2) PROBABILITA’ La quantificazione della ‘possibilità’ del verificarsi di un evento casuale E è detta probabilità P(E) Definizione classica: P(E) è il rapporto fra il numero di casi favorevoli al verificarsi di E ed il numero dei casi possibili (supposti tutti ugualmente possibili) F - E  E F

Si tratta ora di definire come si dovrà procedere in pratica per identificare il numero P(E). Due sono le principali definizioni di probabilità; la prima è basata sul concetto di “equiprobabilità” e viene chiamata “classica”, essendo la definizione adottata dai matematici che nel secolo XVII cominciarono ad occuparsi sistematicamente della teoria delle probabilità; la seconda è detta “statistica” in quanto definisce la probabilità di un evento come approssimazione della frequenza relativa constatata in una serie di prove o di osservazioni a proposito dell’evento medesimo. L’equiprobabilità è un concetto che viene inteso come espressione di una proprietà oggettiva attribuibile, per la presenza di qualche “simmetria”, agli elementi che formano lo spazio . La conseguenza è che la definizione classica può trovare applicazione solo nel caso in cui lo spazio degli eventi elementari  sia articolato in un numero finito di punti.

Quindi se E è un generico evento di B , la definizione classica prevede che se l’evento E è l’unione di m qualunque degli n eventi elementari equiprobabili che formano , la probabilità P(E) dell’evento in questione è rappresentata dal rapporto: (0  m  n). In altri termini, la probabilità dell’evento E è identificata dalla frazione che ha al denominatore il numero n degli eventi (elementari) “possibili” con uno dei quali deve concludersi l’esperimento casuale ed al numeratore il numero m degli eventi (elementari) “favorevoli” ad E. La definizione “statistica” di probabilità, invece, trova il suo supporto nella particolarità di comportamento riscontrata in un gran numero di fenomeni naturali. Infatti, vi sono fenomeni che, se osservati un gran numero di volte nelle loro manifestazioni xi, (i = 1,…,k), rivelano come le corrispondenti frequenze relative fi(n)/n - essendo fi(n) il numero di volte in cui nelle n osservazioni effettuate, il fenomeno condsiderato ha presentato la modalità xi - al crescere di n danno la sensazione di volersi ancorare ad una qualche costante.

oppure:

Definizione Frequentista o Statistica: Osservazione: La definizione classica di probabilità può essere utilizzata per calcolare P(E) solo qualora sia possibile determinare la numerosità di E e di , cioè solo nel caso in cui  sia insieme finito e sia possibile “contare” gli eventi elementari che compongono E. Definizione Frequentista o Statistica: P(E) coincide con la frequenza relativa del verificarsi di E calcolata su “un gran numero di prove” condotte tutte nelle medesime condizioni

2.1) Assiomi delle probabilità Il sistema dei 3 assiomi delle probabilità prescinde dal calcolo di P(E) e consente la deduzione logica di una serie di teoremi e proposizioni che costituiscono la “ Teoria della Probabilità”. Tali assiomi sono: 1) P(E) 0 2) P() =1 3) Siano E1,E2,………,En n eventi inclusi in  a coppie incompatibili. Allora: Principio Probabilità Totale

2.2) Alcuni teoremi sulle probabilità Discendono direttamente dal sistema dei 3 assiomi. 1.Probabilità dell’evento complementare Dimostrazione: E ed sono per definizione incompatibili cioè Inoltre:

Ricorrendo ai tre assiomi: P(EĒ) = P(E) + P(Ē) = P(W) =1 da cui: P(Ē) = 1 - P(E) 2. 0P(E)  1 P(W) = 1 = P(E) + P(Ē) P(E)  0 P(Ē)  0  0P(E)  1

3. Probabilità dell’evento impossibile dimostrazione: l’evento impossibile  è il complementare dell’evento certo W. Pertanto: P() = 1 - P(W) = 1 - 1 = 0 4. Probabilità dell’evento unione P(E1E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1E2)

E1 E2 W Sommando le probabilità di E1 e di E2 si finisce per considerare due volte la probabilità della parte comune che va, pertanto, sottratta.

2.3) Probabilità condizionata Siano E1 ed E2 due eventi inclusi nel medesimo spazio campionario: E1W e E2  W. Si definisce evento condizionato E1|E2 l’evento E1 condizionato dal fatto che E2 si è verificato. E2 è detto ‘evento condizionante’. PROBABILITA’ CONDIZIONATA: è il rapporto tra la probabilità dell’evento intersezione e la probabilità dell’evento condizionante Ovviamente la probabilità dell’evento condizionante non può essere nulla.

Esempio: sia E1 = “esce un numero pari” ed E2 = “esce un numero  4”. Posto che sia uscito un numero  4, qual è la probabilità che tale numero sia pari? Si può ore osservare che se nell’uguaglianza:

Tuttavia, se la classe BW’ viene considerata prescindendo dalla classe BW, è evidente che F=W’ assume la funzione di evento certo cui deve competere non già probabilità P(E)<1 ma probabilità pari a 1. Nella nuova prospettiva anche ogni elemento EF di BW’ non ha più associata probabilità P(E  F) ma la probabilità P’(E  F) risultando: Principio delle probabilità composte: serve per determinare la probabilità dell’evento intersezione. Segue dalla definizione di probabilità condizionata:

Due eventi si dicono pertanto indipendenti se: OSSERVAZIONE: se allora il fatto che l’evento E2 si sia verificato non ha influenza sull’evento E1 poiché non ne altera la probabilità. Due eventi si dicono pertanto indipendenti se: Oppure (equivalentemente): In questo caso si ha: Se due eventi sono indipendenti, allora lo sono anche i complementari: OSSERVAZIONE: se e allora il fatto che l’evento E2 si sia verificato comporta che l’evento E1 non possa più verificarsi.

Probabilità dell’evento intersezione:può essere calcolato in quattro differenti modi: 1. Se è nota la probabilità condizionata si può ricorrere al principio delle probabilità composte; 2. Se è nota la probabilità dell’evento unione: 3. Se è noto che E1 ed E2 sono indipendenti, si ottiene per prodotto; 4. Se è noto che E1 ed E2 sono incompatibili, è nulla. Infatti: poiché