Probabilità. Un percorso didattico esperimenti e simulazioni L. Cappello 9 Maggio Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni con il foglio elettronico – Per … - costruire significati di oggetti matematici e di risultati teorici “ok in teoria, ma nella pratica le cose vanno diversamente” (misconcetti) - curare la progettazione e la formalizzazione esigenze concrete del software, non del docente - effettuare “molte” prove di un dato esperimento in modo da osservare fatti significativi - sperimentare in prima persona non è un racconto 2 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni con il foglio elettronico – Attenzione a … - interpretare gli esiti delle prove in modo corretto ma adeguato al livello della classe - non pensare che il calcolatore generi numeri casuali però le sequenze prodotte si comportano come se lo fossero - integrare la trattazione “teorica” con le simulazioni non contrapporre approccio classico e approccio frequentista - sperimentare anche mediante manipolazione di oggetti le simulazioni sono delle rappresentazioni, non la realtà 3 Didattica probabilità e statistica PAS controllare i risultati e operare consapevolmente

Attività. Lancio dadi – base tracciatraccia di lavoro realizzazione Simulazioni – Lancio di due dadi Attività. Lancio dadi – approfondimento tracciatraccia di lavoro filefile predisposto per studenti realizzazione Cosa possiamo affermare sugli esiti dei lanci? gli studenti tengono traccia scritta delle loro risposte 4 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni – Lancio di un dado Più semplice Eventualmente come esercizio da svolgere in modo autonomo Attività. Lancio di un dado traccia lavoro: analoga ad attività lancio di due dadi realizzazione basebase realizzazione avanzata (VBA)avanzata 5 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni – Giochiamo alla zara Più articolato Eventualmente gli studenti possono lavorare sul file predisposto dal docente Attività. Lancio di tre dadi Traccia di lavoro: conviene puntare sul “9” o sul “10”? ricerca per tentativi o verifica del risultato già trovato per via teorica realizzazione basebase realizzazione avanzataavanzata se gli studenti non hanno ancora calcolato la probabilità dei punteggi, è opportuno non compaia la colonna delle stime a priori 6 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

- al crescere di n non sempre decrescono più precisamente al crescere di n è sempre più probabile che si “avvicinino” a 0 Le differenze d Simulazioni – Una conclusione: le differenze tra frequenza relativa e stima a priori, in modulo numero prove Gli studenti discutono le loro congetture. Il docente precisa … 7 Didattica probabilità e statistica PAS se n è “grande” è “molto” probabile che siano “piccole”

Simulazioni: una conclusione (insegnante) al crescere di n non sempre decrescono anzi se n è “grande”, in “numerosi” casi diventano “grandi” [“grandi” dell’ordine della radice di n ] Simulazioni – Una conclusione: le Differenze Le differenze D tra frequenza e frequenza teorica, in modulo 8 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Al crescere del numero delle prove è sempre più probabile che la frequenza relativa di un evento si “avvicini” alla stima a priori della sua probabilità. Non possiamo prevedere quale punteggio uscirà al prossimo lancio. Però possiamo affermare qualcosa sugli esiti di “molti” lanci. Simulazioni – Una conclusione: le frequenze relative … è probabile, ma non è certo che questo accada Due dadiDue dadi. Frequenze relative. 9 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Un altro modo di valutare la probabilità (schema frequentista): la probabilità di un evento è data dalla frequenza relativa di tale evento, osservata su un “grande” numero di prove. Assumiamo che le prove avvengano nelle “stesse” condizioni. Simulazioni: una conclusione (insegnante) Tale risultato vale per ogni esperimento in cui si effettuano prove ripetute, tra loro indipendenti e nelle “stesse” condizioni. Esprime la sostanza della Legge dei grandi numeri. E’ una legge teorica e si può dimostrare. Simulazioni ed esperimenti – Una conclusione E’ verificata dall’esperienza (“Legge” empirica del caso). Ciò che è più probabile in teoria, si realizza più spesso anche nella pratica. RiferimentoRiferimento per studenti 10 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

La Legge dei grandi numeri esprime un risultato sulle frequenze relative. Vale un risultato analogo per le frequenze assolute? No. Le frequenze assolute di un evento E, al crescere del numero n di prove, non tendono ad “avvicinarsi” alla frequenza teorica p(E)∙n. Anzi. Simulazioni – Una conclusione: le frequenze assolute Un esempio. Lancio di un dado. Il numero “2” è uscito 110volte su 600 lanci | frequenza – valore teorico |= volte su lanci| frequenza – valore teorico |= volte su lanci | frequenza – valore teorico |= 66 Non sempre c’è “recupero”. Anzi, gli scostamenti dalle frequenze teoriche aumentano. Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni – Comprendere con rappresentazioni grafiche 12 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Lanciamo una moneta n volte (per comodità n = 4, 9, 16, …) Rappresentiamo gli esiti di ogni sequenza di lanci mediante un quadrato, suddiviso in n quadratini uguali. Quando esce “testa” coloriamo in blu un quadratino. Quando esce “croce” coloriamo in arancione un quadratino. Nell’esempio: 9 lanci, 5 teste. L’idea

Simulazioni – Comprendere con rappresentazioni grafiche 13 Didattica probabilità e statistica PAS lanci 3 teste Gli esiti di alcune sequenze di lanci 9 lanci 5 teste 100 lanci 47 teste 400 lanci 194 teste

Simulazioni – Comprendere con rappresentazioni grafiche 14 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 Un’interpretazione - Al crescere del numero di lanci … le aree degli insiemi blu si “avvicinano” a 1/2 dell’area del quadrato il numero di quadratini blu si “allontana” dalla metà del numero di quadratini in cui è stato suddiviso il quadrato - Le aree rappresentano le frequenze relative Il numero di quadratini rappresenta le frequenze assolute - Dunque, nella situazione in esame, cosa possiamo affermare sull’andamento delle frequenze relative? E su quello delle frequenze assolute? già dai grafici; solo dopo si conta un riferimento … ma con attenzione

Simulazioni: una conclusione (insegnante) Esperimenti – Prove con oggetti Lancio di un dado in una classe. Gli esiti: … le frequenze di 16*6*7- 3 = 669 lanci: Cosa succede quando lanciamo materialmente un dado? E’ equivalente a ripetere l’esperimento tante volte 15 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni: una conclusione (insegnante) Esperimenti – Prove con oggetti E se lanciamo una moneta? Possono bastare 300 lanci complessivi … probabilmente Quale delle due monete è truccata? Gli studenti provano a scoprirlo analizzando gli esiti delle prove 16 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

La differenza tra le due probabilità è minore dell’1%! [ 2/216] Simulazioni: una conclusione (insegnante) Esperimenti – Test di ipotesi L’errore di D’Alembert. Nel lancio di 2 monete consideriamo i tre esiti: “due teste”, “una testa e una croce”, “due croci”. Sono equiprobabili? Gioco della zara. Conviene puntare sul “9” o sul “10”? “… la lunga osservazione ha fatto dai giocatori stimarsi più vantaggiosi il 10 che il 9 …” (G. Galilei) Ovvero prove ripetute per negare la validità di una congettura Proviamo! Proviamo … con il foglio elettronico Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Simulazioni: una conclusione (insegnante) Esperimenti – Un problema “inverso” Attività. Ricostruzione dell’urna. Il docente mette in un sacchetto delle biglie uguali, alcune blu altre nere. Comunica solo il numero totale delle biglie. Gli studenti estraggono una biglia alla volta, ne registrano il colore e la reinseriscono nel sacchetto. Quante biglie blu prevediamo ci siano nel sacchetto? Si possono anche distribuire più sacchetti uguali e poi unire i risultati dei gruppi. Oppure simulare estrazioni al calcolatore. E’ delicato interpretare gli esiti. 18 Didattica probabilità e statistica PAS 2014 L’idea è di ricorrere alla frequenze relative

Simulazioni: una conclusione (insegnante) Esperimenti - Non solo prove ripetute … consideriamo anche rilevazioni statistiche: alcuni eserciziesercizi 19 Didattica probabilità e statistica PAS 2014