heap di Fibonacci

heap di Fibonacci Una heap di Fibonacci é un insieme di alberi (non necessariamente binomiali) con l’ordinamento parziale a heap. Gli alberi hanno una radice ma non sono ordinati. Hanno una struttura meno vincolata delle heap binomiali, permettendo di differire il lavoro di riorganizzazione della struttura.

heap di Fibonacci - Esempio min(H) 23 7 3 17 24 18 52 38 30 26 46 39 41 35 I nodi rossi sono nodi marcati, cioè nodi che hanno perso un figlio dall’ultima volta in cui erano diventati loro stessi figli di un altro nodo. Si accede all’albero da un puntatore al nodo con chiave minima (il nodo minimo)

heap di Fibonacci - Esempio Campi di ogni nodo: key data deg p child left right min(H) 23 7 3 17 24 18 52 38 30 26 46 39 41 35

heap di Fibonacci – creazione Make-Fib-Heap alloca e restituisce una heap di Fibonacci H, per la quale n[H]=0 e min[H]=NIL.

inserimento di un nuovo nodo inserisce un nodo x nella heap H Fib-Heap-Insert(H,x) deg[x]=0 p[x]=NIL child[x]=NIL left[x]=x right[x]=x mark[x]=FALSE concatena la lista delle radici contenente x con la lista delle radici di H if min[H] == NIL or key[x]<key[min[H]] then min[H] = x n[H]=n[H]+1

heap di Fibonacci - Insert - Esempio 2 min(H) 23 7 3 17 24 18 52 38 30 26 46 39 41 35

heap di Fibonacci - Insert - Esempio min(H) 23 7 2 3 17 24 18 52 38 30 26 46 39 41 35

heap di Fibonacci - Insert - Esempio min(H) 23 7 2 3 17 24 18 52 38 30 26 46 39 41 35

Estrazione del nodo minimo E’ un’operazione complicata. Realizza la ristrutturazione dell’albero. Utilizza una procedure Consolidate per ristrutturare la lista delle radici di H, che itera i due passi seguenti fino a quando ogni radice nella lista delle radici ha grado diverso: 1) trova due radici x e y nella lista delle radici con lo stesso grado, dove key[x] ≤ key[y] 2) collega y a x: togli y dalla lista delle radici e fallo diventare figlio di x. deg[x] cresce e mark[y] va a false.

Estrazione del nodo minimo Fib-Heap-Extract-Min(H) z = min[H] if z ≠ NIL then foreach figlio x di z do aggiungi x alla lista delle radici di H p[x]=NIL togli z dalla lista delle radici di H if z == right[z] then min[H]=NIL else min[H] = right[z] Consolidate(H) n[H] = n[H]-1 return z

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio min(H) 23 7 21 3 17 24 18 52 38 30 26 46 39 41 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio min(H) 23 7 21 18 52 38 17 24 39 41 30 26 46 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 23 7 21 18 52 38 17 24 39 41 30 26 46 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 23 7 21 18 52 38 17 24 39 41 30 26 46 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 23 7 21 18 52 38 17 24 39 41 30 26 46 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 7 21 18 52 38 17 24 23 39 41 30 26 46 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 7 21 18 52 38 24 17 23 39 41 26 46 30 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 7 21 18 52 38 24 17 23 39 41 26 46 30 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 7 21 18 52 38 24 17 23 39 41 26 46 30 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 7 21 18 52 38 24 17 23 39 41 26 46 30 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio 1 2 3 4 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 46 30 52 35

heap di Fibonacci - ExtractMin - Esempio min(H) 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 46 30 52 35

Decremento di una chiave Viene decrementata al valore k la chiave del nodo x della heap H. Fib-Heap-Decrease-Key(H,x,k) key[x] = k; y = p[x] if y ≠ NIL and key[x] < key[y] then Cut(H,x,y), Cascading-Cut(H,y) if key[x] < key[min[H]] then min[H]=x Cut(H,x,y) togli x dalla lista dei figli di y, decrementando deg[y] aggiungi x alla lista delle radici di H p[x] = NIL; mark[x] = FALSE Cascading-Cut(H,y) z = p[y] if z≠NIL then if not(mark[y]) then mark[y]=TRUE else Cut(H,y,z),Cascading-Cut(H,z)

Decremento di una chiave: Esempio min(H) 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 46 30 52 35 15

Decremento di una chiave: Esempio min(H) 15 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 30 52 35

Decremento di una chiave: Esempio 2 min(H) 15 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 30 52 35 5

Decremento di una chiave: Esempio 2 min(H) 15 5 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 30 52

Decremento di una chiave: Esempio 2 min(H) 15 5 26 7 18 38 24 17 23 21 39 41 30 52

Decremento di una chiave: Esempio 2 min(H) 15 5 26 24 7 18 38 17 23 21 39 41 30 52

Limitazione al grado massimo Sia D(n) il massimo grado possibile per un nodo in una heap di Fibonacci con n elementi Se D(n) è O(lgn) allora il tempo ammortizzato di ExtractMin e Delete è O(lgn). Per mostrarlo, l’idea è mostrare che size(x) – num. nodi contenuti nel sottoalbero radicato in x – cresce esponenzialmente in deg(x).

Limitazione al grado massimo Lemma Sia x un nodo di una heap di Fibonacci con deg(x) = k. Siano y1, ..., yk i figli di x nell’ordine in cui erano stati collegati a x, dal meno recente al più recente. Quindi deg(y1)  0 e deg(yi)  i – 2 per i = 2, 3, ..., k.

Limitazione al grado massimo Numeri di Fibonacci F0 = 0 F1 = 1 Fk = Fk – 1 + Fk – 2 Lemma Per ogni k  0: Fk + 2 = 1 + i = 0...k Fi

Limitazione al grado massimo Lemma Sia x un nodo in una heap di Fibonacci con deg(x) = k. Allora size(x)  Fk + 2  k, dove  = (1 + 5)/2.

Limitazione al grado massimo Corollario Il massimo grado D(n) di qualsiasi nodo in una heap di Fibonacci con n nodi è O(lgn). Dimostrazione Sia x un nodo in una heap H con n nodi e sia k=deg[x]. Dal Lemma prec. si ha che n ≥ size[x] ≥ k. Utilizzando i logaritmi in base  si ha k ≤ logn. Il grado massimo di un qualunque nodo è quindi O(lgn).

heap di Fibonacci - Sommario heap binomiali Heap Min (1) (log n) ExtractMin DecreaseKey Union (n) Insert Delete MakeEmpty IsEmpty