Variabili aleatorie discrete e continue Ottobre 2008 Marta Giorgetti

Variabili aleatorie discrete Distribuzione uniforme: si pensi ad un’urna contenente N palline numerate da 1 a N. L’esperimento aleatorio consiste nell’estrarre a sorte una pallina. In questo modo si dà luogo ad una variabile aleatoria le cui determinazioni sono i primi N numeri interi. La probabilità associata a ciascuno di questi valori è 1/N. DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione uniforme discreta se la sua legge di probabilità è: Inoltre:

Distribuzione di Bernoulli B(1,p): si pensi ad un esperimento i cui esiti sono due eventi incompatibili A e B. Si pensi al lancio di una moneta, dove A e B sono gli eventi “testa” e “croce”, oppure all’estrazione casuale di una unità da una popolazione dicotomica, cioè da una popolazione le cui unità sono raggruppate in due sole categorie, quali “maschio” e “femmina”, “malato” e “sano”, ecc. La singola esecuzione di questo esperimento va sotto il nome di prova bernoulliana. Si associ il valore 1 all’evento A, designato, generalmente con il termine “successo” e il valore 0 all’evento B, indicato con il termine “insuccesso”. Sia p la probabilità di A e quindi 1-p la probabilità di B. Vale allora la seguente definizione: DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Bernoulli se la sua legge di probabilità è: Inoltre:

3) Distribuzione di Binomiale B(n,p): si considerino n prove di Bernoulli indipendenti; sia p la probabilità dell’evento successo. La variabile aleatoria binomiale è definita come il numero dei successi in n prove bernoulliane indipendenti. Si immagini per esempio il lancio di una moneta 20 volte; indentificando in “testa” l’evento successo la cui probabilità è 0,5, la VA binomiale sarà il numero dei risultati “testa” nei 20 lanci. DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Binomiale se la sua legge di probabilità è: Inoltre:

Distribuzione Poisson: DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Poisson con parametro λ>0 se la sua legge di probabilità è: Inoltre:

Variabili aleatorie continue quando lo spazio campionario Ω, su cui sono definite, è continuo, è costituito cioè da un’infinità non numerabile di eventi elementari. Distribuzione uniforme: DEF: si dice che una V.A. definita in un intervallo [a,b] ha una distribuzione uniforme continua se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione data da: e

2) Distribuzione esponenziale (negativa): DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione esponenziale se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione data da: e

3) Distribuzione normale N(μ, σ2): DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione è data da: e

3) Distribuzione normale standard N(0,1): DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale standard se la sua media vale 0 e la sua varianza vale 1, cioè se la sua funzione di densità è espressa da: Inoltre ha funzione di ripartizione è data da: e

ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere. Estraggo a caso, con reimmissione, 3 palline. Quale è la probabilità di pescarne 3 bianche? E due bianche ed una nera? SOLUZIONE Poniamo X=“numero di palline bianche estratte”. Quindi Perciò

ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare. Qual è la probabilità di ottenere almeno una volta un punteggio pari? SVOLGIMENTO In ciascun lancio posso aver successo (punteggio pari) o insuccesso (punteggio dispari) e i lanci sono indipendenti. Quindi il n.a. X=“numero di successi in 5 lanci” ha distribuzione binomiale di parametri n=5, θ=0,5.

ESERCIZIO 3: Supponiamo che il numero giornaliero di richieste di intervento d’urgenza per un certo servizio sia descritto da una n.a. X con distribuzione di Poisson di parametro λ=5. Qual è la probabilità di ricevere più di una richiesta di intervento? SVOLGIMENTO La funzione di probabilità di X è: perciò si ha

ESEMPIO: Numeri ritardatari su una ruota del lotto ESEMPIO: Numeri ritardatari su una ruota del lotto. E’ convenzione comune che se un numero non è uscito su una ruota per molte estrazioni la sua probabilità di uscire a ogni estrazione successiva aumenti. Calcoliamo questa probabilità. A ogni estrazione la probabilità che un numero venga estratto è: Si può modellizzare il tempo d’attesa di questo numero con una v.a. geometrica X di parametro p che aspetta l’uscita della prima T nel lancio di una moneta di trucco p. Calcoliamo la probabilità che T non sia uscita per k-1 lanci, che corrisponde a , cioè T esce al k-esimo lancio, cioè : che è la probabilità che T esca alla prima estrazione.

Il ragionamento, sbagliato e inconsapevole, è invece il seguente. La probabilità di k C di fila, cioè dell’evento è (nel caso del lotto 0,9444k, che per k=100 è 0,9444100=0,0033). Allora si è portati a giocare contro questo evento, quindi per il suo complementare, che, nel caso k=100, è pari a 0,9967, ma questo complementare non è .

ESERCIZIO 4: Una v.a. ha distribuzione uniforme sull’intervallo (-2,2). Scrivete l’espressione della funzione di densità e la funzione di ripartizione di X. Calcolare P(X>1). SVOLGIMENTO Nel nostro caso a=-2, b=2, quindi la funzione di densità è: E la funzione di ripartizione è: Infine calcoliamo P(X>1)=1-P(X ≤1)=1-F(1)=1-3/4=1/4.

ESERCIZIO 5: Vogliamo studiare il tempo d’attesa ad uno sportello bancario. So che in media aspettiamo 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Che modello potremmo usare per descrivere il fenomeno? Quanto vale lo scarto quadratico medio orario del tempo d’attesa? SVOLGIMENTO Fra quelli studiati, il modello adatto per descrivere questo fenomeno è l’esponenziale negativa con parametro λ=1/4=0,25. Abbiamo che Var(x)=1/λ2=1/0,0625 quindi Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale negativa abbiamo che:

ESERCIZIO 6: Sia X una v. a. con la seguente funzione di densità ESERCIZIO 6: Sia X una v.a. con la seguente funzione di densità Calcolare P(X>5) e P(|X|>4). SVOLGIMENTO Dalla funzione di densità deduciamo che X ha distribuzione normale con media 1 e varianza pari a 4. Per calcolare le probabilità richieste bisogna standardizzare X e poi utilizzare le tavole. Si ha che Inoltre Quindi Perciò

ESERCIZIO7: In un gioco si può vincere o perdere una somma aleatoria X (vinco se X>0, perdo se X<0). Supponiamo che X sia una v.a. con distribuzione normale standardizzata. Se gioco 5 volte e se gli esiti sono tra loro indipendenti, con quale probabilità posso vincere almeno una volta? E vincere esattamente due volte? SVOLGIMENTO X~N(0,1) quindi P(vincere)=P(X>0)=0,5; gioco 5 volte e le prove sono indipendenti. Chiamo Yi il numero aleatorio pari a 1 se vinco l’i-esima giocata, pari a 0 se perdo (i=1,2,3,4,5). Si ha che P(Yi=1)=P(vincita)=0,5, in altre parole Yi è una bernoulliano da parametro θ=0,5. Gli sono Yi indipendenti. Dunque il numero di vincite nelle 5 prove, che indichiamo con Y è dato da ed ha una distribuzione binomiale di parametri n=0,5 e θ=0,5. Le probabilità cercate sono quindi P(almeno una vincita)=P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0,55=0,96875 e P(esattamente due vincite)=P(Y=2)= 0,520,53= 0,55=0,3125