Esercizi (attrito trascurabile) Due masse puntiformi si trovano al tempo t = 0 nell’estremo A di un piano liscio, inclinato di un angolo  rispetto al livello orizzontale. Lasciando cadere verticalmente una delle masse con velocità iniziale nulla e lanciando l’altra lungo il piano con velocità iniziale v0, calcolare il valore di detta velocità affinché entrambe le masse arrivino contemporaneamente al livello orizzontale. Il punto A sia ad altezza h dalla base del piano inclinato. Siano  e  le due masse puntiformi che iniziano a muoversi (una scivolando lungo il piano, l’altra cadendo verticalmente) dal punto A. La massa  possiede un’accelerazione pari a quella di gravità g; la massa  possiede un’accelerazione proporzionale a quella di gravità g, che ha direzione normale rispetto il livello orizzontale. Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Poiché le due masse arrivano contemporaneamente al livello orizzontale, i due spazi percorsi ( AB e AC) sono compiuti impiegando lo stesso tempo t. I due sistemi di equazioni, che descrivono il moto uniformemente accelerato delle masse sono Ricavando il tempo dalla prima equazione del sistema  e sostituendolo nella prima del  si ottiene la velocità iniziale mentre le velocità delle due masse, quando raggiungono il medesimo livello orizzontale, valgono rispettivamente Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Lo spazio percorso dalle due masse vale Dagli estremi di una guida liscia di lunghezza AB = s, inclinata di un angolo  rispetto all’orizzontale, due masse puntiformi iniziano contemporaneamente a muoversi: la  viene lanciata da A con velocità iniziale v0 (parallela alla guida) e la  inizia a scivolare da B con velocità iniziale nulla. Determinare l’angolo di inclinazione  affinché le due masse si incontrino nel punto medio C della guida. Lo spazio percorso dalle due masse vale Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

dell’accelerazione di gravità g lungo la guida, ossia ed il tempo impiegato a percorrerlo dalle due masse è il medesimo. L’accelerazione delle due masse è uguale al valore della componente dell’accelerazione di gravità g lungo la guida, ossia La massa  compie un moto uniformemente decelerato, la  uno uniformemente accelerato e le rispettive equazioni del moto sono Ricavando il tempo dalla prima equazione di  e sostituendo nella prima di  si ricava l’angolo Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

e le due masse si incontreranno in C con velocità rispettivamente Attenzione: dovendo essere sin  1, vale la disuguaglianza che impone un valore massimo limite al modulo della velocità iniziale della massa . Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Esercizi (con attrito) La massa m viene lanciata su un piano scabro, inclinato di un angolo  rispetto al livello orizzontale, con velocità iniziale v0 parallela al piano. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico vale fd, determinare a quale altezza (rispetto al livello di partenza) si arresterà la massa sul piano. La presenza della forza di attrito dinamico, agente sulla massa in moto, significa che esiste una interazione fra piano inclinato e massa che non può essere descritta usando un procedimento puramente cinematico. Scelta del sistema di riferimento: sistema a due assi, uno parallelo al piano e concorde con la direzione del moto (direzione tangenziale); l’altro normale a questo. Diagramma di corpo libero e analisi delle forze Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

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la forza di attrito dinamico vale la forza peso ha direzione normale all’orizzontale e presenta due componenti rispetto agli assi del riferimento l’azione esercitata dalla massa sul piano è pari a Pn e la reazione del piano sulla massa è uguale a Pn, ma di verso opposto la forza di attrito dinamico vale Descrizione analitica del moto: la forza peso è una forza conservativa, la forza di attrito non lo è. L’applicazione del teorema dell’energia cinetica permette di risolvere il problema: il lavoro totale delle forze agenti sulla massa, quando si sposta dalla posizione iniziale A a quella finale B, è uguale alla variazione di energia cinetica calcolata alla posizione finale ed iniziale. Si osservi che in B la massa si ferma, quindi TB = 0 Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

alla quale corrisponde lo spazio Sostituendo i valori nel teorema si ricava la quota raggiunta dalla massa, rispetto al livello iniziale alla quale corrisponde lo spazio Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Se la forza di attrito fosse trascurabile (Fd = 0), i due valori corrisponderebbero a quelli ottenibili lanciando verticalmente la massa con la stessa velocità iniziale (infatti la forza peso è conservativa ed il suo lavoro è indipendente dal tipo di traiettoria percorsa). Il valore della decelerazione si ricava applicando la II legge della dinamica dalla quale si ricava Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Risolvere il problema 1) nel caso di un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito dinamico fd. Facendo riferimento al disegno delle vignetta 2, le due masse sono  = m1 (con accelerazione g, moto rettilineo verticale),  = m2 (con accelerazione a2 proporzionale a g, moto rettilineo uniformemente accelerato). Arrivando contemporaneamente al livello orizzontale, il tempo impiegato a percorrere le due traiettorie AB e AC è lo stesso. Le equazioni del moto sono Dalla prima equazione di  si ricavi il tempo e lo si sostituisca nella prima di  ottenendo Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

normale). Considerando unicamente la La determinazione dell’accelerazione a2 non può essere fatta tramite un procedimento puramente cinematico, a causa della presenza della forza di attrito dinamico che agisce durante il moto di m2. Diagramma di corpo libero per m2 e analisi dinamica del moto: si consideri un riferimento bidimensionale con un asse parallelo al piano e verso concorde con la direzione del moto (direzione tangenziale) e l’altro normale (direzione normale). Considerando unicamente la rappresentazione delle forze per la massa m2 (vignetta 2), si ricava l’equazione del moto applicando il II principio della dinamica essendo Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

e sostituendo si ricava La velocità iniziale, espressa dalla relazione (1), assume allora il valore e le velocità delle due masse quando arrivano contemporaneamente al livello orizzontale valgono Quest’ultimo valore si può anche ricavare applicando il teorema dell’energia cinetica alla massa m2 Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

ottenendo proprio Osservazione: se non agisse alcuna forza di attrito, i valori di accelerazione a2, velocità iniziale e velocità finale sarebbero Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

La massa m è appoggiata su un piano scabro, incernierato ad un suo estremo, che può ruotare dalla posizione orizzontale ( = 0°) a quella verticale ( = 90°). Sapendo che il coefficiente di attrito statico vale fs, determinare il massimo angolo di inclinazione del piano senza che la massa scivoli. Sia M il massimo valore dell’angolo di inclinazione del piano, rispetto al livello orizzontale. Il diagramma di corpo libero è Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Applicando il II principio della dinamica si ricava La massa non deve scivolare sul piano, quindi la sua accelerazione deve essere nulla a = 0 e le forze agenti sono Applicando il II principio della dinamica si ricava ossia Per valori maggiori di M, la massa inizia a scivolare secondo le modalità illustrate nei precedenti esercizi. Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

La massa m, appoggiata su un piano scabro (coefficiente di attrito dinamico fd) inclinato di un angolo  rispetto all’orizzontale, è sottoposta all’azione di una forza di intensità costante che forma un angolo  con la direzione del moto. Sapendo che la massa inizia a muoversi dalla base del piano con velocità iniziale nulla, calcolare la sua accelerazione e discutere le varie possibilità. Non essendo specificato come deve essere considerato l’angolo , se positivo o negativo rispetto alla direzione del moto, è importante analizzare la differenza e le implicazioni fisiche delle due possibilità. Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

 negativo (vedere figura caso a) Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

La forza di attrito dinamico ha modulo I moduli della forza peso P e la forza F hanno componenti, rispetto agli assi, definiti da La forza di attrito dinamico ha modulo ed a causa del vincolo di appoggio della massa sul piano inclinato si ha Ossia il modulo della reazione normale Na è pari alla somma delle due componenti normali Pn ed Fn (in quanto parallele e concordi). Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

 positivo (vedere figura caso b) Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

La forza di attrito dinamico ha modulo I moduli della forza peso P e la forza F hanno componenti, rispetto agli assi, definiti da La forza di attrito dinamico ha modulo ed a causa del vincolo di appoggio della massa sul piano inclinato si ha Ossia il modulo della reazione normale Nb è pari alla somma algebrica delle due componenti normali Pn ed Fn (in quanto parallele e discordi). Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Applicando la II legge della dinamica (legge di Newton) si ricava Regola generale: avendo più forze applicate ad una massa, appoggiata su una superficie qualsiasi scabra, la reazione normale della superficie sulla massa è sempre uguale alla somma algebrica del modulo delle componenti normali di tali forze e nel caso in esame Applicando la II legge della dinamica (legge di Newton) si ricava e sostituendo ai simboli i rispettivi valori si ottengono le due equazioni Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it

Il valore dell’accelerazione per le due possibilità è data da Particolarità: Se il coefficiente di attrito dinamico fosse trascurabile (fd = 0), l’accelerazione verrebbe Se il valore dell’accelerazione si annullasse (a = 0), la massa si muoverebbe di moto uniforme e l’intensità della forza applicata sarebbe Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it Dipartimento di Fisica - Politecnico di Torino vittorio.mussino@polito.it Vittorio Mussino: vittorio.mussino@polito.it