Analisi e gestione del rischio Lezione 14 Basket Credit Derivatives Funzioni di Copula

Rischio di portafogli di crediti Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti si è particolarmente sviluppato in prodotti che forniscono l’esposizione a un portafoglio di credito. I derivati su basket di crediti hanno svolto lo stesso ruolo dei derivati creditizi a livello univariato. Possono essere utilizzati Per trasferire il rischio di credito Per costruire sinteticamente esposizioni a portafogli di “nomi”

Portafogli di CDS Assumiamo di avere un portafoglio di un numero limitato anche se non trascurabile di CDS (assumiamo 50-100 nomi, ad esempio) Vogliamo definire la probabilità di perdita su tutto il portafoglio. Definiamo Q(k) la probabilità di osservare k default entro la scadenza del CDS e assumiamo, per semplicità che la LGD sia data e la stessa per tutti gli n nomi.

Derivati “first-to-default” Consideriamo un derivato di credito che paga “protezione”, la prima volta che un elemento del paniere di “nomi” di riferimento è in default. La protezione si estende fino al tempo T. Valore del derivato è FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i nomi nel basket. Possiamo anche scrivere Q(0) Q(1 > T, 2 > T…)

Derivati “first-x-to-default” Consideriamo invece un derivato di credito che paga “protezione”, sui primi x default dei “nomi” di riferimento del paniere precedente. Il valore del derivato sarà ovviamente

La specificazione di Q(x) Valutare i derivati di credito su basket richiede quindi la specificazione della distribuzione congiunta di default Q(x) Tale distribuzione dipende da due elementi La probabilità di default (e la LGD, se considerata stocastica), di ciascun “nome” nel basket La struttura di correlazione (dipendenza) tra default (e LGD) dei “nomi” nel basket.

Modelli di Q(x) Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita attesa di ciascun nome sono Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di default e stessa LGD) Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di default e diversa LGD) Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono Default indipendenti Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall Olkin) Funzioni di copula Factor copula (default condizionalmente indipendenti)

Default indipendenti Nell’ipotesi che i default siano indipendenti le scelte più ovvie per la distribuzione congiunta sono La distribuzione binomiale La distribuzione di Poisson

Intensità di portafoglio Il modello di Poisson è particolarmente utile perché consente l’immediata estensione dei modelli in forma ridotta a portafogli di crediti. L’assunzione di indipendenza implica che Q(0) = Q(1 > T, 2 > T…) = Q(1 > T) Q(2 > T)… e nei modelli intensity based Q(1 > T) Q( 2 > T)…= exp[– (1 + 2 +…)(T – t)] Otteniamo quindi un’intensità di default di portafoglio che è la somma delle intensità di default individuali dei singoli nomi:  = 1 + 2 +…

Valutazione di un first-to-default Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)]) = LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…)(T – t)]) Il problema è trovare un’estensione di questo modello al caso in cui ci sia dipendenza tra gli eventi di default.

Distribuzione di Marshall Olkin La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale estensione del processo di Poisson al caso multivariato. Assumiamo il caso di due “nomi”. Secondo la distribuzione di Marshall Olkin abbiamo Q(1 > T, 2 > T) = exp[– (1 + 2 + 12)(T – t)] La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è 12 = 12 /(1 + 2 + 12)

Intensità di portafoglio L’idea della distribuzione di Marshall Olkin è che shock diversi causano il default di sotto-insiemi dei nomi. Il problema è che può esistere un numero arbitrariamente alto di shock, e questo rende la calibrazione del modello proibitiva In genere viene proposta la specificazione

Valutazione di un first-to-default Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)]) = LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…+ n+ 12…n)(T – t)]) Si noti che l’aumento della correlazione tra i tempi di default riduce il valore del contratto first-to-default.

Funzioni di copula Alla base delle funzioni di copula c’è il principio delle trasformazione con integrale di probabilità. Se per una variabile Xi con distribuzione di probabilità Hi calcoliamo la trasformata integrale ui =Hi(Xi), ui ha distribuzione uniforme in [0,1]. Dalla distribuzione congiunta H(X1, X2,…, Xn ), H(X1, X2,…, Xn ) = = H(H1-1 (u1), H2-1 (u2),…, Hn-1 (un) )=C(u1, u2,…,un) La funzione C(u1, u2,…,un) è detta funzione di copula. Che proprietà deve avere?

Funzioni di copula Prendiamo per esempio il caso bivariato. Una funzione z = C(u,v) è detta copula se e solo se z, u e v sono in [0,1] C(0,v) = C(u,0) = 0, C(1,v) = v, C(u,1) = u C(u2, v2 ) – C(u1, v2 ) – C (u2, v1) – C (u1, v1)  0 per tutti i valori u2 > u1 e v2 > v1 Teorema di Sklar: ogni distribuzione congiunta può essere scritta come una funzione di copula che abbia le distribuzioni marginali come argomenti e qualsiasi funzione di copula che abbia distribuzioni come argomenti è una distribuzione congiunta

Funzioni di copula: esempi Due rischi A e B con probabilità congiunta H(A,B) e probabilità marginali Ha(A) e Hb(B) H(A,B) = C(Ha , Hb), e C è una funzione di copula. Casi: 1) Cind(Ha , Hb) = HaHb, rischi indipendenti 2) Cmax(Ha , Hb) =min(Ha,Hb) dipendenza perfetta positiva 3) Cmin(Ha , Hb) =max(Ha + Hb –1,0) dipendenza perfetta negativa Dipendenza imperfetta (limiti di Fréchet) max(Ha + Hb –1,0)  C(Ha , Hb)  min(Ha,Hb)

Correlazione Uno dei problemi della non-normalità dei rendimenti a livello multivariato è che la correlazione lineare non è affidabile Può verificarsi che la correlazione lineare risulti inferiore a 1 (superiore a – 1) anche se due variabili sono perfettamente dipendenti. Questo si verifica quando Le distribuzioni marginali non sono ellittiche Le relazioni tra le due variabili non sono lineari Esempio: x ~ N(0,1), y = x2 ~ 1 è semplice mostrare che la covarianza è zero, anche se ovviamente x e y sono perfettamente correlati.

Funzioni di copula e struttura di dipendenza Le funzioni di copula sono legate alle statistiche non-parametriche di dipendenza, come il  di Kendall o il S di Spearman’s Si noti, che, a differenza degli stimatori non parametrici, l’indice di correlazione lineare  dipende dalle distribuzioni marginali e può non coprire l’intero range tra – 1 e + 1, e rende problematica la determinazione del grado relativo di dipendenza.

Esempi di funzioni di copula Copule ellittiche Distribuzioni multivariate ellittiche, come la normale o la t di Student, possono essere utilizzati come funzioni di copula. Copule normali sono ottenute da C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) e gli eventi estremi sono indipendenti. Per funzioni di copula Student t con v gradi di libertà C(u1, u2,…, uN) = T(T – 1 (u1 ), T – 1 (u2 ), …, T – 1 (uN ); , v) eventi estremi sono dipendenti, e l’indice di tail dependence è una funzione di  e v.

Esempi di funzioni di copula Copule archimedee Copule archimedee sono costruite a partire da una funzione generatrice  da cui calcoliamo C(u,v) =  – 1 [(u)+(v)] Un esempio è la copula di Clayton. Ponendo (t) = [t –a – 1]/a otteniamo C(u,v) = max[u –a+v –a – 1,0] –1/a