La teoria dei giochi

Definizioni Per teoria dei giochi si intende lo studio degli esiti del comportamento razionale in situazioni di interdipendenza. Per ‘gioco’ si intende una situazione in cui il risultato di un’interazione dipende dalle ‘mosse’ simultanee o sequenziali di diversi agenti.

Definizioni L’obiettivo degli agenti è di massimizzare una certa funzione adottando la migliore strategia possibile date le strategie a disposizione degli altri giocatori. Una strategia è una specificazione completa delle azioni che possono essre intraprese.

Definizioni Nello scegliere la strategia il giocatore assume che anche gli altri agenti adotteranno strategie tese a massimizzare la loro funzione obiettivo. L’esito di un gioco (di un’interazione strategica) è espresso da una grandezza numerica (di solito ordinale e non cardinale) che si chiama payoff.

Definizione Per ogni combinazione di possibili strategie il risultato del gioco si esprime attraverso I payoff ottenuti dai giocatori. I giocatori non possono accordarsi sulle strategie. Il risultato di un gioco si definisce equilibrio se nessun giocatore puo’ migliorare il proprio payoff date le strategie degli altri giocatori.

Definizioni Più precisamente un tale equilibrio si definisce Equilibrio di Nash dal nome del matematico statunitense che sviluppò e formalizzò il concetto.

Tassonomia Se I giocatori scelgono le loro strategie simultaneamente il gioco è detto in forma normale. Se I giocatori prendono le loro decisioni in modo sequenziale il gioco è detto in forma estesa.

Tassonomia Se il gioco si svolge una sola volta si definisce one-shot o non ripetuto Se il gioco viene riproposto finite o infinite volte si definisce iterated o ripetuto. Se la ripetizione è infinita il gioco si chiama supergioco.

La soluzione di un gioco Se i giocatori hanno una strategia dominante (quella che costituisce la migliore risposta a tutte le possibili azioni degli opponenti) la soluzione del gioco è data dal payoff di ciascun giocatore ottiene quando tutti giocano la suddetta strategia. Le strategie dominate non verranno adottate da giocatori razionali.

Se non esiste una strategia dominante occorre verificare l’esistenza di un equilibrio. Secondo il teorema di Nash ogni gioco con un numero finito di giocatori e un numero finito di strategie avrà almeno un equilibrio di Nash.

Inoltre, può darsi il caso che un gioco abbia più equilibri e che non sia affatto banale stabilire a priori quello che verrà selezionato. Equilibri diversi corrispondono a esiti diversi del gioco….si vedrà come la razionalità e il comportamento massimizzante del singolo giocatore possa condurre ad esiti sub-ottimali per il giocatore stesso e I suoi opponenti.

Il dilemma del prigioniero The name comes from a particular illustration of the interaction which is credited to Albert Tucker in the 1950s. In this example two people are picked up by the police for a robbery and placed in separated cells. They both have the option to confess to the crime or not, and the district attorney tells each of them what is likely to happen and makes each an offer.

Il dilemma del prigioniero Player A Player B Not confess Confess 1,1 5,0 0,5 3,3

The rationale behind these pay-offs is something like this The rationale behind these pay-offs is something like this. If both ‘confess’ then the judge, being in no doubt over their guilt, will give them 3 years each in prison. If the both ‘don’t confess’ then the conviction is still likely, but the doubts in the case make the judge err on the side of leniency with a sentence of 1 year each.

The DA can intercede with the with the judge on behalf of one prisoner when that prisoner confesses and the other does not. The judge looks kindly on such action because confession helps to make the prosecution. In contrast the judge feels that an exemplary punishment is required for the prisoner who does not confess – under these circumstances – because his plea of not guilty has wasted court time.

Il dilemma del prigioniero Player A Player B Not confess Confess 1,1 5,0 0,5 3,3

La strategia dominante è quindi confessare per entrambi.

Il dilemma del prigioniero La strategia dominante è dunque “dichiararsi colpevole”. Stefano ragiona allo stesso modo ed entrambi vengono condannati alla pena intermedia. Se avessero avuto modo di comunicare si sarebbero dichiarati entrambi innocenti ed avrebbero ottenuto una pena lieve.

Il dilemma del prigionero Questo tipo di situazione ha innumerevoli applicazioni nella teoria economica. Noi vedremo come la teoria dei giochi possa illustrare il comportamento di imprese in mercati oligopolistici dove il dilemma delle imprese è tra colludere o farsi concorrenza.

Il dilemma dell’oligopolista Cooperare dividendosi il mercato può massimizzare I profitti congiunti, ma la singola impresa avrà incentivo a modificare la sua produzione. Si considerino due imprese (A e B), due livelli di produzione e I relativi profitti (in rosa quelli di dell’impresa B e in grigio quelli di A)

Il dilemma dell’oligopolista

Il dilemma dell’oligopolista Se A e B cooperano ciascuna produce metà della produzione di monopolio. Tuttavia, ciascuna impresa può aumentare I profitti producendo due terzi della produzione di monopolio posto che l’altra impresa rispetti gli accordi

Il dilemma dell’oligopolista In questo caso conviene non cooperare ma se entrambe adottano la strategia “due terzi di produzione” e conseguono profitti inferiori.

Altri tipi di gioco…. I giochi di coordinamento La battaglia dei sessi Marito e moglie devono decidere se andare ad assistere ad uno spettacolo o a una partita di calcio. Essi hanno preferenze diverse rispetto alla serata ma non desiderano ritrovarsi da soli. La matrice dei payoff è la seguente:

La battaglia dei sessi

La battaglia dei sessi Si tratta di un gioco con due equilibri di Nash. Se il gioco non è ripetuto non è facile determinare a priori quale equilibrio sarà scelto. Questo tipo di schema si applica a situazioni economiche in cui è opportuno coordinarsi per esempio adottando uno standard tecnologico comune.

I giochi a somma zero Implica che ciò che viene perso da un giocatore viene in egual misura guadagnato dall’altro. In economia si applica allo studio di situazioni che implicano redistribuzione.