Esercizi02 Variabili aleatorie unidimensionali, media, varianza, mediana, moda, quantili.

Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a. Media di una v.a.: sia X una v.a. (dotata di punti di massa xj e legge pX(x) se discreta, di funzione di densità fX(x) se continua). La media E[X] è data da: a patto che queste quantità esistano; Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X; la varianza di X, indicata con 2X, o Var(X) è data da: se queste quantità sono definite. ottobre 2008

Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili Data la funzione di ripartizione FX di una v.a. X la mediana è il minimo valore m tale che Analogamente si dice quantile q-esimo (0<q<1) della FX di una v.a. X il minimo valore q tale che Se q viene espresso con una percentuale invece che con un numero q, viene definito 100q-esimo percentile. ottobre 2008

Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché? Esercizio 1: testo Quattro autobus portano 148 studenti allo stadio di football; gli autobus portano rispettivamente 40, 33, 25 e 50 studenti. Scegliamo a caso uno degli studenti, e denotiamo con X il numero degli studenti che hanno viaggiato sull’autobus dello studente scelto a caso. Scegliamo a caso ora uno dei conducenti dei bus e denotiamo con Y il numero degli studenti che hanno viaggiato sul suo autobus. Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché? Si calcolino E[X] ed E[Y] ottobre 2008

Che valori può assumere la variabile X? Esercizio 1- Soluzione A voi: proposte? Che valori può assumere la variabile X? Quindi siamo capaci di calcolare la sua media: Un discorso analogo vale per Y: ottobre 2008

Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y: Esercizio 1- Soluzione Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y: Le due variabili assumono valori identici ma con differenti probabilità. ottobre 2008

Esercizio 2: testo e soluzione del punti 1 Sia X una variabile aleatoria tale per cui E(X)=1, e Var(X)=5. Si calcoli: E [(2+X)2]; Var(4+3X); SVOLGIMENTO Calcoliamo la media: Ci manca E[X2], ma possiamo ottenerlo con la formula Si ottiene perciò ottobre 2008

Esercizio 2: testo e soluzione del punto2 E la varianza, sarà ottobre 2008

Esercizio 3: testo Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. Sia X la v.a. che conta il numero di assi contenuti nelle 5 carte. Dire quali sono le determinazioni di X ed indicare la sua funzione di densità discreta. ottobre 2008

Esercizio 3- Soluzione Tra le 5 carte pescate si possono presentare 0, 1, 2, 3 oppure 4 assi. Con quale probabilità? ottobre 2008

Esercizio 3- Soluzione Tali probabilità rappresentano la densità discreta della variabile X. Si possono allora disegnare i grafici della densità discreta pX(x) e della funzione di ripartizione FX(x): ottobre 2008

Esempio Si tirano due dadi indipendenti e non truccati, e si denota con la lettera X la v.a. definita dalla loro somma. Ricaviamo la densità discreta di X: X assume tutti i valori interi da 2 a 12, con probabilità specificate dalle equazioni precedenti; poiché X deve necessariamente assumere uno di questi valori, segue che se varrà che ottobre 2008

Esercizio 5: testo e soluzione Sia , dove IA(t) è la funzione indicatrice dell’insieme A, la f.d.r. di una v.a. X : Considerando che il grafico di FX(t) è il seguente, dire quali delle seguenti sono vere e quali false: V F ottobre 2008

Esercizio 6: testo Una v.a. continua ha densità Determinare la costante di normalizzazione k, e poi calcolare Calcolare inoltre il valore atteso e la mediana di X. ottobre 2008

k deve essere tale che perciò Esercizio 6- Soluzione k deve essere tale che perciò Inoltre ottobre 2008

Calcoliamo il valore atteso: Esercizio 6- Soluzione Calcoliamo il valore atteso: Poiché X è continua, la mediana è il valore m tale che . Per si ha: e perciò la mediana deve soddisfare ottobre 2008

Esercizi per voi La funzione è una funzione di densità? Se lo è, calcolatene la corrispondente funzione di ripartizione. Determinare la mediana ed il terzo quartile delle variabili aleatorie definite dalle seguenti funzioni di densità: Determinare il k-esimo quantile mp ( con ) in funzione di p, per la variabile aleatoria di densità Sapendo che calcolare ottobre 2008