Argomentare, congetturare, provare nelle situazioni non didattiche Il ruolo dei ragionamenti nell’apprendimento 

Plan 1. Introduzione: i paradossi l ’insegnamento del ragionamento (testo) 2. Situazioni per passare dalla retorica ai ragionamenti logici 3. Un esempio : l ’apprendimento del contro esempio 4. Situazione didattica, non didattica e a- didattica (ricordare il glossario)

L’ingegnere delle situazioni Un gran numero di situazioni sono state inventate e sperimentate affinchè gli allievi apprendano le matematiche dalla pratica del dibattito sulla prova. Alcuni hanno per oggetto preciso di insegnare le regole complesse dell ’argomentazione. ex :« chi dirà 20 », « il centro del cerchio circonscritto ad un triangolo »...

La ricerca del numero più grande Ecco un esempio introduttivo alla situazione di argomentazione e della prova.

Che fanno i matematici? Un processo di tre situazioni per far comprendere a de ragazzi di 10 anni, il ruolo delle dimostrazioni e dei contro esempi : Il concorso del numero più grande Il gioco dei mercanti di metodi Il concorso dei teoremi

Il concorso del numero più grande Il professore : « Scrivo 5 numeri naturali alla lavagna » « Utilizzando questi 5 nomeri una volta ed una sola, e con l’aiuto delle operazioni che voi conoscete (+, -, x, : ), e che voi sceglierete come voi vorrete, provate ad ottenere un numero il più grande possibile. E’ un concorso tra di voi. »

Ecco i numeri : 3;8;7;5;4 «Per vincere bisogna : Aver detto quali operazioni bisogna fare per calcolarlo Aver effettuato il calcolo senza errori e che nessuno abbia trovato un numero più grande » (situazione d ’azione)

Situazione d’azione Conoscen ze Soggetto o istituzion e che agisce Ambiente materiale, sociale etc. Azioni informazioni Figura 4 Situazione d’Azione

Il gioco del mercante di metodi « L’igegnere che inventa un nuovo metodo, un materiale o un metodo di fabricazione ne fa una decsrizione precisa ed ottiene un brevetto. In seguito tutti quelli che vogliono utilizzare questo prodotto, questo materiale o questo metodo devono pagare dei diritti all’inventore»

(Situazione di formulazione e di comunicazione) « Allora provate a dire prima quali operazioni bisogna fare per guadagnare il prossimo concorso del numero più grande. Dovete scegliere e descrivere un metodo. Mettetevi in gruppi di 4. Non saprete anbcora i numeri che io vi proporrò, bisognerà dunque disegnarli, con delle lettere forse ? »

Ordinogramma e formule Esempio di proposizioni di allievi ((3 x 8) x (7 x 5)) x x x 24 x x 3360

più tardi … Anne io ho sommato il più grande : uguale 9 e 9 volte tre 27 Alexandra : Io faccio il metodo di Aline? Anne : Ma no, bisogna fare il mio poiché é quello là che si é trovato, allora tu fai il tuo. 

Situazione di comunicazione Repertori o Conoscen ze, linguaggi, etc. E Soggetto o istituzione Che emette Ambiente materiale sociale etc. Figura 5 Situazione di comunicazione R Soggetto o Instituzion e Che riceve Messaggi o Repertorio Conoscenz e, linguaggi, etc. Ambiente di R

(Nuova sitazione d ’ azione) Prima di fare una nuova partita, –I gruppi di inventori verranno ad esporre i loro metodi, –I giocatori sceglieranno quello che vorranno utilizzare –Gli inevntori riceveranno un punto dalla scelta ma dopo al partita se il metodo ha perduto, l’inventore pagerà un compenso

Provate con 3; 5; 2; 6; 7 « I compratori, mettono alla prova i metodi venduti dai venditori » Adesso una situazione che modellizza una attività matematica ; la situazione di prova e di validadazione sociale

Il concorso dei teoremi Invece di guadagnare dei punti solamente giocando a fabricare dei metodi o ad utilizzarli potete guadagnare discutendoli: Se mostrate che un metodo in vendita non da sempre il numero più grande voi segnerete 10 punti

Se l’inventore rifiuta di riconoscere il suo errore? –Potete obbligarlo a giocare con i numeri che voi gli proporrete, guadagnerete i punti che egli perde Segnerete dei punti... –Convincendo i vostri compagni che avete ragione –Mostrando che le dichiarazioni degli altri sono sbagliate

(Situazione di prova e validazione sociale) Perederete dei punti se vi sbagluate e soprattutto se vi ostinate a sostenere un errore

Alexandra: Se tu moltiplichi 0 per 5 avrai 0. Ma se tu fai 0 +5 avrai 5. Aline diceva che quando si ha dei numeri bisogna moltiplicarli tutti … 

Alex. E se si fa 1 volta 5 questo fa 5. Se tu fai 1+5, questo fa 6 Anne. E’ quello che avevo dello l’ultima volta Alex. Ecco ! Il metodo di Aline non funziona Eymeric Questo funziona con i numeri … Anne … Tutti i numeri salvo 0 e 1

Primi teoremi Degli allievi propongono « Bisogna moltiplicare tutti i numeri » Discutono rapidamente e s’accordano sul fatto che l’ordine non ha importanza: « bisogna moltiplicare tutti i numeri non importa in quale ordine.»

Lo zero truffa ! Allora il professore propone 3; 4; 7; 0; 2 ! Subito gli allievi cercano insiemi di numeri che contraddicono i metodi Cioè dei contro esempi

1 anche ! 3; 4; 1; 7; 9 Come utilizzare l ’ 1? E in questo caso 1;3;7;1;2 ? ? … Ad ogni tappa di nuovi contro esempi … fino a 1; 1 ;1; 1 ;1

Elsa: Se si somma l’1 alla fine, non é che una volta Anne (off) Questo sarà minore Elsa: Per esempio si moltiplica al più grande… heu... si addiziona al più grande, quando multiplica, é parecchie volte, é ripetuto Voix (off) Ma non ! 

Anne (off) Se e si é quello che ho detto. Elsa : 8+1 questo fa 9, ma se io faccio dopo 9 volte 5, l’1 é ripetuto… é 5 volte dentro Se tu lo sommi alla fine, non é che una volta Anne (off): E’ quello che ho detto, anche se ha trovato 481 ed io ho trovato 540 !

aritmetica Così nel corso di questa tappa gli allievi s’interrogano sulla commutatività, utilizzano implicitamente la distributività della moltiplicazione per spiegare il loro lavoro Bisogna aggiungere 1 ad uno dei terminidel prodotto o al prodotto stesso ? Ed a quale numero, al grande ? Al piccolo ?

Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. A Soggetto o istituzione Proponente Ambiente materiale sociale etc. Figura 6 Situazione di prova, o di validazione sociale B Soggetto o Istituzione Opponent e Modello dell’ambien te Prove Teoremi Soggetto del dibattito Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc..

Gli allievi domandano : esistono teoremi senza contro-esempio? In questa attività, gli allievi –si esercitano nell’arte del contro-esempio –utilizzano e formulano dei teoremi d ’aritmetica –«scoprono» le regole della dimostrazione come mezzo dell’argomentazione. –E si fanno un’idea soggettiva di « che cosa é l’attività matematica ? » 

1. Quali situazioni possono condurre all’uso non didattico della retorica equindi ai ragionamenti logici ?

Situazione d ’azione A interagisce con l’ambiente M per ottenere un certo risultato Se non si ottiene E se si rende conto che gli manca un mezzo d ’azione o una informazione... A Soggetto o istituzione Proponente Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. Ambiente materiale sociale etc. informazione azion e

Situazione di cooperazione … E che un altro B può agire per lui o aiutarlo Allora tenta d’influenzare B –con la coercizion o –con la retorica A Soggetto o istituzione Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. Ambiente materiale sociale etc.. informazione azion e B Soggetto o istituzione influenza

Retorica Influenzare le decisioni di B Modificare il sistema delle decisioni di B (le sue ragioni d ’agire) con dei mezzi di cui non può essere cosciente: seduzione, autorità etc. Argomentazione Modificare il repertorio di B, ma convincerlo con degli argomenti contrllabili e accettati da lui. Rinunziare ad ogni altro mezzo

Modificare il repertorio di B, ma convincere B con degli argomenti controllabili e accettati. Comunicare una « proposizione » che si riferisce all’ambiente M E ad un repertorio di « ragioni », o di A Soggetto o istituzione Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc Ambiente materiale sociale etc. B Soggetto o istituzione proposizione Modello dell’Ambie nte Conoscenze comuni

Milieu de E Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc A Soggetto o istituzione Proponente Ambiente materiale sociale etc. Figura 6 Situazione di prova, o di validazione sociale A Soggetto o istituzione Opponent e Modello dell’ambien te Prove Teoremi Soggetti del dibattito Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc

Questioni d ’ingegneria Gli scambi tra un proponente e un opponente devono seguire delle regole precise (ref. P. Lorenzen) Possono apprendere senza la pratica dei dibattiti (ref. Lakatos) ? I soli dibattiti a-didattici possono portare alla conoscenza di queste regole ?

e di didattica Quali relazioni precise debbono avere con l’ambiente quando dibattono un teorema preciso? Ogni teorema esige un ambiente differente? Le matematiche sono fatte con gli stessi tipi di ragionamenti?

I differenti componenti del ragionamento logico

Oggetti di giustificazioni Le operazioni, il calculo dei termini –loro natura e loro buona forma –loro ordine o loro organizzazione Le dichairazioni, le asserzioni le dimostrazioni gli oggetti stessi (definizioni) loro notazione

Giustificazioni e prove 1 Per rapporto all’ambiente proprio: –la pertinenza –l ’adeguazione per rapporto all’ambiente esteso –la novità –l ’utilità... per rapporto al soggetto –l ’adattazione (repertorio, ergonomia)

Gustificazio e prove 2 Per rapporto alla teoria –la consistenza (non contraddizione) –l ’indipendenza, la costruibilità... –la falsificabilità… per rapporto allambiente circostante –l ’opportunità –l ’idoneità...

Situazioni e métodi Congetture prove e contr-esempi Modelli e rappresentazioni teoremi e meta-teoremi

Retorica didattica L ’insegnante A influenza i repertori dell’allievo B affincè egli possa agire convenientemente sull’ambiente M nel futuro. A Soggetto professore Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. Ambiente materiale sociale etc. saperi Azione futura B Soggetto allievo insegnamento

I paradossi Apprendere il ragionamento senza ragionare? Insegnare quello che l’allievo deve pensare da se stesso ? Utilizzare una logica didattica differente da quella che si vuole insegnare ? Confondere il pensiero dell’allievo e la dimostrazione matematica ? 

3. Ricorda Situazioni a- didattiche

Situation A1) Una situazione é (in didattica), un insieme di condizioni che conducono un soggetto umano a utilizzare una conoscenza precisa come mezzo per regolare questa situazione o d’ottenervi un certo risultato.

Situation non didactique A2) Una situazione é detta “ non didattica ” (self content) se il soggetto é condotto a questa utilizzazione di conoscenza senza l’interveto d’un terzo, senza informazione esterna né correzioni e senza ingiunzioni di sorta. Per esempio una prova di controllo é in principio “ non didattica ”. (Snd)

Situazione n.d. con uso didattico A3) Una situazione non didattica può essere utilizzata a dei fini didattici: per esempio per un controllo o nel quadro di un insegnamento per riproduzione o per ripetizione…

Situazione d ’apprendimento n.d. B1) Alcune di queste situazioni permettono o conducono un soggetto umano a mettere in opera e/o di sviluppare questo mezzo di soluzione, anche se non lo conosceva prima. Queste sono delle situazioni d’apprendimento non didattiche.

Situazioni didattiche B2) Une situazione é didattica quando uno dei patner della situazione prova a modificare le conoscenze degli altri con degli interventi specifici I professori provano a metterei loro allievi nella posizione di utilizzare ciò che loro insegnano nelle condizioni non didattiche.

Tipi di situazioni C1) Le conoscenze si manifestano sotto tre forme principali (comportamenti, informazioni, argomenti). Ad ogni forma corresponde un tipo d’apprendimento spontaneo differente e una struttura specifica delle situazioni non didattiche che li provocano (azione, comunicazione, giustificazioni).

Devoluzione, Instituzonalizzazione C2) I professori perparano e manipolano le situazioni nelle quali si trovano gli allievi, facendoli entrare (devoluzione) o uscire (instituzionalizzazione) dal dominio non- didattico in processi complessi de situazioni didattiche. Gli corrispondono delle modalità didattiche di tre forme di conoscenze presentate quì di seguito.

De-didattificazione C3) Nel corso dell’educazione, tutte le situazioni sono spontaneamente considerate dai ragazzi e dagli adulti come didattiche. Bisogna fare uno sforzo particolare di devoluzione per privare la situazione lasciata all’allievo dei suoi presupposti didattici.

Situazione a-didattica Una situazione resa provvisoriamente e parzialmente non didattica é detta a- didattica : l’allievo é cosciente che deve regire con le proprie sue forze e la sua rsponsabilità, benchè egli non sia sicuro di arrivarvi.