LA MATEMATICA DISCALCULIA, DIFFICOLTÁ DI CALCOLO, DIFFICOLTÁ DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI

IL NUMERO È LA SOSTANZA DELLE COSE Pitagora …L’UNIVERSO… È SCRITTO IN LINGUA MATEMATICA Galilei

NEI QUADERNI DI MATEMATICA… ASSENZA DI MONITORAGGIO: il risultato della sottrazione è superiore al valore di partenza (Marco, 11 anni) CONFUSIONE TRA PROCEDURE DI SOTTRAZIONE E ADDIZIONE (Giuseppe, 11 anni) IL PRESTITO DIVENTA RIPORTO (Matteo, 10 anni) NEI QUADERNI DI MATEMATICA… Da ventiseimilanove a ERRATA APPLICAZIONE DELLA STRATEGIA (Giuseppe, 11 anni) ERRORE DI TRANSCODIFICA (Fabio, 11 anni) 31-19: Io in mente li metto in colonna: 1 - 9 che non si può fare, poi si prende l’1 dall’altro numero che diventa 12, poi prendo un numero dall’altro numero e faccio la sottrazione, cioè, vedi, è un po’ complicato (Chiara, I anno Istituto Psicopedagogico)

CALCOLARE… …in termini di apprendimento e di processi cognitivi coinvolti… LEGGERE I NUMERI COMPRENDERE LA NUMEROSITÁ (qual è il numero più grande tra 2) RECUPERARE LE TABELLINE E ALTRI FATTI NUMERICI APPLICARE LE PROCEDURE DI CALCOLO (addizione, sottrazione…) ? Un’addizione con numeri interi… una divisione con numeri decimali Calcolo a mente… calcolo scritto… calcolo con sussidi (calcolatrice)

Apprendere la matematica… …sviluppare la CONOSCENZA CONCETTUALE COMPRENSIONE dei principi che governano un determinato dominio e delle correlazioni tra aree di conoscenza e il dominio stesso INTELLIGENZA NUMERICA

CONOSCENZA (INTELLIGENZA) NUMERICA INTELLIGERE (capire, pensare) IL MONDO IN TERMINI NUMERICI Abilità innata e condivisa da uomo e animali Competenze elementari legate alla RAPPRESENTAZIONE NUMERICA PROCESSI PREVERBALI PROCESSI DI CONTEGGIO

NUMEROSITÁ (CARDINALITÁ) Il numero di elementi che costituisce un insieme DISCRIMINARE IL NUMERO DI OGGETTI DI INSIEMI PRESENTATI VISIVAMENTE dalla nascita Il neonato non sa determinare il numero di elementi di un insieme percepisce come differenti insiemi con numerosità distinte distingue i cambiamenti di numerosità provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti (possiede aspettative aritmetiche) MA SUBITIZING Processo specializzato di percezione visiva che consente di determinare la numerosità di un insieme visivo di oggetti (fino ad un massimo di circa 4) in modo immediato, senza contare COME?

MODULO NUMERICO (Butterworth, 1999) CIRCUITI CEREBRALI SPECIALIZZATI PER CATEGORIZZARE IL MONDO IN TERMINI DI NUMEROSITÁ (piccoli insiemi di oggetti, fino a 4-5 elementi) abilità matematiche di base (RAPPRESENTARE LA NUMEROSITÁ) geneticamente codificate e presenti fin dalla nascita: non è necessario apprenderle DIFFERENZE INDIVIDUALI Capacità più avanzate riconducibili all’istruzione: STRUMENTI CONCETTUALI FORNITI DALLA CULTURA DI APPARTENENZA - 1, 2, 3… - uno, due, tre… COMPETENZE LINGUISTICO-SIMBOLICHE

PROCESSI DI CONTEGGIO Quanti sono? dai 2 ai 6-8 anni Apprendimento basato sul concetto di NUMEROSITÁ I PRINCIPI DEL “COME CONTARE” Gelman e Gallistel, 1978 CONOSCENZE INNATE basate sulla COMPETENZA NUMERICA VERBALE ORDINE STABILE: produrre le parole-numero ordinate in una sequenza fissa e inalterabile FINO A 100 A 6-8 ANNI CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: a ogni elemento dell’insieme contato deve corrispondere una sola parola-numero e viceversa 5 ANNI CARDINALITÁ: l’ultima parola numero usata nel conteggio rappresenta la numerosità dell’insieme 4 ANNI

ABILITÁ DI CONTEGGIO LETTURA SCRITTURA Primo collegamento tra la competenza numerica innata e quella acquisita dall’interazione con l’ambiente LETTURA e SCRITTURA DEI NUMERI LETTURA evolve, prima della scrittura, gradualmente, da acquisizione del nome dei numeri a riconoscimento dei simboli arabici: 3-4 a.: identificazione errata (non attribuisce il nome corretto e può confondere il segno grafico con lettere o altri numeri) 4-5 a.: lettura dei numeri più semplici e frequenti 5-6 a.: lettura corretta entro 10 SCRITTURA evolve gradualmente: 3-4 a.: notazione con grado informativo nullo per osservatore esterno, ma con significato personale per bambino (FORMATO PITTORICO-FIGURATIVO) 4-5 a.: notazione basata sulla corrispondenza biunivoca (SEGNI PIÚ O MENO ASTRATTI) 5-6 a.: notazione convenzionale (FORMATO NUMERALE)

Le tipologie di notazione numerica dai 3 ai 5 anni: ALCUNI ESEMPI

Apprendere la matematica… …sviluppare la CONOSCENZA PROCEDURALE La sequenza di azioni per risolvere ciascun problema: ALGORITMI, ABILITÁ, STRATEGIE PROCEDURE DI CALCOLO

CAPACITÁ DI CALCOLO I SEGNI DELLE OPERAZIONI INSIEME DEI PROCESSI CHE CONSENTONO DI OPERARE SUI NUMERI TRAMITE OPERAZIONI ARITMETICHE Anche 1+3 fenomeno cognitivo complesso che richiede l’attivazione di diversi processi mentali 1 I SEGNI DELLE OPERAZIONI Per stabilire la natura dell’operazione Per accedere ai FATTI NUMERICI qualora l’operazione lo consenta RISULTATI DI PROBLEMI ELEMENTARI (tabelline, addizioni semplici) ARCHIVIATI IN MLT

VS FATTI NUMERICI CALCOLO Nell’esecuzione di un compito aritmetico possono agire 2 TIPI DI STRATEGIE FATTI NUMERICI CALCOLO RISULTATO RECUPERATO DALLA MEMORIA UTILIZZO DI PROCEDURE E STRATEGIE RISULTATO VS *TIPO DI OPERAZIONE *ETÁ *FAMILIARITÁ DELL’ESERCIZIO da LENTE PROCEDURE DI CONTEGGIO all’UTILIZZO DI UNA SERIE DI REGOLE APPLICATE IN MODO SEMPRE PI AUTOMATICO

LA CONOSCENZA PROCEDURALE NEL… CALCOLO A MENTE: opera scomposizioni sui numeri per ottenere operazioni intermedie più semplici UTILIZZA ed ESERCITA STRATEGIE COSTRUTTIVE *n + 1 *raggruppamenti *scomposizioni *arrotondamenti a 10 *recupero fatti numerici CALCOLO SCRITTO: determina… la forma grafica della specifica operazione l’incolonnamento dei numeri la direzione spazio-temporale delle azioni (l’ordine di recupero delle operazioni parziali dalla memoria) il modo di utilizzare le operazioni parziali tramite le regole vere e proprie UTILIZZA ed ESERCITA APPLICAZIONE DI PROCEDURE PIÚ O MENO AUTOMATIZZATE

*CONOSCENZA NUMERICA *ABILITÁ DI CALCOLO I meccanismi di calcolo e manipolazione del sistema numerico possono avere origine solo quando I MECCANISMI PREVERBALI DI RICONOSCIMENTO DELLA QUANTITÁ  si sono sviluppati  si sono integrati con gli apprendimenti relativi ai sistemi di CONTEGGIO, LETTURA e SCRITTURA MA Come si integrano tali competenze?

IL MODELLO MODULARE McCloskey et al., 1985 MECCANISMI DI CALCOLO MECCANISMI DI COMPRENSIONE DEI NUMERI MECCANISMI DI PRODUZIONE DEI NUMERI

Il SISTEMA DI COMPRENSIONE trasforma la struttura superficiale dei numeri (diversa a seconda del codice, verbale o arabo) in una rappresentazione astratta di quantità Il SISTEMA DI CALCOLO assume questa rappresentazione come INPUT e la manipola attraverso il funzionamento di 3 componenti: i segni delle operazioni i fatti aritmetici o operazioni di base le procedure di calcolo Il SISTEMA DI PRODUZIONE fornisce le risposte numeriche, l’OUTPUT del sistema del calcolo VIA SEMANTICA = unico accesso alla produzione numerica MODELLO SEMANTICO L’elaborazione di un numero comporta sempre una RAPPRESENTAZIONE CONCETTUALE 3 = comprensione della QUANTITÁ

MECCANISMI SINTATTICI I 3 SISTEMI… …adoperano i codici UDITIVO (fonologico) e VISIVO (arabico e grafemico) …funzionano in base a… MECCANISMI SEMANTICI Regolano la comprensione della quantità 3 = MECCANISMI LESSICALI Regolano il nome del numero 1 11 MECCANISMI SINTATTICI Grammatica interna = valore posizionale delle cifre da U 3 3 1 LA POSIZIONE cambia NOME e SEMANTE

LE COMPONENTI DELL’ABILITÁ DI CALCOLO ARITMETICO

LA DISCALCULIA EVOLUTIVA Sintomi delle difficoltà nell’elaborazione del numero (ICD-10 e DSM-IV) incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici mancato riconoscimento dei simboli numerici difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema aritmetico che si sta considerando difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o simboli durante i calcoli scorretta organizzazione spaziale dei calcoli incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelline della moltiplicazione

2 PROFILI DISTINTI DI DISCALCULIA Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA Consensus Conference (2007) 2 PROFILI DISTINTI DI DISCALCULIA Debolezza nella strutturazione cognitiva delle componenti di COGNIZIONE NUMERICA = intelligenza numerica basale subitizing meccanismi di quantificazione comparazione seriazione strategie di calcolo a mente 1 CECITÁ PER I NUMERI Incapacità di comprendere e manipolare le numerosità Butterworth, 2005 Difficoltà nell’acquisizione delle PROCEDURE ESECUTIVE (lettura, scrittura e messa in colonna dei numeri) e degli ALGORITMI DEL CALCOLO (recupero dei fatti numerici e algoritmi del calcolo scritto). 2

Perché questa distinzione? In Italia segnalati con difficoltà di calcolo 5 bambini per classe (~ 25 alunni) 20% della popolazione scolastica MA DATI IARLD (International Academy for Research in Learning Disabilities) DIFFICOLTÁ NELLA COGNIZIONE NUMERICA IN COMORBILITÁ CON ALTRI DISTURBI: 2,5% della popolazione scolastica DISTURBO DEL CALCOLO (DISCALCULIA): 0,5-1% della ~ 90% delle segnalazioni FALSI POSITIVI = casi di generale difficoltà di apprendimento non di disturbo specifico del calcolo

DISTURBO vs DIFFICOLTÁ RESISTENZA AL CAMBIAMENTO ESITO INTERVENTO DISTURBO DI CALCOLO - base neurologica comorbilità: dislessia, disortografia e disgrafia; difficoltà nella soluzione di problemi specificità: abilità generali e apprendimento in altri ambiti adeguati BUONI RISULTATI IN POCO TEMPO DIFFICOLTÁ DI CALCOLO: profilo simile al disturbo

Perché si riscontrano con una certa frequenza FORME DI DISAGIO GENERALIZZATO? PROFILI DI APPRENDIMENTO DEL CALCOLO SIMILI A QUELLI DEI SOGGETTI DISCALCULICI, IN ASSENZA DI TALE DEFICIT COGNITIVO Studenti che non dovrebbero affatto incontrare difficoltà di apprendimento così consistenti ATTEGGIAMENTO EMOTIVO-MOTIVAZIONALE: ansia, resistenza al ragionamento matematico, timore di sbagliare I DIVERSI ASPETTI DELL’APPRENDIMENTO MATEMATICO S’INTERSECANO: - la rappresentazione della quantità è sottesa a tutte le aree della matematica - soluzione di problemi e geometria richiedono operazioni di calcolo - il calcolo richiede la comprensione dell’operazione …

ANALISI DEGLI ERRORI *SISTEMA DEI NUMERI *SISTEMA DI CALCOLO DAL MODELLO DI McCLOSKEY ANALISI DEGLI ERRORI *SISTEMA DEI NUMERI *SISTEMA DI CALCOLO ERRORI NEL SISTEMA DEI NUMERI in COMPRENSIONE e PRODUZIONE MECCANISMI LESSICALI MECCANISMI SINTATTICI

ERRORI LESSICALI (nel dire il NOME del numero) INCAPACITÁ DI TROVARE L’ETICHETTA VERBALE ADEGUATA PUR INDIVIDUANDO CORRETTAMENTE LA CLASSE DIRE “cinque” PER “sette” LEGGERE “316” PER “319” In base al nome… NUMERI PRIMITIVI ELEMENTI MISCELLANEI (-cento; -mila; -milioni…): si aggiungono ai primitivi a seconda della loro posizione all’interno di un numero Posizione Classe UNITÁ TEENS DECINE 1^ 2^ 3^ 4^ 5^ 6^ 7^ 8^ 9^ dieci undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove venti trenta quaranta cinquanta sessanta settanta ottanta novanta uno due tre quattro cinque sei sette otto nove

ERRORI SINTATTICI INCAPACITÁ DI STABILIRE I RAPPORTI TRA LE CIFRE IN UNA STRUTTURA SINTATTICA CORRETTA, pur rimanendo integra la capacità di codificare le singole cifre ERRORI DI TRANSCODIFICA dal codice arabico a quello verbale e viceversa: 13 PER 31; 154 PER 145 Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura sintattica: 1, 2, 3, 4, 15, 15, 17…; 13, 14, 40, 41, 42… Mancato riconoscimento del valore dello 0 nella transcodifica da codice verbale ad arabico: DETTATO “centoquarantasette” SCRIVE 1047 DETTATO “ventiseimilanove” SCRIVE 2609 Gli elementi miscellanei vengono uniti ai primitivi come potenze di 10 oppure con relazioni additive: RELAZIONI MOLTIPLICATIVE RESE ADDITIVE: “trecento”: 103; “tremilasettanta”:1073 RELAZIONI ADDITIVE RESE MOLTIPLICATIVE: “centocinque”: 500; “centotrentadue”: 3200

ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI PROCEDURE E STRATEGIE ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE ERRORI DOVUTI ALLE DIFFICOLTÁ VISUOSPAZIALI

ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI SISTEMA DEI NUMERI rappresentato in MLT come rete di informazioni Aschcraft, 1982 Il compito attiva i nodi genitori interessati fino ad attivare il nodo di intersezione tra i due (il risultato di operazioni elementari) MA possono essere attivati anche I NODI CONTIGUI = risposte molto vicine a quella cercata ma scorrette FAR RIPETERE ESERCIZI IN CUI SI SONO VERIFICATI ERRORI automatizzo l’esercizio ma anche l’errore ! Ogni risposta numerica prodotta (corretta o sbagliata) registrata in memoria ASSOCIAZIONE TRA OPERAZIONE PROPOSTA E RISULTATO Aumenta la probabilità di comparsa

ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI Nelle TABELLINE… ERRORI DI CONFINE, inappropriata attivazione di tabelline confinanti: 6 x 3 = 21 ERRORI DI SLITTAMENTO, in cui una cifra è corretta e l’altra sbagliata: 4 x 3 = 11 Effetto CONFUSIONE tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e moltiplicazione: 3 + 3 = 9 Effetto INFERENZA: la semplice presentazione di 2 cifre produce un’attivazione automatica della somma: 2 e 4  6 Effetto INTERFERENZA, dovuti al lavoro parallelo dei due meccanismi di attivazione indispensabili per il recupero diretto: da parte dei due operatori e dell’operazione nel suo complesso 27 x 15 = 55

ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI PROCEDURE E STRATEGIE ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI PROCEDURE E STRATEGIE Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti: 3 + 5  partire a contare da 5 per aggiungere 3 REGOLE DI ACCESSO RAPIDO AL RISULTATO Confusione tra semplici regole di accesso rapido n x 0 = 0 e n + 0 = n Incapacità di tenere a mente i risultati parziali DETERMINANO SOVRACCARICO DEL SISTEMA DI MEMORIA: dispendio di energia e accumulo di informazioni in memoria  decadimento mnestico

ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE Difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro operazioni:incolonnamento o meno, posizione dei numeri… Difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel suo mantenimento fino alla risoluzione 75 – 6 = 71  dimenticata regola direzione Difficoltà nell’applicazione delle regole di prestito e riporto: 75 – 58 = 20 unità: 5 – 8 = 0 decine: 7 – 5 = 2 Difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione: perseverazione nel ragionamento precedente Difficoltà nella progettazione e verifica: immediato svolgimento dell’operazione senza soffermarsi ad individuare difficoltà e strategie da utilizzare

ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI VISUOSPAZIALI Difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione Difficoltà nell’incolonnamento dei numeri Difficoltà nel seguire la direzione procedurale

SPUNTI DI LAVORO Il quaderno delle regole Co-costruzione di schemi fruibili dal ragazzo USO DEGLI STRUMENTI COMPENSATIVI Tabella pitagorica Calcolatrice Formulario …E DISPENSATIVI Tempi di lavoro più lunghi Riduzione del carico di lavoro

Alcuni esempi…

Alcuni esempi…

? PROBLEM SOLVING Le difficoltà nella soluzione dei problemi matematici… * dipendono dalle difficoltà di calcolo? * richiedono abilità diverse e specifiche? STUDENTI CHE PUR NON AVENDO PROBLEMI PARTICOLARMENTE ACCENTUATI NEL CALCOLO NON RIESCONO A RISOLVERE I PROBLEMI ! Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA Consensus Conference (2007): NON INCLUDE SOLUZIONE DI PROBLEMI CAUSATO DA CATTIVA EDUCAZIONE DELLA PRASSI DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI

RISOLVERE UN PROBLEMA DIFFICOLTÁ? PROCESSO DINAMICO DI PENSIERO FLUSSO COGNITIVO CHE TRASFORMA IL TESTO VERBALE IN UNA STRUTTURA LOGICA MATEMATICA DIFFICOLTÁ? NO DISTURBO SPECIFICO…MA… * DISTURBO SECONDARIO  dovuto a deficit nelle competenze generali (INTELLIGENZA, MEMORIA, ATTENZIONE…) * “QUESTIONE DI FLUSSO DI APPRENDIMENTO”  dovuto a inciampo in una delle componenti del flusso  educabile

Quali sono le componenti che garantiscono IL FLUSSO COGNITIVO? COMPRENSIONE CAPIRE UN PROBLEMA = CATEGORIZZAZIONE RISOLVERE UN PROBLEMA PRODUZIONE ancorata a COMPRENSIONE ma non implicita in essa

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO FLUSSO DI COMPRENSIONE COMPRENSIONE DEL TESTO MATEMATICO RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL PROBLEMA CATEGORIZZAZIONE FLUSSO DI SOLUZIONE

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO COMPRENSIONE DEL TESTO MATEMATICO (non verbale): identificazione dei dati in relazione alla logica della domanda Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11. Chi ne ha di più? Quante biglie hanno in tutto? M = 3 + A; M = G – 7; G = 11 (M + A + G) DOMANDA riorganizza il testo verbale (“3 bambini giocano a biglie”) e lo trasforma in una struttura matematica ! CATTIVI SOLUTORI restano sulle informazioni verbali del testo RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL PROBLEMA, cioè dello schema in cui è traducibile la relazione funzionale dei dati alla domanda

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO CATEGORIZZAZIONE: identificazione dello schema matematico di soluzione riconosco la struttura matematica profonda del problema come simile a quella di altri problemi, indipendentemente dalle differenze a livello verbale ! BUONI SOLUTORI riuniscono i problemi con la stessa struttura profonda CATTIVI SOLUTORI no perché restano sulle informazioni verbali del testo VS

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO FLUSSO DI COMPRENSIONE FLUSSO DI SOLUZIONE: processi strategici e metacognitivi PIANIFICAZIONE MONITORAGGIO VALUTAZIONE

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO PIANIFICAZIONE (fase principale del flusso di soluzione): riorganizza la relazione tra i dati in modo da farla corrispondere alla successione corretta di operazioni di calcolo Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11. Quante biglie hanno in tutto? SCHEMA MATEMATICO (M + A + G) Da… 1) G (11) …trovo… 2) M (11-7 = 4) 3) A (4 + 3 = 7) sostiuisco alla struttura matematica profonda le operazioni di calcolo nell’ordine che le rende matematicamente possibili

LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO MONITORAGGIO: sistema di controllo durante lo svolgersi del flusso VALUTAZIONE: sistema di controllo del flusso a soluzioni ottenute CONSENTE DI STABILIZZARE L’APPRENDIMENTO DEL FLUSSO ! Apprendimento del flusso è innaturale (VS comprensione verbale) FARLO RIFARE MENTALMENTE COME PROCESSO DI CONTROLLO va educato