Marta Pinto Stefania Serra Valentina Paravidino Esercizi di Psicometria Marta Pinto Stefania Serra Valentina Paravidino

TEORIA DELLE MISURE Di queste cinque persone si conoscono le seguenti informazioni: MARCO: ligure, 30 anni, sposato, scarsa empatia. SOFIA: campana, 20 anni, nubile, buona empatia. CHIARA: emiliana, 33 anni, divorziata, buona empatia. GIOVANNI: toscano, 18 anni, celibe, buona empatia. MATTEO: trentino, 25 anni, celibe, media empatia.

(a) Per ciascuna delle seguenti proprietà si individui una scala di misura adeguata: Sesso Provenienza (nord, centro, sud) Grado di empatia Stato civile Età (b) Per ciascuna di esse si costruisca un adeguato sistema relazionale empirico e si trovino almeno due scale di misura equivalenti e la trasformazione ammissibile che le unisce.

Sesso - Sistema empirico: classificatorio Scala: nominale Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche E’ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (EQUIVALENZA)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo ~

SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 1 2 3 4 5

Valori assegnati: f (Marco) = 2 (uomo) f (Sofia) = 4 (donna) f (Chiara) = 4 (donna) f (Giovanni) = 2 (uomo) f (Matteo) = 2 (uomo)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SCALE DI MISURA EQUIVALENTI 2 4 6 2 4 6

Provenienza Sistema empirico: classificatorio Tipo di Scala: nominale Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche E’ una relazione simmetrica, transitiva e riflessiva (EQUIVALENZA)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo ~

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO 2 4 6

Valori assegnati: f (Marco) = 6 (nord) f (Sofia) = 2 (sud) f (Chiara) = 4 (centro) f (Giovanni) = 4 (centro) f (Matteo) = 6 (nord)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SCALE DI MISURA EQUIVALENTI 1 2 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6

Grado di empatia Sistema empirico: ordinato Scala: ordinale Trasformazioni permissibili: monotona crescente in senso stretto E’ una relazione riflessiva, transitiva e connessa (RELAZIONE D’ORDINE LARGO TOTALE)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo ~

RELAZIONE D’ORDINE Sofia ~ Chiara Giovanni Marco Matteo

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO 1 2 4 6 3 5

Valori assegnati: f (Marco) = 1 (scarsa) f (Sofia) = 3 (buona) f (Chiara) = 3 (buona) f (Giovanni) = 3 (buona) f (Matteo) = 2 (media)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SCALE DI MISURA EQUIVALENTI 1 2 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6

Stato civile - Sistema empirico: classificatorio Scala: nominale Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche E’ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (EQUIVALENZA)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo ~

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO 1 2 4 6 3 5

Valori assegnati: f (Marco) = 1 (sposato) f (Sofia) = 3 (nubile) f (Chiara) = 5 (divorziata) f (Giovanni) = 3 (celibe) f (Matteo) = 3 (celibe)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SCALE DI MISURA EQUIVALENTI 1 2 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6

Età Sistema empirico: additivo Scala: a rapporto Trasformazioni permissibili: dilazioni E’ relazione riflessiva, connessa e transitiva (RELAZIONE D’ORDINE LARGO TOTALE)

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo ~

Marco (30) Sofia (20) Chiara (33) Giovanni (18) Matteo (25) SISTEMA REAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO 36 40 50 60 66 y = 2x

Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SCALE DI MISURA EQUIVALENTI y = 2 x 36 40 50 60 66 y = 3 x 54 60 75 90 99

INDICI DESCRITTIVI Sia X una raccolta di dati su scala a intervalli con i seguenti elementi: X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} Compilare la tabella delle frequenze Calcolare tutte le statistiche significanti su tale scala (tra cui il 23 ed il 77 percentile) trasformare i valori di x in punti z

La frequenza indica quante volte si presenta un dato elemento dell’insieme.

X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} Frequenze f 1 3 5 7 4 10 12 13 15 17 TOTALE 14

La proporzione è il rapporto tra la frequenza di una classe e il numero totale di elementi misurati. f n P =

Frequenze f Proporzioni P 1 0,07 3 0,21 5 7 4 0,29 10 12 13 15 17 TOTALE 14

La frequenza percentuale è la proporzione moltiplicata per 100. f n · 100

Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % 1 0,07 7% 3 0,21 21% 5 7 4 0,29 29% 10 12 13 15 17 TOTALE 14 100%

Le frequenze cumulative riportano in ogni dato la somma delle frequenze fino a quel momento riscontrate, comprese quelle del dato stesso.

Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % Frequenze cumulative f. C. 1 0,07 7% 3 0,21 21% 4 5 7 0,29 29% 9 10 12 11 13 15 17 14 TOTALE 100%

Le frequenze cumulative percentuali sono le frequenze cumulative moltiplicate per 100. f. c. n f . c. % = · 100

Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % Frequenze cumulative C Frequenze cumulative percentuali f c % 1 0,07 7% 3 0,21 21% 4 28% 5 36% 7 0,29 29% 9 64% 10 71% 12 11 79% 13 86% 15 93% 17 14 100% TOTALE

CALCOLO DELLE STATISTICHE SIGNIFICANTI Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} esso è una scala di misura a rapporti e intervalli, perciò tutte le statistiche da noi analizzate sono significanti.

1. Moda (Mo) La moda è quel valore che compare con la massima frequenza, è il dato più comune. E’ un indice della tendenza centrale. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} la moda è 7.

2. Mediana (Mdn) La mediana corrisponde a quel valore che occupa la posizione centrale in un insieme di dati disposti in ordine crescente. E’ un indice della tendenza centrale. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} la mediana è 7

3. Media (X) La media è il numero che si ottiene sommando tutti i dati e dividendo il totale per il numero stesso dei dati. E’ un indice della tendenza centrale. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} 1+3(3)+5+7(4)+10+12+13+15+17 la media è 7,86. = 7,86 14

4. Quartili (Q) Dividono la distribuzione dei dati in 4 parti uguali 4. Quartili (Q) Dividono la distribuzione dei dati in 4 parti uguali. Sono indici di posizione. - Il primo quartile ha il 25% delle frequenze dei valori al di sotto della sua posizione. - Il secondo quartile coincide con la mediana se n è dispari, nel caso in cui n sia pari corrisponde al numero immediatamente inferiore a ½ (n + 1) (50%). - Il terzo quartile ha al di sotto i ¾ dei dati della distribuzione (75%). - Il quarto quartile è situato al di sopra della totalità delle frequenze (100%).

Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % Frequenze cumulative C Frequenze cumulative percentuali f c % 1 0,07 7% 3 0,21 21% 4 28% 5 36% 7 0,29 29% 9 64% 10 71% 12 11 79% 13 86% 15 93% 17 14 100% TOTALE

(a) Differenza interquartilica (D. I (a) Differenza interquartilica (D.I.) La differenza interquartilica è la differenza tra il terzo e il primo quartile, ossia: D.I. = Q3 – Q1 Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} Q3 = 12 Q1 = 3 12 – 3 = 9

(b) Semidifferenza interquartilica (S. I (b) Semidifferenza interquartilica (S.I.) La semidifferenza interquartilica è la metà della differenza interquartilica. S.I. = Q3 – Q1 2 Quindi : 12 – 3 = 4,5 2

5. Gamma (G) La gamma descrive la distanza tra il valore minimo e il valore massimo di un dato insieme. E’ un indice di dispersione o di variabilità. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} la gamma è 17 – 1 = 16

6. Percentili (P) I percentili dividono la distribuzione in cento parti. Sono indici di posizione. n · m 100 P = Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} Il 23 percentile è il valore numerico al di sotto del quale sta il 23% dei dati, quindi 14 · 23 = 3,22 P23 = 3 (ossia il dato in terza posizione) 100 Il 77 percentile è 14 · 77 = 10,78 P77 = 10

7. Punti z o Punti Standard I Punti Z sono indici di posizione 7. Punti z o Punti Standard I Punti Z sono indici di posizione. xi – X s per calcolare s si utilizza la formula S = √∑ (xi – X) Z = n 2 i= 1 n Prendiamo come esempio il primo numero: 1 (1 – 7,86) = 3,36 14 2

2 xi X xi - X (xi – X) 1 7,86 - 6,86 47,06 3 - 4,86 23,62 5 - 2,86 8,18 7 - 0,86 0,74 10 2,14 4,58 12 4,14 17,14 13 5,14 26,47 15 7,14 50,98 17 9,14 83,54 3 volte 4 volte TOT. 311,77

Avendo trovato s (varianza) ora calcoliamo s (deviazione standard) prima dividendo per n e poi calcolando la radice del risultato ottenuto. √311,77 / 14 = 4,72 Abbiamo così trovato s. Avendo tutti i dati possiamo calcolare Z. 2 xi – X s Z =

xi X xi - X S 1 7,86 - 6,86 4,72 3 - 4,86 5 - 2,86 7 - 0,86 10 2,14 12 4,14 13 5,14 15 7,14 17 9,14 Z - 1,45 - 1,03 - 0,61 - 0,18 0,45 0,88 1,09 1,51 1,94

… GRAZIE x la vostra attenzione!! 