Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 1 Soluzione esercizio di approfondimento Fornire un’implementazione alternativa dell’operazione di merge(CodaPriorità c1, CodaPriorità c2), analizzandone la convenienza asintotica rispetto all’implementazione appena fornita (di costo  (n)). Soluzione: Sia k=min{|c 1 |,|c 2 |}. Inseriamo ad uno ad uno tutti gli elementi della coda più piccola nella coda più grande; questo costa O(k log n), dove n=|c 1 |+|c 2 |. L’approccio conviene quindi per k log n=o(n), cioè per k=o(n/log n).

Capitolo 6 Il problema del dizionario Algoritmi e Strutture Dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 3 Il tipo dato Dizionario Suppongo sempre che mi venga dato un riferimento diretto all’elemento da cancellare Applicazioni: gestione archivi di dati

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 4 Implementazioni elementari SearchInsertDelete Array non ord. O(n)O(1) Array ordinato O(log n)O(n) Lista non ordinata O(n)O(1) Lista ordinata O(n) O(1)  Ognuno dei 4 metodi banali costa O(n). Voglio fare meglio…

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 5 Consideriamo l’albero di decisione di un qualsiasi algoritmo che risolve il problema della ricerca in un insieme di n elementi tramite confronti L’albero deve contenere almeno n+1 foglie Un albero binario con k foglie in cui ogni nodo interno ha esattamente due figli, ha altezza h(k)  log k (vedi lezione n. 6)  L’altezza h dell’albero di decisione è  (log n). Il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi è ottimale! Lower bound  (log n) per la ricerca

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 6 Alberi binari di ricerca (BST = binary search tree)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 7 Definizione Albero binario che soddisfa le seguenti proprietà: –ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è associata una chiave chiave(v) presa da un dominio totalmente ordinato, nonché un puntatore al padre, un puntatore al figlio sinistro e un puntatore al figlio destro –le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono < chiave(v) –le chiavi nel sottoalbero destro di v sono > chiave(v)

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 8 Albero binario di ricerca Esempi Albero binario non di ricerca !

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 9 Visita simmetrica di un BST Visita in ordine simmetrico – dato un nodo x, elenco prima il sotto-albero sinistro di x (in ordine simmetrico), poi il nodo x, poi il sotto-albero destro di x (in ordine simmetrico) Inorder-tree-walk(node x) If (x  NULL) then Inorder-tree-walk(left[x]) stampa key[x] Inorder-tree-walk(right[x]) Inorder-tree-walk(radice del BST) visita tutti i nodi del BST Analisi complessità: la complessità della procedura considerata è T(n) =  (n). Infatti: T(n) = T(n') + T(n'') + O(1) con n'+n''=n-1

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 10 Inorder-tree-walk(radice del BST) visita i nodi del BST in ordine crescente rispetto alla chiave! Verifica: Indichiamo con h l’altezza dell’albero. Per induzione sull’altezza dell’ABR: Base (h=0): banale (il BST consiste di un unico nodo); Passo induttivo (h generico): ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1 Proprietà della visita simmetrica di un BST r Albero di altezza < h-1. Tutti i suoi elementi sono minori della radice Albero di altezza < h-1. Tutti i suoi elementi sono maggiori della radice

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 11 Esempio massimo minimo

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 12 search(chiave k) -> elem Traccia un cammino nell’albero partendo dalla radice: su ogni nodo, usa la proprietà di ricerca per decidere se proseguire nel sottoalbero sinistro o destro

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl search(7) 30

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 14 Confronto con la ricerca binaria La complessità della procedura di ricerca considerata è T(n) = O(h), ove h è l’altezza del BST. Nell’esempio precedente, il BST era completo, e quindi h=Θ(log n) Per le proprietà del BST, quando esso è completo, per ogni nodo v la chiave associata è l’elemento mediano nell’insieme ordinato delle chiavi associate all’insieme di nodi costituiti dal sottoalbero sinistro di v, da v, e dal sottoalbero destro di v  Ad ogni discesa di livello, dimezzo lo spazio di ricerca, in modo analogo a quanto avveniva per l’array ordinato!! … ma un BST non sempre è completo…

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl …anche questo è un BST!! Notare: T(n) = O(h) in entrambi i casi, però: BST completo  h =  (log(n)) BST “linearizzato”  h =  (n) 2

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl 16 insert(elem e, chiave k) 1.Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k 2.Cerca la chiave k nell’albero, identificando così il nodo v che diventerà padre di u 3.Appendi u come figlio sinistro/destro di v in modo che sia mantenuta la proprietà di ordinamento totale  La complessità della procedura considerata è T(n) = O(h), ove h è l’altezza del BST

Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © The McGraw - Hill Companies, srl insert(e,8) Se seguo questo schema l’elemento e viene posizionato nella posizione giusta. Infatti, per costruzione, ogni antenato di e si ritrova e nel giusto sottoalbero. 8