Retta passante per i due punti Deve essere: e MODELLO PIU’ REALISTICO MA PIU’ SEMPLICE POSSIBILE PIU’ SEMPLICE POSSIBILE

Retta passante per i punti (o,m) e (K,0)

È detta capacità portante popolazione Esempio L’ambiente può sostenere solo una popolazione di dimensione massima dimensione massima la popolazione aumenta Il tasso di crescita si annulla

MODELLO LOGISTICO DISCRETO Rappresenta la resistenza ambientale (trascurabile se è piccola) con

La funzione che descrive il MODELLO PARABOLA LOGISTICO è quindi una PARABOLA Esempio di logistica Scalatura

Parabola Ax(1-x) Si annulla per x=0 e per x=1 Per x>1 assume valori negativi

per A>4 (tasso di crescita elevato) la dinamica produce dei valori >1 seguiti poi da valori negativi e quindi non accettabili. Se = 1 si ha una catastrofe (tutte le risorse sono state consumate) Non si possono accettare valori di > 1 La parabola ha il massimo nel vertice : x =1/2, Max = A/4 Il modello di competizione intraspecifico basato su una dipendenza lineare del tasso dalla popolazione non è universale

x1x1 x2x2 x3x3 x n+1 xnxn x n+1 = x n POPOLAZIONE DI EQUILIBRIO Esiste una popolazione di equilibrio? (Numero delle nascite = numero delle morti)

La parabola sta sotto la bisettrice e quindi: Punto di equilibrio solo X= 0 ( m < 0 ) Se il tasso di crescita è negativo l’unico equilibrio possibile è l’estinzione

interpretato in termini di Pn diventa: Il punto CAPACITA’ PORTANTEK 2 punti di equilibrio:

è ovvio che sia un punto stazionario (di equilibrio): se non ci sono individui non si “creano” da soli La capacità portante rappresenta un punto di equilibrio. Se la popolazione raggiunge un numero di individui pari a K, si manterrà sempre di queste dimensioni

STABILITA’ DEI PUNTI STAZIONARI Partendo da un dato iniziale qualsiasi non è detto che si arrivi ad una situazione di equilibrio Anzi, anche partendo da una situazione vicina a quella di equilibrio, ci si può allontanare … ESEMPIO

DEFINIZIONE Il punto di equilibrio x* è stabile se partendo abbastanza vicino a x* restiamo vicini ad x* x* è stabile attrattivo se la distanza diminuisce Generalizzando il caso lineare (vedi Malthus ) si può dimostrare che: x* è punto di equilibrio stabile se Nel caso della logistica: x* è stabile se

è stabile Se il tasso di crescita è negativo, ogni immigrazione x0>0 è destinata all’estinzione L’unico punto d’equilibrio

instabile stabile

X=0 non è attrattivo (non stabile) Se si parte da x0 piccolo, vale la legge malthusiana (l’ambiente non oppone resistenza) e quindi la popolazione cresce allontanandosi da 0 Qualunque sia la densità iniziale non nulla della popolazione, nel lungo periodo essa si assesta a K. Questo spiega anche il termine capacità portante : massimo numero di individui che un determinato ambiente che ospita la popolazione può contenere nel lungo periodo. La capacità portante K rappresenta la densità di equilibrio globalmente stabile per la popolazione. cioè è attrattivo

Comportamento della crescita logistica di una popolazione al variare del numero iniziale di individui K=1 A=2

instabile 3 < A < 3.45 soluzioni periodiche 3.45 < A < 4 soluzioni aperiodiche

-Mostrare che per m > 3 l’equazione della logistica può generare valori negativi di Pn+1, il che non è ammissibile dal punto di vista pratico e dimostra che anche il modello logistico ha dei limiti, che andranno corretti. -Determinare algebricamente i punti stazionari del modello e verificare i risultati graficamente. - Fare delle considerazioni qualitative sulla stabilità dei punti di equilibrio -Si supponga di partire da una popolazione di P0 = 100 individui con capacità portante K = Studiare l’evoluzione della popolazione al variare di m e trarne le opportune conclusioni. ESERCIZI da svolgere in Laboratorio

per m>3 l’equazione logistica genera valori negativi di Pn+1. K=1000 P0=100 0  m  3. Per m=0.4 si osserva una crescita lenta che arriva alla capacità portante senza mai superare tale valore. All’inizio la crescita è quasi esponenziale, poi l’effetto della competizione intraspecifica si fa sentire e la popolazione arresta la sua crescita al valore K. La capacità portante è un punto di equilibrio attrattivo.

Nel caso m=1.5, la popolazione,dopo un primo periodo di crescita esponenziale, supera il valore della capacità portante e comincia ad assumere un andamento oscillante intorno ad esso.

Se il tasso viene incrementato ulteriormente e supera il valore 2, il comportamento della popolazione cambia di nuovo. Le oscillazioni ora non si smorzano più. Per m = 2.1, la popolazione oscilla, senza mai tendere alla capacità portante

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % LOGISTICA DISCRETA % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % clear all; k=1000; nmax=50; y0=100; y1=1500; m=2.5; p1(1)=y0; for n=2:nmax p1(n)=p1(n-1)+m*(1-p1(n-1)/k)*p1(n-1); N(n)=n; end plot(N,p1) title('Logistica con tasso m=2.5') gtext('y0=100') gtext('Capacità portante K=1000') xlabel('Tempo') ylabel('popolazione');