Capitolo 12 Minimo albero ricoprente Algoritmi e Strutture Dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Definizioni Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso. Un albero ricoprente di G è un sottografo T  G tale che: –T è un albero; –T contiene tutti i vertici di G. Sia w(e) il costo (o peso) di un arco e  E. Un minimo albero ricoprente di G è un albero ricoprente di costo minimo. (Il costo dell’albero è la somma dei costi degli archi che l’albero contiene.)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Esempi Il minimo albero ricoprente non è necessariamente unico

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Proprietà dei minimi alberi ricoprenti

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 Tagli e cicli Dato un grafo non orientato G=(V,E), un taglio in G è una partizione dei vertici V in due insiemi (disgiunti): X e Y=V-X. Un arco e=(u,v) attraversa il taglio (X,Y) se u  X e v  Y Un ciclo è un cammino in cui il primo e l’ultimo vertice coincidono

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Un approccio “goloso” Costruiremo un minimo albero ricoprente un arco alla volta, effettuando scelte localmente “golose”. Ad esempio: –includere nella soluzione archi di costo piccolo –escludere dalla soluzione archi di costo elevato Formalizzeremo il processo come un processo di colorazione: –archi blu: inclusi nella soluzione –archi rossi: esclusi dalla soluzione

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Regola del taglio (regola blu) Scegli un taglio che non contiene archi blu. Tra tutti gli archi non colorati del taglio, scegline uno di costo minimo e coloralo blu. Ogni albero ricoprente deve infatti contenere almeno un arco del taglio E’ naturale includere quello di costo minimo

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Teorema dei tagli Teorema: Dato un grafo non orientato G=(V,E), e dato un taglio C=(X,Y) in G, un arco e=(u,v) di costo minimo che attraversa il taglio C appartiene ad un qualche MAR di G. Dim.: Supponiamo per assurdo che e non appartenga ad alcun MAR di G. Sia T=(V,E′) un qualsiasi MAR di G, e consideriamo il taglio C in T.

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 Teorema dei tagli u v X Y L’albero ottenuto da T sostituendo l’arco (x,y) di peso 6 con l’arco (u,v) di peso 5 è un albero ricoprente di G più leggero di T, che per ipotesi era un MAR  contraddizione! x y

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 11 Regola del ciclo (regola rossa) Scegli un ciclo che non contiene archi rossi. Tra tutti gli archi non colorati del ciclo, scegline uno di costo massimo e coloralo rosso. Ogni albero ricoprente deve infatti escludere almeno un arco del ciclo E’ naturale escludere quello di costo massimo

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 L’ approccio “goloso” L’approccio goloso applica una delle due regole ad ogni passo, finché tutti gli archi sono colorati Si può dimostrare che esiste sempre un minimo albero ricoprente che contiene tutti gli archi blu e non contiene nessun arco rosso. Si può inoltre dimostrare che il metodo goloso colora tutti gli archi.

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 13 Tempi di esecuzione A seconda della scelta della regola da applicare e del taglio/ciclo usato ad ogni passo, si ottengono dal metodo goloso diversi algoritmi con diversi tempi di esecuzione

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Algoritmo di Kruskal

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 15 Strategia Mantiene una foresta di alberi blu, all’inizio tutti disgiunti Per ogni arco, in ordine non decrescente di costo, applica il seguente passo: se l’arco ha entrambi gli estremi nello stesso albero blu, applica la regola del ciclo e coloralo rosso, altrimenti applica la regola del taglio e coloralo blu I vertici nello stesso albero blu sono mantenuti tramite una struttura dati union/find

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 16 Pseudocodice

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 17 Esempio (1/2)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 18 Esempio (2/2)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 19 Analisi della complessità Vengono eseguite: n operazioni di Makeset (costo O(n)); Un ordinamento su m elementi (costo O(m log m), nell’ipotesi che il grafo in input sia rappresentato tramite una lista di adiacenza)); 2m operazioni di Find; n-1 operazioni di Union.  T(n,m)=O(n+m log m + T(UF(n,m))= O(m log n + T(UF(n,m))

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 20 Analisi della complessità La complessità dipende da come viene risolto UF(n,m): 1.Alberi QuickFind: T(UF(n,m))=O(n 2 +m)=O(n 2 )  T(n,m)=O(m log n + n 2 ). 2.Alberi QuickFind con euristica dell’unione bilanciata: T(UF(n,m))=O(n log n+m)  T(n,m)=O(m log n + n log n +m)=O(m log n). 3.Alberi QuickUnion: T(UF(n,m))=O(n+mn)=O(nm)  T(n,m)=O(m log n + nm)=O(nm). 4.Alberi QuickUnion con euristica dell’unione bilanciata : T(UF(n,m))=O(n+m log n)=O(m log n)  T(n,m)=O(m log n + m log n)=O(m log n).

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 21 Analisi della complessità Il tempo di esecuzione dell’algoritmo di Kruskal è O(m log n) nel caso peggiore (Utilizzando un algoritmo di ordinamento ottimo e gestendo la struttura dati union- find con alberi QuickFind con euristica di unione bilanciata, o alberi QuickUnion con euristica di unione bilanciata (by rank o by size))