Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale La gravitazione « Il mio spirito ha misurato il cielo, ora misura la profondità della terra » Copernico Teoria eliocentrica TychoBrahe Condusse studi sul moto dei pianeti e della luna Tre leggi sul moto dei pianeti Keplero Legge della gravitazione universale Newton

Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale Le leggi di Keplero Prima legge (1608) L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Per la prima volta nella storia della scienza Keplero elimina dall'astronomia le sfere celesti e ipotizza per i pianeti un moto diverso da quello circolare. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la terra tale piano è detto eclittica. Seconda legge (1609) o legge delle aree Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. Terza legge (1619) I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale I legge di Keplero Nella figura è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c), eccentricità (e). Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti: L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0.5 e potrebbe rappresentare l'orbita di un asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità molto più piccole: 0.0167 per la Terra , 0.0934 per Marte, 0.2482 per Plutone. La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio).

Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale II legge di Keplero La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio. Per l'orbita qui raffigurata, la velocità al perielio è circa 3 volte la velocità all'afelio. La velocità areolare è costante. Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il sole.

Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale III legge di Keplero I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite. Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e può essere espressa in forma matematica nel modo seguente: dove K è una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste preso in considerazione (il Sole o qualcuno degli altri pianeti). Per un'orbita circolare la si riduce a

La gravitazione universale Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale La gravitazione universale Secondo le leggi di Keplero, i pianeti che ruotano intorno al Sole non si muovono in linea retta ma descrivono delle orbite chiuse; lo stesso vale per la Luna che ruota intorno alla Terra. Il Principio di inerzia di dice che pianeti e satelliti devono essere soggetti a una forza Questa forza è la stessa che fa cadere gli oggetti al suolo. Isaac Newton (1642-1727) nella seconda metà del ‘600 intuì l’esistenza di una forza universale che fa si che tutti i corpi che possiedono una massa si attraggano tra loro

Formulazione matematica Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale Formulazione matematica Se si considerano due masse m ed M ad una distanza r, tra di esse esiste una forza attrattiva che è direttamente proporzionale a ciascuna massa e inversamente proporzionale al quadrato della distanza

Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale Esempi Se una delle due masse raddoppia, la forza di gravitazione raddoppia Se anche l’altra massa raddoppia, la forza diventa quattro volte più grande Tenendo fisse le masse, se la distanza raddoppia la forza diventa 4 volte più piccola Se la distanza triplica, la forza diventa 9 volte più piccola e così via La forza diminuisce molto rapidamente al crescere della distanza. Questo spiega perché stando sulla Terra, sentiamo molto l’attrazione della Terra e poco quella delle Stelle

Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale La costante G La Costante di Gravitazione Universale è una costante della natura, che non dipende quindi né dalle proprietà dei corpi che si attraggono, né dalla loro posizione. Il valore di questa costante fu misurato per la prima volta dal fisico inglese Henry Cavendish nel 1798 per mezzo di una bilancia di torsione. Dal punto di vista operativo, essa si può definire come l'intensità della forza di interazione tra due corpi sferici, ciascuno di massa pari a 1 kg e posti a distanza di 1 m l'uno dall'altro.

La velocità dei satelliti Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale La velocità dei satelliti Per le leggi del moto circolare uniforme, è noto che la forza centripeta si calcola con la formula: Per i satelliti artificiali, così come per quelli naturali, valgono delle regole atte a calcolare la loro velocità. Tuttavia, per la semplificazione dei calcoli, sono presi in considerazione i seguenti punti: L'orbita del satellite viene considerata come circolare; Il satellite si muove attorno ad un corpo puntiforme con una certa massa; Anche il satellite è un corpo puntiforme. e ancora, per la legge di gravitazione universale, la forza gravitazionale si calcola con la formula:

I satelliti geostazionari ( i GPS) Prof. Roberto Capone Dinamica del punto materiale I satelliti geostazionari ( i GPS) Tuttavia, per creare una situazione di equilibrio, cioè fare in modo che il satellite ruoti attorno ad un corpo e non precipiti su di esso, la forza centripeta dev'essere uguale alla forza di gravitazione: FC=FG