A.S.E.7.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 7 ALGEBRA BOOLEANA PostulatiPostulati Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali

A.S.E.7.2 Richiami Insieme di elementiInsieme di elementi Variabili, costantiVariabili, costanti Insieme di operazioniInsieme di operazioni Insieme di postulatiInsieme di postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità Espressione algebrica vs. Tabella di veritàEspressione algebrica vs. Tabella di verità Tabella di verità vs. Espressione algebricaTabella di verità vs. Espressione algebrica

A.S.E.7.3 Postulati Requisiti di un set di postulatiRequisiti di un set di postulati ConsistenzaConsistenza –Un postulato non deve contraddire un altro IndipendenzaIndipendenza –Un postulato non deve essere conseguenza di un altro Minimo numeroMinimo numero –Insieme indispensabile

A.S.E.7.4 Postulati di HUNTINGTON (1) Esistono un dominio”B” costituito almeno da due elementi e due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e (  )  tali che:Esistono un dominio”B” costituito almeno da due elementi e due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e (  )  tali che: a.Se x e y sono elementi di “B”, allora x +y è un elemento di “B”. L’operazione eseguita da (+) prende il nome di SOMMA LOGICA. b.Se x e y sono elementi di “B”, allora x  y è un elemento di “B”. L’operazione eseguita da (  ) prende il nome di PRODOTTO LOGICO.

A.S.E.7.5 Postulati di HUNTINGTON (2) ELEMENTI IDENTITÀ Sia x un elemento di “B”Sia x un elemento di “B” a.Esiste in “B” un elemento “0”, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (+) tale che risulti x + 0 = x. b.Esiste in “B” un elemento “1”, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (  ) tale che risulti x  1 = x.

A.S.E.7.6 Postulati di HUNTINGTON (3) Proprietà COMMUTATIVA a.Esiste la proprietà commutativa rispetto alla somma logica: x + y = y + x b.Esiste la proprietà commutativa rispetto al prodotto logico: x  y = y  x

A.S.E.7.7 Postulati di HUNTINGTON (4) Proprietà DISTRIBUTIVA a.Il prodotto logico è distributivo rispetto all’addizione :x  (y + z ) = (x  y ) + (x  z ) b.La somma logica è distributiva rispetto al prodotto:x + (y  z ) = (x + y )  (x + z )

A.S.E.7.8 Postulati di HUNTINGTON (5) COMPLEMENTAZIONE Se x è un elemento di ”B”, allora esiste un altro elemento x, detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà:Se x è un elemento di ”B”, allora esiste un altro elemento x, detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà: a.x + x = 1 b.x  x = 0 x realizza l’operazione di complemento di xx realizza l’operazione di complemento di x

A.S.E.7.9 Riassunto POSTULATIPOSTULATI

A.S.E.7.10 Osservazioni Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata:Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata: –Proprietà commutativa –Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere :Altre proprietà non sono vere : –Proprietà distributiva della somma logica L’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleanaL’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleanaLa sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleana

A.S.E.7.11 Principio di DUALITÀ Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a”Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a” –Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con (  ) e (  ) con (+) –Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1

A.S.E.7.12 TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremiTecniche di dimostrazione dei teoremi –Impiego dei postulati fondamentali –Uso di teoremi precedentemente dimostrati –Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera)(si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) –Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)(se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n)

A.S.E.7.13 Teorema 1 1a1b1a1b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione Per DualitàPer Dualità

A.S.E.7.14 Teorema 2 (Involuzione) Il complemento del complemento è l’elemento stesso Dimostrazione………………

A.S.E.7.15 Teorema 3 (Idempotenza) 3a3b3a3b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione per dualità

A.S.E.7.16 Teorema 4 (assorbimento) 4a4b4a4b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione per dualità

A.S.E.7.17 Teorema 5 (semplificazione) 5a5b5a5b DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione

A.S.E.7.18 Teorema 6 (Legge Associativa) 6a6a 6b6b

A.S.E.7.19 Teorema 7 (Consenso) 7a7a DimostrazioneDimostrazione 7b7b

A.S.E.7.20 Teorema 8 ( Teorema di DE MORGAN ) 8a8b8a8b

A.S.E.7.21 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabiliLa tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale metodo prende il nome diTale metodo prende il nome di Metodo dell’INDUZIONE PERFETTEMetodo dell’INDUZIONE PERFETTE

A.S.E.7.22 Teorema 8 (dimostrazione) 8a8b8a8bxyx+y ( x+y) xy x y xy ( x y) xy x + y

A.S.E.7.23 Riassunto TEOREMITEOREMI

A.S.E.7.24 Conclusioni I 5 Postulati dell’algebra BooleanaI 5 Postulati dell’algebra Booleana Principio di dualitàPrincipio di dualità Teoremi fondamentaliTeoremi fondamentali Induzione PerfettaInduzione Perfetta