Instabilita’ gravitazionale ed onde di densità nei dischi astrofisici

INTRODUZIONE Teoria delle perturbazioni gravitazionali introdotta negli anni ‘60 per spiegare la struttura a spirale della galassia (Lin, Shu). La rotazione differenziale della galassia non può sostenere strutture a spirale stazionarie M51

Teoria usata successivamente nei dischi circumstellari: onde a spirale nel disco; trasporto di massa e momento angolare; frammentazione del disco (perturbazioni instabili); formazione dei pianeti (addensamenti autogravitanti); riscaldamento del disco (per dissipazione delle onde). Trattazione idrodinamica (anche per il disco galattico).

CONDIZIONI INIZIALI Disco fisicamente sottile: M Conseguenza: ρ z r Galassia Sombrero ρ z M r Conseguenza:

Condizioni stazionarie Rotazione differenziale Pressione integrata verticalmente: Simmetria assiale: La pressione è una funzione della densità (entalpia):

EQUAZIONI CHE GOVERNANO IL SISTEMA Equazione di Navier-Stokes Equazione di continuità Coordinate cilindriche

u=componente radiale della velocità; J=momento angolare specifico: Dove: u=componente radiale della velocità; J=momento angolare specifico: Ψ=potenziale gravitazionale: Unica equazione del moto iniziale non banale:

PERTURBAZIONI LINEARI EQUAZIONI PERTURBATE LINEARIZZATE Componente θ dell’equazione di Navier-Stokes

Introducendo la frequenza epiciclica: Altre equazioni perturbate linearizzate:

Scomposizione di Fourier delle perturbazioni Ad es: equazione di continuità:

Altre equazioni: Condizioni al contorno:

Curva dei massimi di densità: APPROSSIMAZIONE WKBJ Se ad esempio scriviamo: Curva dei massimi di densità: Onde a Spirale

L’onda precede (leading spiral) se o segue (trailing spiral) se la rotazione del disco. i θ rotazione leading trailing Rotazione del disco Velocità del pattern: Raggio di Corrotazione:

Soluzione Asintotica dell’equazione di Poisson Ogni derivata rispetto r produce un fattore grande k Integrando lungo z:

Massimi di densità corrispondono a minimi di potenziale Espandiamo Φ per piccoli z e trascuriamo le variazioni di A: Massimi di densità corrispondono a minimi di potenziale

Le nubi che compongono la galassia vengono compresse al passaggio dell’onda Stella OB Nelle nubi si innescano processi di formazione stellare. Le stelle giovani, di varia massa, si allontanano dalla perturbazione Le stelle OB terminano la loro evoluzione prima di allontanarsi considerevolmente dalla spirale

Legge di dispersione WKBJ Approssimazioni: ogni derivata spaziale porta un fattore k grande; la velocità del suono e’ piccola rispetto Ωr (disco sottile) Si possono riordinare le equazioni del moto e di continuità. Ad esempio (componente θ dell’equazione di Navier-Stokes):

LEGGE DI DISPERSIONE WKBJ Risolvendo per la densità superficiale S: Usando la soluzione asintotica della legge di Poisson: LEGGE DI DISPERSIONE WKBJ

PERTURBAZIONI A SIMMETRIA ASSIALE (m=0) Oscillazioni stabili per ω2 >0 ; perturbazione instabile per ω2 <0. Fattori stabilizzanti: rotazione differenziale (piccoli valori di k) pressione (grandi valori di k) Fattore destabilizzante gravità Parametro di Toomre

ω2=0 (limite di stabilità) Per Q<1 esistono perturbazioni instabili con una lunghezza d’onda troppo grande o troppo piccola per essere stabilizzata da pressione e/o rotazione differenziale. Q ω2>0 stabile ω2=0 1 ω2<0 instabile ξ 1/2 1

PERTURBAZIONI NON A SIMMETRIA ASSIALE m≠0 + → Onde Corte; - → Onde Lunghe k>0, +, onde leading corte (SL) k>0, -, onde leading lunghe (LL) k<0, +, onde trailing corte (ST) k<0, -, onde trailing lunghe (LT) Per onde lunghe, (risonanza di Lindblad) Intervallo principale

BARRIERA Q Si verifica dove: coesistono onde lunghe e onde corte, ma queste hanno k con segni diversi Un’onda lunga che incide su una barriera Q viene riflessa in un’onda corta e viceversa Possibili fenomeni di interferenza tra le barriere Q e nell’intervallo principale: Interferenze distruttive Instabilità: formazione di strutture autogravitanti Dissipazione delle onde con riscaldamento del disco Onde stazionarie

Simulazione di Quinn dell’Università di Washington Simulazione di Quinn dell’Università di Washington. I colori blu, magenta, rosso e giallo sono una scala di densità crescente. I due pannelli superiori si riferiscono ad un disco il 10% meno massiccio di quello rappresentato nei pannelli inferiori; entrambi orbitano attorno una stella di 1 massa solare e sono estesi 20 UA. L’intervallo temporale tra le configurazioni a destra e sinistra è di soli 200 anni. Dopo questo tempo, nel disco meno massivo si sviluppano dei modi normali stazionari; il disco piu’ massiccio è instabile, le spirali diventano autogravitanti ed il disco si frammenta, dando inizio alla formazione protoplanetaria.