Università degli studi di Cagliari Disegno degli Esperimenti per l’industria (2) Daniele Romano

Piani fattoriali a 2 livelli: disegno e analisi

ESEMPIO: Piano 22 con tre replicazioni (r=3) Studio di un processo chimico Fattori: concentrazione del reagente (A, %), quantità del catalizzatore (B, lb) Risposta: resa della reazione (Y, %) Fattori Livelli ─ + A (%) 15 25 B (lb) 1 2 Codifica delle variabili per ottenere i livelli standard (-1,+1) : media dei livelli : semiampiezza dell’intervallo

Stima dell’ effetto di un fattore (effetto principale) (Fattoriale 22) Variazione nella risposta prodotta dal cambiamento nel livello del fattore (dal livello basso al livello alto) 2 interpretazioni equivalenti Media delle variazioni ai due livelli dell’altro fattore Variazione della media ai due livelli del fattore : media (sulle replicazioni) della risposta per la combinazione di livelli A•B• : media (sulle replicazioni e sui livelli dell’ altro fattore) della risposta al livello A• In termini di totali di trattamento si ha:

Interpretazione grafica degli effetti b ab b + ab + ─ ─ (1) a (1) a

Diagramma degli effetti principali Y Effetto positivo Y ─ A + Effetto nullo Y Effetto negativo ─ A + ─ A +

+ Definizione dell’ effetto di interazione tra due fattori Differenza tra l’effetto del fattore A al livello alto di B e l’effetto di A al livello basso di B (divisa per due). b ab ─ + ovvero, con i totali di trattamento (1) a Il fattore di scala 1/2 è convenzionale ed ha lo scopo di rendere comparabili gli effetti di interazione e gli effetti principali

Grafico delle interazioni Y B+ Interazione nulla Interazione positiva B─ Y B+ ─ A + B─ Y ─ A + B+ Interazione negativa B─ ─ A +

Effetti principali per un fattoriale 23 ovvero, con i totali di trattamento A B C (1) a b c ac abc ab bc (1) a b c ac abc ab bc (1) a b c ac abc ab bc + + ─ + ─ ─

Effetti di interazione di ordine superiore a 2 L’effetto di interazione tripla ABC è la differenza tra l’effetto di interazione AB al livello alto di C e l’effetto AB al livello basso di C (divisa per due). Analogamente vengono generati tutti gli effetti di interazione di ordine superiore. bc abc ovvero, con i totali di trattamento c ac b ab = + = ─ (1) a

Generalizzando ad un fattoriale 2n Effetto = c.l. (2n medie del tipo , con segno ±1) ovvero, in termini di totali di trattamento Effetto = c.l. (2n totali, con segno ±1) Tali combinazioni lineari, sia di medie di risposte che di totali, si chiamano contrasti.

5 ─ ─ + + ─ ─ + 6 + ─ + ─ + ─ ─ 7 ─ + + ─ ─ + ─ 8 + + + + + + + Scrittura del piano fattoriale nella forma standard Fattoriale 22 Fattoriale 23 Prove A B AB 1 ─ ─ + 2 + ─ ─ 3 ─ + ─ 4 + + + Prove A B C AB AC BC ABC 1 ─ ─ ─ + + + ─ 2 + ─ ─ ─ ─ + + 3 ─ + ─ ─ + ─ + 4 + + ─ + ─ ─ ─ 5 ─ ─ + + ─ ─ + 6 + ─ + ─ + ─ ─ 7 ─ + + ─ ─ + ─ 8 + + + + + + + A parte il divisore 2n-1, i segni dei coefficienti delle combinazioni lineari delle risposte medie che compongono gli effetti corrispondono alle colonne del piano fattoriale nella forma standard. Se non ci sono replicazioni, la matrice del modello associata al piano fattoriale ha in più la prima colonna, composta da valori tutti unitari, corrispondente al termine noto del modello. A questo è associato l’effetto medio.

Algebra dei piani fattoriali Ogni colonna della matrice del modello, tranne la prima, ha tanti segni meno quanti segni più (bilanciamento) Le colonne sono tutte ortogonali tra di loro: Ogni colonna può essere ottenuta per moltiplicazione, riga per riga, di altre due La prima colonna è, rispetto alla moltiplicazione riga per riga, elemento identità Si può adottare un’aritmetica modulo 2: A2=I A3=A2.A=I.A=A XiT.Xj = 0, i,j=1,2n, i ≠ j

Modello della risposta Relazione tra effetti fattoriali e coefficienti del modello della risposta Modello della risposta , eijkN(0,s2) e mutuamente indipendenti Scriviamo l’effetto calcolato usando il modello: L’effetto di un fattore (valor medio dello stimatore dell’effetto) corrisponde al doppio del corrispondente coefficiente nel modello della risposta

Calcolo della varianza degli stimatori degli effetti Ogni effetto è calcolato come combinazione lineare di 2n medie della risposta nei trattamenti (contrasto). Effetto = c.l. (2n medie del tipo , con segno ±1),

Gli effetti calcolati corrispondono alle stime ai minimi quadrati dei coefficienti (moltiplicate per 2) In generale: quindi: Effetto i

Valutazione della significatività degli effetti Gli stimatori degli effetti, costruiti a partire dal piano fattoriale a due livelli, sono variabili casuali Normali con media pari al valore vero dell’effetto e varianza (comune a tutti gli effetti) data da: La varianza s2 si può stimare utilizzando le replicazioni in ciascuno dei trattamenti: (r -1 gradi di libertà) La media delle 2n stime calcolate è la miglior stima di s2 ottenibile: (2n.(r -1) gradi di libertà)

Sotto l’ipotesi nulla (H0) la variabile casuale continua La valutazione di significatività si può fare con un test della media dell’effetto Sotto l’ipotesi nulla (H0) la variabile casuale è distribuita come una t-Student con 2n.(r -1) gradi di libertà Quindi si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significatività (1-a) se: pdf a/2 a/2 m = 0 effetto

Analisi del caso proposto Calcolo degli effetti Oltre ai metodi visti si può applicare il metodo di Yates A B Ymedio 1 2 Divisore Effetti Nome Trattamenti (1) a b ab – – 26.7 60 110 4 27.5 I + – 33.3 50 16.6 2 8.3 A – + 20.0 6.6 -10 2 -5.0 B + + 30.0 10 3.4 2 1.7 AB Diagramma di Pareto degli effetti A B AB + – + 1.7 5.0 8.3 effetto sulla resa (%)

Diagrammi degi effetti principali e delle interazioni

Test di significatività degli effetti Si esegue un test della media per ogni effetto effetto m = 0 a/2 pdf Sotto l’ipotesi nulla H0 tutti gli effetti hanno la stessa distribuzione: Normale con media nulla e varianza stima della varianza del’errore tramite le replicazioni (con 2n.(r -1) gradi di libertà) Imponendo una probabilità a di rifiutare erroneamente l’ipotesi nulla, si avrà per ogni effetto: si decide per H0 se: si decide per H1 se: Quindi è sufficiente calcolare la soglia di significatività e confrontarla con tutti gli effetti calcolati (ad eccezione dell’effetto medio).

l’ interazione AB non è significatività (al livello 95%) replicazioni Combinaz. di trattamenti A B y1 y2 y3 (1) a b ab – – 28 25 27 2.3 + – 36 32 32 5.3 – + 18 19 23 7.0 + + 31 30 29 1.0 15.6 = + – 1.7 2.63 5.0 8.3 A B AB effetto sulla resa (%) Graficamente è utile rappresentare la soglia di significatività sul diagramma di Pareto l’ interazione AB non è significatività (al livello 95%)

Scrittura del modello di previsione Definiamo i residui: Calcolo dei residui: e Y, replicazioni Combinaz. di trattamenti A B I II III I II III (1) a b ab – – 28 25 27 25.85 2.15 -0.85 1.15 + – 36 32 32 34.15 1.85 -2.15 -2.15 – + 18 19 23 20.85 -2.85 -1.85 2.15 + + 31 30 29 29.15 1.85 0.85 -0.15 I residui soddisfano la condizione:

Verifica di normalità Se il modello stimato della risposta è corretto, allora:

Come ottenere un grafico di probabilità normale su carta ordinaria Su un asse si rappresenta la variabile casuale di cui si dispone del campione (xi , i=1,n), sull’altro la variabile casuale normale standardizzata Z Si ordina in senso crescente il campione osservato Si suddivide l’intervallo [0,1] in n sotto-intervalli uguali e si calcola la coordinata del punto medio di ogni sotto-intervallo Ad ogni unità del campione ordinato (x(j) , j=1,n) si associa il valore della variabile casuale Normale standardizzata zj per cui: Si rappresentano nel diagramma i punti di coordinate 1 1/12 3/12 5/12 7/12 9/12 11/12

Verifica di omoschedasticità Residuals vs. Factors

Verifica di assenza di legame tra media e varianza della risposta

Verifica di indipendenza degli errori

Ottimizzazione Per massimizzare la resa si sceglie: il fattore A al livello alto, il fattore B al livello basso Il modello di previsione nelle variabili originarie è:

Problema: in assenza di replicazioni, come valutare quali effetti sono importanti? Un metodo semplice ed elegante (Daniel, 1959) prevede di diagrammare gli effetti (ad eccezione dell’effetto medio) in un grafico di probabilità normale. In questo modo, gli effetti trascurabili (con valor medio circa nullo) si disporranno approssimativamente lungo una linea retta nella zona centrale del diagramma mentre quelli importanti se ne discosteranno in modo evidente. La decisione si fonda su una valutazione esclusivamente visiva. Attenzione: il metodo consente una stima indiretta della varianza dell’errore sperimentale.

Relazione di definizione della sovrapposizione: Esperimento fattoriale con 7 fattori a due livelli, 16 prove Fattori A : temperatura delo stampo B : velocità di inezione C : tempo di mantenimento in pressione D : tempo ciclo E : composizione del fondente F : dimensione della bocca di mandata G : pressione di chiusura Risposta ritiro volumetrico del materiale (%) Relazione di definizione della sovrapposizione: I=ABCE=BCDF=ACDG

Piano frazionario 27-3 E=ABC F=BCD G=ACD A B C D E F G – – – – – – – combinaz. trattamenti A B C D E F G – – – – – – – + – – – + – + – + – – + + – + + – – – + + – – + – + + + + – + – – + – – + + – – – + + + + – + – – – – – + – + + + – – + + + – – + – + + – + + + – + – – – – – + + + – – + – + + – – + – + + + – + – + + + + + + + Y (%x10) (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd 6 10 32 60 4 15 26 8 12 34 16 5 37 52

Struttura di confondimento del piano (interazioni fino all’ordine 3) 1° gruppo I=ABCE=BCDF=ACDG=ADEF=BDEG=ABFG=CEFG altri gruppi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A = BCE = BFG = CDG = DEF B = ACE = AFG = CDF = DEG C = ABE = ADG = BDF = EFG D = ACG = AEF = BCF = BEG E = ABC = ADF = BDG = CFG F = ABG = ADE = BCD = CEG G = ABF = ACD = BDE = CEF AB = CE = FG AC = BE = DG AD = CG = EF AE = BC = DF AF = BG = DE AG = BF = CD BD = CF = EG ABD = ACF = AEG = BCG = BEF = CDE = DFG Il piano è di risoluzione R=4

Calcolo effetti con metodo di Yates Y 1 2 3 4 divisore effetti nome I A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD 6 16 108 213 437 27,3125 10 92 105 224 111 8 13,875 32 19 114 77 285 35,625 60 86 110 34 95 11,875 4 20 143 -7 -0,875 15 94 45 142 -13 -1,625 26 21 30 47 -15 -1,875 89 48 3 0,375 76 -3 11 1,375 12 28 67 -4 -43 -5,375 74 13 -1 -0,125 68 -26 1 0,125 24 -9 5 23 -6 -39 -4,875 37 -11 22 52 0,625

Valutazione degli effetti importanti

Scrittura del modello di previsione Minimizzazione del ritiro: B al livello basso, A al livello basso

Grafico degli effetti principali significativi Grafico dell’interazione significativa

Normalità dei residui

Analisi della variabiità casuale in funzione dei fattori

Verifica dell’indipendenza degli errori

Verifica di assenza di legame tra media e varianza della risposta