Autronica LEZIONE N° 14 ALGEBRA BOOLEANA Postulati Principio di dualità Teoremi fondamentali insieme funzionalmente completo NAND e NOR Funzione XOR Reti logiche combinatorie e sequenziali Simboli Concetto di ciclo Concetto di minimizzazione (funzione costo) Realizzazioni diverse della stessa funzione Half Adder e Full Adder Sommatori di due word di n bit AUTRONICA

Richiami Insieme di elementi Variabili, costanti Insieme di operazioni Insieme di postulati Espressioni algebriche Tabella di verità AUTRONICA

Postulati di HUNTINGTON Algebra Booleana AUTRONICA

Osservazioni Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata: Proprietà commutativa Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere : Proprietà distributiva della somma logica L’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleana AUTRONICA

Principio di DUALITÀ Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a” Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con (·) e (·) con (+) Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1 AUTRONICA

TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremi Impiego dei postulati fondamentali Uso di teoremi precedentemente dimostrati Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n) AUTRONICA

Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale metodo prende il nome di Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE AUTRONICA

TEOREMI AUTRONICA

Esempio di dimostrazione Teorema di De Morgan (8a e 8b) x y x + y (x + y) x · y 1 c.v.d. AUTRONICA

Osservazioni I teoremi di destra si possono ottenere da quelli di sinistra scambiando OR con AND e “0” con “1” Principio di dualità Molti dei teoremi visti sono veri anche nell’algebra che conosciamo Particolarmente significativi sono i teoremi di De Morgan e la proprietà distributiva Molti teoremi, in particolare quelli di De Morgan, sono veri anche per “n” variabili AUTRONICA

Esempio 1 Semplificare la seguente espressione: In base ai teoremi visti si ha: P 4b P 5b P 2a AUTRONICA

Esempio 1’ Per altra via; posto: si ha: P 4b P 4a P 3b AUTRONICA

Premessa 1 Osservazioni le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici In base al teorema di De Morgan si ha: ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi: le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici AUTRONICA

Premessa 2 Osservazioni Sempre in base al teorema di De Morgan si ha: ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT AUTRONICA

Definizione Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità x y u 1 x y u 1 AUTRONICA

Osservazioni NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici AUTRONICA

Funzioni “complesse” 1 L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è: Definizione y u 1 AUTRONICA

Funzioni “complesse” 2 L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è: Definizione x y u 1 AUTRONICA

Reti Logiche Sistema elettronico che ha in ingresso segnali digitali e fornisce in uscita segnali digitali secondo leggi descrivibili con l’algebra Booleana R.L. è unidirezionale a x R. L. b y · · n w AUTRONICA

Tipi di reti Reti COMBINATORIE Reti SEQUENZIALI In qualunque istante le uscite sono funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante Il comportamento (uscite in funzione degli ingressi) è descritto da una tabella Reti SEQUENZIALI In un determinato istante le uscite sono funzione del valore che gli ingressi hanno in quell’istante e i valori che hanno assunto precedentemente La descrizione è più complessa Stati Interni Reti dotate di MEMORIA AUTRONICA

Simboli Rete Logica =>scomponibile in blocchi Blocchi base = simboli degli operatori elementari Rappresentazione delle funzioni logiche mediante schemi RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA AUTRONICA

Porte logiche Rappresentazione circuitale delle funzioni logiche AND NOT X1 X2 Y X3 X1 Y X2 X Y AUTRONICA

Esempio Schema simbolico della funzione RETE LOGICA RETE LOGICA X1 X2 U = f(X1, X2,…., Xn) Xn X1 X2 U X3 AUTRONICA

Altre porte logiche NAND NOR X Z Y 1 X Z Y X Z Y 1 X Z Y AUTRONICA

Proprietà della porta NAND (NOR) Utilizzando solamente porte NAND (NOR) è possibile realizzare qualunque rete logica NOT AND OR X Y = X X Y = XZ Z X Y = X+Z Z AUTRONICA

OR Esclusivo Realizzazione dell’OR Esclusivo X Y U 1 X X Y U U Y 1 X X Y U U Y AUTRONICA

Ciclo Definizione Osservazioni Conclusione Ciclo: Percorso chiuso che attraversa k blocchi (k ≥ 1) tutti nella loro direzione di funzionamento Osservazioni Tutte le reti viste sono prive di cicli I blocchi base combinatori sono privi di cicli Le funzioni descrivibili dalle tabelle di verità sono tutte prive di cicli (le uscite sono funzione dei solo ingressi) Conclusione Tutte le reti logiche composte di blocchi combinatori e prive di cicli sono rei combinatorie AUTRONICA

Sintesi di reti combinatorie data la descrizione ai terminali di una rete combinatoria ottenere la struttura in blocchi logici e le relative interconnessioni Osservazioni il funzionamento della rete deve essere possibile descriverlo mediante una tabella di verità non esiste una sola realizzazione per poter scegliere fra le varie soluzioni è necessario definire il parametro da ottimizzare Funzione COSTO (numero di blocchi base, ritardo ingresso uscita, uso di particolari blocchi, ……..) VEDERE ESEMPI SUCCESSIVI AUTRONICA

Esempio di funzione Data la funzione definita dalla Tabella di Verità: Si ha: a b c z 1 AUTRONICA

Schemi relativi 1 a b c z a a b b c c AUTRONICA

Schemi relativi 2 a b z c AUTRONICA

Schemi relativi 3 a b z c AUTRONICA

Schemi relativi 4 a z b c a b z c AUTRONICA

Half Adder Somma di due bit H A ai bi si ci+1 1 si ai bi ci+1 ai si bi 1 si ai bi ci+1 ai si H A bi ci+1 AUTRONICA

Full Adder 1 Somma di due bit compreso il Carry si ci+1 ci ai bi si 1 ai ,bi ci 00 01 11 10 1 si ai ,bi ci 00 01 11 10 1 ci+1 AUTRONICA

Full Adder 2 Lo schema risulta F A F A ai si bi ci+1 ai ci bi si ci ai AUTRONICA

Sommatore a riporto seriale (Ripple-Carry Adder) Somma di due parole di 4 bit in C. 2 b3 a3 b2 a2 b1 a1 b0 a0 c0 FA ci ai si bi FA ci ai si bi FA ci ai si bi ci+1 ci+1 FA ci ai si bi ci+1 ci+1 c4 s3 s2 s1 s0 AUTRONICA

Proprietà dello XOR Lo XOR può essere visto come un inverter “programmabile” S in out 1 in out S AUTRONICA

Considerazioni sulla sottrazione Si ricorda che Operando in complemento a 2 si ha Quindi AUTRONICA

Sommatore/Sottrattore In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha: a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0 k A–B K=1 A+B k=0 ai bi ci ai bi ci ai bi ci ai bi ci FA FA FA FA si si si si ci+1 ci+1 ci+1 ci+1 c4 s3 s2 s1 s0 AUTRONICA

Conclusioni Postulati Principio di dualità Teoremi fondamentali insieme funzionalmente completo NAND e NOR Funzione XOR Reti logiche combinatorie e sequenziali Simboli Concetto di ciclo Concetto di minimizzazione (funzione costo) Realizzazioni diverse della stessa funzione Half Adder e Full Adder Sommatori di due word di n bit AUTRONICA