n) { long penult = 0; long ultimo = 1; if(n <= 0) return 0; for(int i = 1; i < n; i++) { long nuovoUltimo = ultimo + penult; penult = ultimo; ultimo = nuovoUltimo; } return ultimo; } osserva che vecchio ultimo è uguale a nuovoUltimo - penult quindi si potrebbe scrivere: long nuovoUltimo = ultimo + penult; penult = nuovoUltimo – penult; ultimo = nuovoUltimo;

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2818 La procedura completa static long fibonacci(int n) { long penult = 0; long ultimo = 1; if(n <= 0) return 0; for(int i = 1; i < n; i++) { long nuovoUltimo = ultimo + penult; penult = ultimo; ultimo = nuovoUltimo; } return ultimo; } osserva che vecchio ultimo è uguale a nuovoUltimo - penult quindi si potrebbe scrivere: long nuovoultimo = ultimo + penult; penult = nuovoultimo – penult; ultimo = nuovoUltimo;

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2819 L'n-esimo numero di Fibonacci: algoritmo iterativo. Versione finale. static long fibonacci(int n) { long penult = 0; long ultimo = 1; if(n <= 0) return 0; for(int i = 1; i < n; i++) { ultimo = ultimo + penult; penult = ultimo - penult;// = vecchio ultimo } return ultimo; }

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2820 La sequenza di Fibonacci: versione finale. Naturalmente se, come nel caso della Mole Antonelliana, vogliamo in output non solo l'n-esimo numero, ma l'intera sequenza dei primi n numeri di Fibonacci, non calcoliamo separatamente ogni numero ! PRECOND: n > 1 static long[] sequenzaDiFib(int n) { // sequenza degli n+1 numeri di Fibonacci da fib(0) a fib(n) n++; long[] a = new long[n]; a[0] = 0; a[1] = 1; for(int i = 2; i < n; i++) a[i] = a[i-1] + a[i-2]; return a; }

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2821 Numeri di Fibonacci arbitrariamente grandi Per superare la limitazione della dimensione fissa del tipo long, si può usare la classe BigInteger che permette di trattare interi di grandezza arbitraria (vedi docum. Java): static BigInteger bigFibonacci(int n) { BigInteger penult = ZERO; BigInteger ultimo = ONE; if(n <= 0) return ZERO; for(int i = 2; i <= n; i++) { ultimo = ultimo.add(penult); penult = ultimo.subtract(penult); } return ultimo; }

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2822 Esercizio Si scriva una versione della procedura sequenzaDiFib che restituisca un array di BigInteger.

25/04/ E. Giovannetti - AlgELab Lez.2823 Osservazione Ciò vuol dire che la versione ricorsiva di un algoritmo può avere complessità asintoticamente peggiore della versione iterativa ? NO ! Nonostante le apparenze, l'algoritmo ricorsivo è un algoritmo DIVERSO da quello iterativo. Il fatto è che l'algoritmo ricorsivo PIÙ NATURALE è esponenziale.