Analisi della complessità degli algoritmi Unità F1 Analisi della complessità degli algoritmi

Obiettivo principale Confrontare algoritmi corretti che risolvono lo stesso problema, allo scopo di scegliere quello migliore in relazione a uno o più parametri di valutazione.

Valutazione con un parametro Se si ha a disposizione un solo parametro per valutare un algoritmo, per esempio il tempo d’esecuzione, è semplice la scelta: il più veloce. Ogni altra caratteristica non viene considerata.

Valutazione con più parametri Nel caso di due parametri normalmente si considera il tempo. numero di passi (istruzioni) che occorrono per produrre il risultato finale. Passi e non secondi o millisecondi perché il tempo varia al variare delle potenzialità del calcolatore. lo spazio occupazione di memoria

Durata delle istruzioni Le istruzioni non hanno tutte lo stesso tempo di esecuzione. Il tempo di esecuzione di un algoritmo è una somma pesata delle istruzioni: Ttotale=(i0*t0*n0)+(i1*t1*n1)+…+(im*tm*nm) ij è l’istruzione, tj è il costo dell’istruzione, il tempo di esecuzione nj è il numero di volte che viene eseguita.

Misura dell’efficienza L’approssimazione di una funzione con una funzione asintotica è molto utile per semplificare i calcoli sul tempo di esecuzione di un algoritmo. La notazione asintotica di una funzione consente di descriverne il comportamento in modo semplificato, ignorando dettagli della formula. Esempio: per valori sufficientemente alti di x il comportamento della funzione f(x) = x2 – 3x + 1 è approssimabile con la funzione f(x) = x2. Per un algoritmo con un input di dimensione n, possiamo definirne l’efficienza dicendo che “l’algoritmo per calcolare il risultato finale impiega al più f(n) passi”, “l’algoritmo ha complessità f(n)”.

Terminologia O (O grande) equivale al simbolo <=. Corrisponde a “al più come”. “la complessità dell’algoritmo è O(f(n))” equivale a “il tempo d’esecuzione dell’algoritmo è <= a f(n)”. o (o piccolo) equivale al simbolo <. “la complessità dell’algoritmo è o(f(n))” equivale a “il tempo d’esecuzione dell’algoritmo è strettamente < a f(n)”. Θ (teta) corrispondente al simbolo =. “la complessità dell’algoritmo è Θ(f(n))” equivale a “il tempo d’esecuzione dell’algoritmo è = a f(n)”.

Terminologia Ω (omega grande) equivale al simbolo >=. “la complessità dell’algoritmo è Ω(f(n))” equivale a dire “il tempo d’esecuzione dell’algoritmo è >= a f(n)”. ω (omega piccolo) equivale al simbolo >. “la complessità dell’algoritmo è ω(f(n))” è uguale a “il tempo d’esecuzione dell’algoritmo è strettamente > di f(n)”.

Complessità computazionale La complessità computazionale di un algoritmo è la quantità di tempo necessaria per produrre il risultato finale. La complessità si esprime sotto forma di una funzione matematica che mette in relazione il tempo di esecuzione di un algoritmo con la dimensione dei dati di input. Il caso peggiore per un algoritmo è il caso in cui questo, per generare il risultato, impiega più tempo.

Complessità In molti casi la complessità è legata al tipo o al numero dei dati di input Ad esempio la ricerca di un valore in un vettore ordinato dipende dalla dimensione del vettore La complessità può dipendere anche dalla disposizione e dal tipo di dati Sempre nell’algoritmo di ricerca in un vettore ordinato avremo il caso: Ottimo Pessimo Medio

Tipi di complessità lineare; logaritmica; quadratica; esponenziale; fattoriale.

Lineare l’algoritmo ha complessità O(n) Esempio: algoritmo di ricerca sequenziale di un elemento in un array

Logaritmica Esempio ricerca dicotomica in un array La ricerca dicotomica ha complessità O(log2(n))

Quadratica Un esempio è l’algoritmo di ordinamento bubblesort eseguito su un array di elementi l’algoritmo ha complessità O(n2)

Esponenziale l’algoritmo della Torre di Hanoi ha complessità Ω(2n), La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti. Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull’ultimo paletto, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo

Torre di Hanoi

Fattoriale E’ quella che cresce più velocemente rispetto a tutte le precedenti. Esempio: algoritmo che calcola tutti gli anagrammi di una parola di n lettere distinte. la complessità di un tale algoritmo è Θ(n!)

logaritmica < lineare < quadratica < esponenziale < fattoriale

Calcolo complessità e confronto Alcuni esempi Calcolo complessità e confronto

Algoritmo 1 – Calcolo x5 1 1 1 1x5 2x4 17 1 ALGORITMO 1 x,i,p: intero INIZIO leggi(x) i1 p x MENTRE i<5 ESEGUI p p*x i i+1 FINEMENTRE scrivi(p) FINE 1 1 1 1x5 2x4 17 1

Algoritmo 2 – Calcolo xn 1 1 1 1 3xn+1 3n+6 1 ALGORITMO 2 x,i,p: intero INIZIO leggi(x) leggi(n) in p 1 MENTRE i>0 ESEGUI p p*x i i-1 FINEMENTRE scrivi(p) FINE 1 1 1 1 3xn+1 3n+6 1

Ricerca sequenziale Ciclo eseguito: FUNZIONE RicercaSequenziale(V:vettore;N,P:Intero):Booleano Trovato : Booleano I : Intero INIZIO Trovato Falso I 1 MENTRE (I<N) AND (NOT Trovato) ESEGUI SE V[I]=X ALLORA Trovato Vero FINESE I I+1 FINEMENTRE RITORNO(Trovato) FINE Ciclo eseguito: Caso ottimo 1 volta Caso pessimo n volte Caso medio n/2 volte

Ricerca binaria Ciclo eseguito: ottimo 1 volta pessimo log n volte FUNZIONE RicercaBinaria(V:vettore;N,X:Intero):Booleano Primo, Ultimo, Centro : Intero ; Trovato : Booleano INIZIO Primo 1; Ultimo N; Trovato Falso MENTRE (Primo<=Ultimo) AND (NOT Trovato) Centro (Primo+Ultimo)/2 SE V[Centro]=X ALLORA Trovato Vero ALTRIMENTI SE V[Centro]<X ALLORA Primo  Centro+1 ALTRIMENTI Ultimo  Centro-1 FINESE FINEMENTRE RITORNO(Trovato) FINE Ciclo eseguito: ottimo 1 volta pessimo log n volte medio log n volte

Confronto fra n - n/2 - log(n)