Il simulated annealing (SA) Analogia con il processo di solidificazione di un metallo fuso A partire dal metallo fuso, la temperatura viene abbassata lentamente e il sistema transita da uno stato energetico al successivo fino a quando il metallo solidifica nello stato di minima energia L’annealing è un processo termico per mezzo del quale un materiale allo stato liquido riesce a solidificarsi nello stato di minima energia. Simulated annealing (SA) 1

Passi salienti del processo fisico il sistema viene portato alla temperatura di fusione il sistema si trova in uno stato i e può transitare in uno stato j ottenuto perturbando lo stato i la transizione avviene seguendo il criterio di Metropolis la temperatura deve essere abbassata lentamente in modo che il solido raggiunga l’equilibrio termico ad ogni temperatura dove T è la temperatura e kB è la costante di Boltzmann Simulated annealing (SA) 2

Modello matematico perturbazione generatore di configurazioni x temperatura parametro di controllo T minima energia ottimo globale criterio di Metropolis raffreddamento funzione di T decrescente energia dello stato f(x) stato del sistema x Probabilità di accettazione dello stato j alla temperatura T Simulated annealing (SA) 3

Physical annealing ... ... ... ENERGY Equilibrium at temperature Tmax STATE 1 STATE 2 ... STATE n0 Equilibrium at T1<Tmax ... STATE n1 MINIMAL ENERGY STATE ... STATE nc MIN Equilibrium at Tmin ENERGY MAX MIN

Simulated annealing ... ... ... CONTROL PARAMETER cooling schedule starting temperature cooling schedule equilibrium criterion MAX SOLUTION 1 SOLUTION 2 ... SOLUTION K random changes generator SOLUTION REJECTED cooling schedule decrement function CONTROL PARAMETER no GLOBAL OPTIMUM Metropolis criterion NEW SOLUTION yes BEST SOLUTION LAST SOLUTION SOLUTION 1 ... ... MIN cooling schedule stop criterion OBJECTIVE FUNCTION (average) MAX MIN

Teoria matematica Descrizione mediante catene di Markov Convergenza alla soluzione ottima con probabilità 1 per un numero infinito di transizioni Ovviamente questa affermazione è di scarsa utilità ai fini dell’implementazione del Simulated Annealing come algoritmo di ottimizzazione Simulated annealing (SA) 6

Realizzazione dell’algoritmo Descrizione delle configurazioni e generatore casuale di configurazioni Funzione obiettivo F e criterio di accettazione Parametro di controllo T e schema di raffreddamento Vettore parametri reali Per spostarsi dallo stato i allo stato j analogo dell’energia Simulated annealing (SA) 7

Generazione casuale metodo del simplesso simplesso iniziale N+1 vertici movimenti del simplesso scarto del vertice peggiore contrazione globale Simulated annealing (SA) 8

Movimenti del simplesso iniziale Riflessione Espansione Contrazione Contrazione globale

Criterio di Metropolis Calcolo della funzione obiettivo della nuova configurazione j e confronto con la precedente configurazione i per il calcolo della probabilità di accettazione di j: Generazione di un numero random r  ]0,1[ e confronto con PT{j}: se PT{j} < r la nuova configurazione viene scartata. Simulated annealing (SA) 10

Schema di raffreddamento Temperatura iniziale Numero di passi a temperatura costante Funzione di decremento Criterio di arresto Il concetto fondamentale che guida la scelta di questi parametri è quello di quasi equilibrio Simulated annealing (SA) 11

Temperatura iniziale Valore abbastanza alto Deviazione standard vertici del simplesso Rapporto di accettazione iniziale  1 (PTCS) Abbastanza = dipende dal rpoblema Rapporto di accettazione = percentuale transizioni accettate ad una data temperatura Deviazione standard valori funzione obiettivo nei vertici Simulated annealing (SA) 12

Temperatura iniziale mediante PTCS m1 il n° di transizioni da i --> j per cui f(i)f(j), m2 n° di tr. per cui f(i)f(j) differenza media delle funzioni obiettivo per le transizioni m2,  è il rapporto di accettazione. Viene generata una sequenza di m0 transizioni; dopo ogni transizione viene calcolato un nuovo valore di T0 dalla (2) dove  è posto uguale a 0 . La procedura converge, anche se non velocemente. Simulated annealing (SA) 13

Schemi di raffreddamento Simulated annealing (SA) 14

Simulated annealing (SA) 15

Simulated annealing (SA) 16

Confronto tra le diverse funzioni di decremento Simulated annealing (SA) 17

Criterio di arresto Valore ottimo (se noto) Numero fisso di raffreddamenti L’algoritmo può essere completato con una ricerca deterministica a partire dall’ottimo trovato. Simulated annealing (SA) 18

Ottimizzatore + codice FEM Optimization block GA/SA f(x) Evaluation block Input variables Batch script Output Preprocessor Data Processor Results Postprocessor Batch commands Input commands Ottimizzazione e FEM

Esempio di progettazione ottimizzata Heating Inductor Trovare la posizione assiale delle spire che permette di riscaldare uniformemente un disco di grafite ad una temperatura di 1150-1200°C 20°C per un periodo di tempo prefissato I=712 A f=4 kHz r=660 mWcm

Heating Inductor Problema elettromagnetico Il dominio considerato per la risoluzione del problema in ELFIN è una finestra rettangolare di 304 mm di lunghezza e 28 mm di altezza al centro della quale è posizionato il disco di grafite. Le spire sono state considerate come sorgenti esterne e di conseguenza non sono state incluse nella reticolazione. Il numero di macroelementi usato lungo gli assi x e y è rispettivamente 29 e 4, per un totale di 232 elementi finiti triangolari del secondo ordine e 531 nodi. Grazie all’approccio utilizzato la mesh rimane fissa nonostante lo spostamento delle spire dovuto all’ottimizzazione.

Heating inductor Funzione obiettivo L’obiettivo della procedura di ottimizzazione è trovare la posizione verticale delle spire dell’induttore che realizza la densità di potenza desiderata. Le prime due spire sono fisse a 16 mm dal disco. Le altre si possono muovere verticalmente e la loro distanza pk dal disco variare tra 16 e 41 mm Lo scopo è minimizzare lo scarto quadratico medio tra i valori ottenuti Pi e quelli desiderati P0i in 55 nodi equidistanti posti sull’asse orizzontale del disco

Heating Inductor Algoritmi Genetici Ns= 7 bit Lc= 70 bit Np=100 Ng=100 n.eval.=300 Rep.: binary (not Gray) Sel.: tournament with elitism

Heating Inductor Algoritmi Genetici - Soluzione

Heating Inductor Simulated Annealing 60 raffreddamenti * 50 valutazioni = 3000 Schema di raffreddamento PTCS T iniziale - PTCS Raffreddamento -PTCS

Heating Inductor Simulated Annealing Numero di valutazioni richiesto = 2878

Heating Inductor Simulated Annealing - soluzione

Heating Inductor Risultati