Fisica applicata alla patologia integrata medico-chirurgica degli organi di senso Lezioni di acustica R. Rolandi Dipartimento di Fisica, Uiversità di Genova rolandi@unige.it www.fisica.unige.it/~rolandi Queste lezioni sono in gran parte tratte dalle lezioni del prof. G. Manuzio. Le lezioni originali si possono trovare all’indirizzo www.ge.infn.it/~manuzio Alcune immagini sono state scaricate dal sito web del progetto HyperPhysics della Georgia State University

Onde trasversali Nelle onde trasversali lo spostamento del mezzo è perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda. Sono onde trasversali quelle indotte in una corda, sulla superficie di un liquido e quelle che attraversano un solido Fare notare che la figura può rappresentare una corda in cui si sta propagando un’onda, quindi gli assi sono gli assi spaziali X e Y , oppure la posizione y del punto x0 della corda in tempi successivi, in questo caso gli assi sono y e t, ossia la figura rappresenta l’equazione oraria del moto di un punto della corda Non vi sono onde trasversali all’interno dei fluidi (gas e liquidi) perchè non vi è un meccanismo che permette di indurre un moto delle molecole del mezzo perpendicolarmente alla direzione del moto.

Onde longitudinali Nelle onde longitudinali lo spostamento del mezzo è parallelo alla direzione di propagazione dell’onda. La propagazione della compressione in una molla e le onde sonoro sono esempi di onde longitudinali

Un suono composto da una singola frequenza causa una variazione sinusoidale della pressione dell’aria. Il moto delle molecole d’aria, al passaggio dell’onda di pressione, è un moto circoscritto di avanti-indietro nella direzione di propagazione dell’onda

Bassa frequenza Alta frequenza

Il concetto di pressione sonora In un ambiente privo di rumori la pressione dell’aria è la pressione atmosferica Patm che vale circa 100.000 Pa In presenza di un rumore o di qualsiasi altra “perturbazione acustica” la pressione P dell’aria, in un dato punto A, vale P = Patm + p(t) dove p(t) è una pressione rapidamente fluttuante attorno al valore zero. p(t) è perciò una funzione del tempo (t) che assume valori sia positivi che negativi, sempre molto inferiori al valore della pressione atmosferica. La pressione p = p (t) è detta pressione sonora nel punto A Il grafico mostra un esempio di andamento di p con il tempo Natura del suono I suoni che noi udiamo sono dovuti a perturbazioni elastiche che si propagano nell’aria. Le perturbazioni sono variazioni della pressione locale dell’aria.

Onde piane e onde sferiche Una perturbazione sonora ha sempre origine da una sorgente che perturba il moto delle molecole a contatto con la sorgente generando fluttuazioni della pressione nella zona vicino alla sorgente. Le molecole interessate al fenomeno trasmettono alle molecole vicine il loro moto e si ha così la propagazione della perturbazione acustica originata dalla sorgente, in tutto il mezzo. Interessano in modo particolare le seguenti due situazioni: la sorgente della perturbazione è una sfera vibrante immersa in un mezzo omogeneo. In tal caso la pressione in ogni istante è identica in tutti i punti che giacciono su una qualsiasi sfera concentrica alla sorgente: si dice che il mezzo è attraversato da un’onda sferica o anche che i fronti d’onda della perturbazione sono sferici. La sorgente della perturbazione è una parete piana, in linea di principio infinita, immersa in un mezzo omogeneo. In tal caso la pressione in ogni istante è identica in tutti i punti che giacciono su una qualsiasi piano parallelo a quello che costituisce la sorgente: si dice che il mezzo è attraversato da un’onda piana o anche che i fronti d’onda della perturbazione sono dei piani.

La velocità di propagazione delle perturbazioni Si abbia una perturbazione, quale ad esempio un’onda sonora sferica, che si propaga in un mezzo omogeneo. La perturbazione viaggia nello spazio con una ben definita velocità v, detta velocità di propagazione della perturbazione. Ciò vuol dire che il valore della pressione al tempo t1 in un punto a distanza r1 dalla sorgente è identico al valore della pressione che sarà presente in un punto a distanza r2 > r1 al tempo t2 = t1 + ( r2 – r1 ) / v

Velocità del suono in un fluido La velocità del suono in un fluido è data da: Dove B è il modulo di compressibilità definito come:  è la densità del fluido definita come:

Velocità del suono in un solido La velocità del suono in un solido è data da: E è il modulo di Young, che descrive l’allungamento, l, di un corpo di sezione S, sottoposto a una forza F ed è definito da:

Si dimostra che la velocità del suono in un gas perfetto dipende solo dalla temperatura e non dalla pressione o dalla densità secondo l’equazione : R è la costante dei gas, T la temperatura assoluta, m è la massa molare del gas e  è una costante che per i gas perfetti dipende solo dal numero di atomi che compongono la molecola. Vale 5/3 per i gas monoatomici e 7/5 per i gas biatomici.

Velocità del suono in alcuni mezzi materiali Sostanza Velocitò del suono (m/s)   Aria (0°C) 331,36 Aria (20°C) 344 Aria (100°C 366 Acqua 1461 Sangue 1560 Tessuto muscolare 1590 Mercurio 1407 Ferro 5130 Piombo 1320 Vetro 5550

La velocità delle particelle del mezzo e l’impedenza acustica Le fluttuazioni di pressione che caratterizzano una perturbazione acustica inducono un movimento delle particelle del mezzo in cui avvengono tali variazioni di pressione. Le particelle del mezzo si muovono dunque in modo fluttuante ( avanti e indietro ) con una velocità u(t) strettamente dipendente da p(t). Nei mezzi omogenei vale la relazione di proporzionalità diretta: u (t) = p(t) / Z dove Z è una costante caratteristica del mezzo in cui la perturbazione si propaga che viene chiamata impedenza acustica del mezzo. Si faccia attenzione a non confondere le due velocità c ed u: l’una riguarda la propagazione della perturbazione , l’altra il moto delle particelle che viene indotto dalla perturbazione. Valori caratteristici di Z sono. - aria Z = 400 kg m-2 s-1 - acqua Z = 1530000 kg m-2 s-1 - tessuti del corpo umano ( valore medio ) Z = 1600000 kg m-2 s-1 In un mezzo omogeneo vale la relazione caratteristica: Z = v dove r è la densità del mezzo

L’intensità di una perturbazione Occorre dell’energia per mettere in vibrazione un mezzo e occorre continuare a spendere energia per continuare a mantenere una perturbazione in un mezzo. L’energia ceduta dalla sorgente si propaga verso l’esterno e perciò una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione della perturbazione (quale è ad esempio un fronte d’onda) è attraversata in ogni istante da un flusso di energia che si propaga dalla sorgente verso l’infinito. La velocità di propagazione dell’energia è la velocità v Una superficie S perpendicolare alla direzione di propagazione della perturbazione è dunque attraversata da una energia DE in ogni breve intervallo di tempo Dt Si definisce come intensità di un’onda acustica il rapporto: I = DE / S Dt (che si misura in W / m2) L’intensità è una misura del flusso di energia sonora attraverso una superficie L’intensità varia in generale da punto a punto; ma - è uniforme in un’onda piana - varia con la legge I = I0 / r2 ( dove I0 è una costante ed r è la distanza dalla sorgente ) in un’onda sferica. Vale l’importante relazione I = po 2 / 2Z che mette direttamente in relazione l’intensità di una perturbazione e la pressione sonora che questa induce nell’ambiente. In questo caso po è il valore massimo della pressione sonora

Quando la distanza dalla sorgente si raddoppia l’Intensità si riduce a un quarto

Perturbazioni armoniche Si dice perturbazione armonica una perturbazione sonora in cui la pressione sonora in un dato punto varia con la legge p(t) = A sin ( w t + f ) dove: A è detta ampiezza della perturbazione ( Pa ) w è detta pulsazione ( rad s-1 ) f è detta fase ( rad ) Sono anche grandezze caratteristiche di una perturbazione armonica: la frequenza f = w / 2p ( Hz = s-1 ) il periodo T = 1 / f = 2p / w ( s ) la lunghezza d’onda l = v T = v / f ( m) Ne deriva l’importante relazione: l f = cv Una perturbazione armonica è detta anche tono puro.

Ampiezza, periodo, fase e lunghezza d’onda Un’onda sinusoidale vista da una posizione fissa e in funzione del tempo oppure a tempo fisso e in funzione della posizione: definizione di periodo e di lunghezza d’onda

Il teorema di Fourier Una importantissima proprietà delle perturbazioni armoniche è la seguente: qualsiasi perturbazione può sempre essere considerata come somma di un numero finito o infinito di perturbazioni armoniche. La dimostrazione dell’affermazione precedente è nota come teorema di Fourier. Il motivo per cui questo teorema è così importante è il seguente: dal momento che qualsiasi perturbazione può essere considerata come somma di perturbazioni armoniche, basta conoscere il comportamento delle perturbazioni armoniche per poter ricostruire il comportamento di qualsiasi tipo di perturbazione E’, ad esempio, il motivo per cui è possibile stabilire la qualità di un microfono, di un amplificatore acustico o del sistema uditivo di una persona (esame audiometrico) indagando soltanto il comportamento di uno di questi sistemi quando viene sollecitato da un numero finito di perturbazioni armoniche.

Lo spettro di una perturbazione Quando uno strumento musicale ( o un cantante ) emette una nota definita, il suono risulta la somma ( si dice anche la sovrapposizione ) di un numero finito e piccolo di armoniche. Se si riportano in un grafico l’intensità delle varie armoniche al variare della frequenza ( si veda la figura ) si ottiene lo spettro in frequenza della nota emessa. Nel caso indicato lo spettro è costituito da poche righe ( frequenze ) isolate e perciò si dice che si è in presenza di uno spettro a righe. Quando invece si ha un suono complesso oppure un rumore, le perturbazioni armoniche necessarie per comporre il rumore diventano tantissime e lo spettro diventa uno spettro continuo.

Composizione in frequenza delle vocali

La diffrazione del suono Il suono è un tipico fenomeno ondulatorio e, come tutti questi fenomeni, subisce gli effetti di diffrazione e di interferenza. Il fenomeno della diffrazione ha luogo quando una perturbazione sonora, cui è associata una data lunghezza d’onda l, incide su una fenditura o su un ostacolo di dimensioni confrontabili o minori di l. Nel primo caso, il suono dilaga in tutte le direzioni al di là della fenditura; aggira invece gli ostacoli nel secondo caso. Quando parliamo emettiamo, ad esempio, onde sonore con lunghezze d’onda confrontabili o maggiori delle dimensioni della bocca: ciò fa sì che il suono si propaghi per diffrazione in tutte le direzioni e non solo davanti a noi. Se si hanno dei fronti d’onda di perturbazioni sonore che incidono su fenditure di dimensioni molto maggiori delle lunghezze d’onda caratteristiche della perturbazione, al di là della fenditura si forma un fascio di onde sonore che in un mezzo omogeneo si propaga in linea retta così come si propagano in linea retta i fasci di luce che passano attraverso fenditure di dimensioni molto maggiori di 1 mm.

Riflessione e rifrazione delle onde sonore In assenza di importanti fenomeni di diffrazione, quando un fascio di onde sonore proveniente da un mezzo omogeneo incontra una superficie piana che separa il mezzo di provenienza da un secondo mezzo omogeneo, hanno luogo contemporaneamente il fenomeno della riflessione e della rifrazione. Una parte dell’energia trasportata dal fascio incidente (di intensità I) viene ceduta al fascio riflesso (intensità Irifl) e una parte al raggio rifratto ( intensità Irifr ). Quando l’incidenza è normale ( angolo di incidenza 90° ) valgono le relazioni: I = Irifl + Irifr Irifl = (( Z1 – Z2) / ( Z1 + Z2 ))I dove Z1 e Z2 sono le impedenze acustiche dei due mezzi. Per angoli di incidenza diversi, la formula è un poco più complicata ma gli ordini di grandezza non cambiano. Sono le formule utili per capire il modo in cui si formano le immagini ecografiche che si producono per effetto della riflessione di onde ultrasonore alla frequenza di qualche MHz sulle discontinuità tissutali del corpo. La catena degli ossicini è un adattatore di impedenza tra l’aria in contatto con il timpano e il liquido contenuto nella coclea e messo in moto attraverso la finestra ovale: se tale meccanismo di raccordo non esistesse, l’energia acustica in arrivo sul timpano verrebbe tutta riflessa indietro

L’orecchio e le intensità sonore Tra I e circa 1,3 I il cervello riconosce un unico “livello” di rumore L’intensità minima è I0 = 10-12 w / m2 Tra 10-12 e 1,3 10-12 si situa il primo livello Tra 1,3 10-12 e (1,3)2 10-12 si situa il secondo livello Tra (1,3)2 10-12 e (1,3)3 10-12 si situa il terzo livello Tra (1,3)i-1 10-12 e (1,3)i 10-12 si situa il livello i-esimo Una regola approssimata per calcolare il numero i del livello corrispondente ad una intensità generica I è: i = 10 log ( I / I0 ) Si dice che l’intensità sonora corrisponde ad i decibel ( dB). La misura si dice effettuata in dB SIL ( sound intensity level )

Come il cervello classifica le intensità sonore

I decibel SPL I microfoni misurano la pressione sonora L’intensità sonora è legata alla pressione sonora da I = p2 /2 Z La misura del livello sonoro l si può ottenere da misure di pressione sonora anziché da misure di intensità usando la formula: l = 20 log ( p / p0 ) dove p0 = 2 10-5 Pa è la pressione sonora che corrisponde ad I0 = 10-12 w m-2 La misura si dice effettuata in decibel SPL ( sound pressure level ) e questa è la misura tecnicamente e legalmente riconosciuta ed eventualmente corretta per tener conto delle caratteristiche dell’orecchio

La correzione per i decibel SPL A A causa della diversa sensibilità minima a suoni di frequenze diverse ( ad esempio 24 dB a 200 Hz contro 0 dB a 1000 Hz ) nei fonometri ( gli strumenti che misurano le intensità sonore ) sono presenti dei sistemi automatici per avere delle misure che con una ragionevole approssimazione facciano corrispondere 0 dB alla intensità minima udibile a qualunque frequenza di interesse per l’orecchio umano. L’operazione viene effettuata tramite un filtro elettronico apposito e le misure si dicono corrette secondo la curva A ( esistono anche altre curve di correzione ) e le misure si dicono effettuate in dB SPLA. Tali misure sono quelle da utilizzare per scopi legali