PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007 RUOTE DENTATE PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Consideriamo gli ingranaggi cilindrici a denti elicoidali PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto La teoria di Hertz può essere ancora utilizzata nel caso di dentature elicoidali Ovviamente, la relazione di progetto sarà diversa rispetto a quella ricavata nel caso di dentatura diritta, essendo diversa la geometria PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Il fattore dipendente dai materiali non varia rispetto al caso di denti diritti. Si modificano invece i fattori che dipendono dalla forza applicata e dalla geometria del dente. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Analisi delle forze Nelle ruote dentate elicoidali è di solito conveniente riferirsi alle grandezze misurate in direzione normale all’elica primitiva del dente. Così accanto all’angolo di pressione q nel piano frontale (piano perpendicolare all’asse della ruota), si considera l’angolo di pressione qn formato dalla superficie del dente e dalla direzione radiale nel piano normale all’elica primitiva. Si indica con a l’angolo generato dall’intersezione della superficie del dente con il cilindro primitivo. a0 è invece l’angolo generato dall’intersezione della superficie del dente col cilindro base. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Analisi delle forze La forza totale F scambiata tra i denti di un ingranaggio a denti elicoidali ha una componente FP (giacente nel piano tangente alle primitive) ed una componente Fr secondo la direzione radiale. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Analisi delle forze Dalle ultime equazioni si ricava: Si noti che FC è nota da: dove W è la potenza trasmessa ed n è il numero di giri al minuto. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Esprimiamo tutti gli angoli considerati finore in funzione di qn (il cui valore unificato è qn=20°) e di a. Si noti che il triangolo ABC è retto in B. E’ evidente che: Essendo: risulta: L’ultima espressione rappresenta la relazione che intercorre tra l’angolo di pressione e quello di pressione normale. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Esprimiamo tutti gli angoli considerati finore in funzione di qn (il cui valore unificato è qn=20°) e di a. Si noti che il triangolo ABC è retto in B. Poichè: ed essendo: risulta: Abbiamo così espresso gli angoli a0 e q in funzione di a e qn PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Determiniamo la lunghezza del contatto. Ricordiamo che dobbiamo definire i parametri della quantità q=F/L. Si noti che il contatto tra le ruote ha luogo tra diverse coppie di denti. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Consideriamo il piano base nel quale giacciono le linee lungo cui avviene il contatto tra le due ruote. Ruotiamo questo piano fino a renderlo parallelo al piano del foglio. Individuiamo il passo base pb e quello normale pbn. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Il grado di ricoprimento trasversale è dato da: La relazione tra il passo base frontale pb ed il passo base normale pbn è: La lunghezza del contatto lc può essere determinato osservando che se zp è il numero di denti in presa risulta zp*L*Pb=l*L. Riferendoci al contatto tra ruote dentate a denti diritti è lecito assumere: da cui si ricava: quindi, ricordando la definizione di grado di ricoprimento trasversale risulta: PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Valutiamo ora l’espressione del raggio relativo per l’ingranaggio tra denti elicoidali Rappresentiamo il piano base sul piano del foglio, l’inclinazione dell’elica rispetto al piano base risulta, come detto prima, a0. Sussistono le seguenti relazioni: PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Ipotizzando due superfici coniche (con inclinazione del cono pari a a0) che si scambiano il contatto nel punto C, i raggi R1 e R2 che compaiono nella formulazione di Hertz sono le quantità indicate in figura. In particolare risulta: PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto I segmenti AC e BC possono essere determinati osservando la figura seguente: Da cui si ricava: essendo r1 e r2 i raggi delle primitive PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Quindi il raggio relativo è dato da: PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Ricapitoliamo i risultati parziali cui siamo pervenuti. Vogliamo espimere la relazione di Hertz in funzione dei parametri che definiscono il contatto tra due denti elicoidali. Risulta: da cui: PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Inoltre si ha che: da cui risulta: Ricordando che: Si ha: PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007

Dimensionamento in base alle pressioni di contatto Ovvero, ponendo: risulta: Che rappresenta la relazione di progetto/verifica. NB. La quantità F, a sua volta, può essere espressa, ricordando alcune relazioni cui siamo pervenuti prima, in funzione di a e qn. PROGETTAZIONE MECCANICA I – A.A. 2006-2007