1 Il simulated annealing (SA) Analogia con il processo di solidificazione di un metallo fuso A partire dal metallo fuso, la temperatura viene abbassata lentamente e il sistema transita da uno stato energetico al successivo fino a quando il metallo solidifica nello stato di minima energia Simulated annealing (SA)

2 il sistema viene portato alla temperatura di fusione il sistema si trova in uno stato i e può transitare in uno stato j ottenuto perturbando lo stato i la transizione avviene seguendo il criterio di Metropolis la temperatura deve essere abbassata lentamente in modo che il solido raggiunga l’equilibrio termico ad ogni temperatura Passi salienti del processo fisico Simulated annealing (SA)

3 Modello matematico perturbazionegeneratore di configurazioni x temperaturaparametro di controllo T minima energiaottimo globale criterio di Metropolis raffreddamentofunzione di T decrescente energia dello statof(x) stato del sistemax Simulated annealing (SA)

Physical annealing STATE 1STATE 2STATE n 0... STATE n 1... STATE n c... ENERGY Equilibrium at temperature T max Equilibrium at T 1 <T max MINIMAL ENERGY STATE Equilibrium at T min MAX MIN MAXMIN

Simulated annealing SOLUTION 1 SOLUTION 2 SOLUTION K... SOLUTION 1 BEST SOLUTION LAST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION (average) GLOBAL OPTIMUM cooling schedule stop criterion MAX MIN MAX MIN CONTROL PARAMETER cooling schedule equilibrium criterion cooling schedule starting temperature... NEW SOLUTION SOLUTION REJECTED random changes generator Metropolis criterion yes no cooling schedule decrement function

6 Teoria matematica Descrizione mediante catene di Markov Convergenza alla soluzione ottima con probabilità 1 per un numero infinito di transizioni Simulated annealing (SA)

7 Realizzazione dell’algoritmo 1.Descrizione delle configurazioni e generatore casuale di configurazioni 2.Funzione obiettivo F e criterio di accettazione 3.Parametro di controllo T e schema di raffreddamento Simulated annealing (SA)

8 Generazione casuale metodo del simplesso  simplesso iniziale N+1 vertici  movimenti del simplesso  scarto del vertice peggiore  contrazione globale Simulated annealing (SA)

Movimenti del simplesso Simplesso iniziale Riflessione Espansione Contrazione Contrazione globale

10 Calcolo della funzione obiettivo della nuova configurazione j e confronto con la precedente configurazione i per il calcolo della probabilità di accettazione di j: Criterio di Metropolis Generazione di un numero random r  ]0,1[ e confronto con P T {j}: se P T {j} < r la nuova configurazione viene scartata. Simulated annealing (SA)

11 Schema di raffreddamento Temperatura iniziale Numero di passi a temperatura costante Funzione di decremento Criterio di arresto Il concetto fondamentale che guida la scelta di questi parametri è quello di quasi equilibrio Simulated annealing (SA)

12 Temperatura iniziale Valore abbastanza alto Deviazione standard vertici del simplesso Rapporto di accettazione iniziale  1 (PTCS) Simulated annealing (SA)

13 Temperatura iniziale mediante PTCS m 1 il n° di transizioni da i --> j per cui f(i)  f(j), m 2 n° di tr. per cui f(i)  f(j) differenza media delle funzioni obiettivo per le transizioni m 2,  è il rapporto di accettazione. Viene generata una sequenza di m 0 transizioni; dopo ogni transizione viene calcolato un nuovo valore di T 0 dalla (2) dove  è posto uguale a  0. La procedura converge, anche se non velocemente. Simulated annealing (SA)

14 Schemi di raffreddamento Simulated annealing (SA)

15Simulated annealing (SA)

16Simulated annealing (SA)

17 Confronto tra le diverse funzioni di decremento Simulated annealing (SA)

18 Criterio di arresto Valore ottimo (se noto) Numero fisso di raffreddamenti L’algoritmo può essere completato con una ricerca deterministica a partire dall’ottimo trovato. Simulated annealing (SA)