1 Ricerca Operativa Primi sviluppi : seconda guerra mondiale Dopoguerra: applicazioni civili Standardizzazione Sviluppo del calcolo automatico Campi applicativi:Industria Trasporti Finanze Etc.

2 Definizione secondo Ackoff-Sasieni: La Ricerca Operativa e’: 1.l’applicazione del metodo scientifico 2.da parte di gruppi interdisciplinari 3.a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati al fine di fornire soluzioni che meglio servano gli scopi dell’organizzazione nel suo insieme

3 Caratteristiche della Ricerca Operativa 1.La R.O. viene applicata alla risoluzione di problemi sul come condurre, organizzare e migliorare le operazioni e le attivita’ all’interno di una organizzazione 2.L’approccio utilizzato e’ quello del metodo scientifico: individuato il problema si costruisce il modello matematico che astrae l’essenza dal problema reale 3.La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le varie componenti del sistema visto nel suo insieme: gli obiettivi prefissati devono essere in accordo con tutta l’organizzazione 4.La R.O. non si limita ad individuare una delle possibili soluzioni del problema, ma individua, se possibile, quella ottimale, cioe’ quella che meglio risponde alle esigenze.

4 Esempio Gestione linea metropolitana Variabili: Numero treni, Tempi di attesa Funzione Obiettivo Esigenze diverse Vincoli Ente gestore Utenti

5 Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa Esame della situazione reale Raccolta delle informazioni Formulazione del problema (variabili, funzione obiettivo, relazioni ) Costruzione del modello matematico Soluzione del modello Analisi e verifica delle soluzioni Attuazione

6 Problemi economici Ottimizzare Costi Profitti Produzione Gestione Organizzazione Vincoli Organizzativi Logistici Finanziari Produttivi Costi fissi Costi variabili lineari Costi variabili non lineari

7 Problemi economici in una sola variabile X = quantita’ di merce prodotta e/o venduta (x ≥ 0) C(X) = Costo totale C u (X) = C(X) / X = Costo unitario R(X) = Ricavo della vendita G(X) = Guadagno o utile netto p u = prezzo unitario di vendita = Costante Funzione della domanda (ricavato da una stima statistica)

8 Lavoro proposto ( Preparazione Unità didattica ) Distribuzione elenco problemi economici Definiire gruppi di lavoro Stabilire collocazione problemi nell’ambito della Ricerca Operativa. In tali problemi variano il tipo di funzione obiettivo, i vincoli. Stabilire quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nella risoluzione. Dare un ordine di presentazione dei problemi in base agli oggetti matematici presenti e al metodo risolutivo. Definire prerequisiti ed eventuali approfondimenti.

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10 1) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità. Determinare e disegnare le funzioni spesa, ricavo e guadagno mensili in funzione della quantità x prodotta. Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in perdita? u.m.=unità monetarie PROBLEMI ECONOMICI

11 Costi : C(x) = x Guadagno : G(x) = x – Risposta : 1500 R(x) C(x) G(x)

12 2) Un’impresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile. (Esaminare anche con vincolo sulla produzione x  700)

13 Risposta G(x) = -x 2 / x – V(750; )

14 3) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e’ espresso dalla funzione C(x) = x (x = quantita’ prodotta). Il prezzo di vendita e’ p(x) = 500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e’ x  Determinare e disegnare la funzione prezzo e la funzione guadagno. Funzione p(x)

15 Risposta G(x) = -0,1x x –

16 4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di u.m. ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

17 Modello matematico : massimizzare y = - 2,5x x –  x  1500 Risposta : x =1000

18 5) Per la produzione di un bene un’ impresa sostiene una spesa fissa di u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

19 Modello matematico : minimizzare y = 0,5x /x  x  Risposta : x =2000 p = 2800

20 N. lotti Prezzo al lotto (x1000) Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il massimo utile. 6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la seguente tabella

21 Caso discreto: dati poco numerosi N°lott i Costo(x1000)Ricavo(x1000)Guadagno(x1000) Risposta : lotti n° 5 Modello matematico: massimizzare y =guadagno 0  x  6 x  N

22 7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere l’utile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m , spesa fissa mensile u.m , prezzo di vendita p = x (dove x è il numero dei beni). Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare l’utile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è unità al mese.

23 Modello matematico: massimizzare y = -15x x –  x  x  N Caso discreto: dati molto numerosi V(4.000/3; /3) y(1333)= y(1334)= Risposta : x = 1.333

24 8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: u.m. al quintale fino a 50 quintali e u.m. al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x il numero di quintali determinare l’espressione del costo totale in funzione di x.

25 y=  3.500xse 0  x  x se x  50 Funzione definita a tratti, continua. Sconti quantità. Risposta:

26 9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a u.m. al Kg; se la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del 20% sull’eccedenza. Tenendo conto del fatto che all’atto dell’acquisto egli deve sostenere un costo fisso di u.m., e che il prezzo unitario di rivendita della merce e’ dato da p = – 100x, determinare quale quantità deve essere acquistata e venduta per ottenere il massimo guadagno.

27 Modello matematico: massimizzare  x  x x – se 0  x  x x – se x  100 y = Funzione definita a tratti, continua, parabole. Risposta : x = 200

28 10) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce e’ di 300 u.m al Kg.; per acquisti di almeno 30 q. il prezzo e’ ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e’ data dalla funzione x = –10p. L’impresa sostiene settimanalmente una spesa fissa di u.m e puo’ acquistare al massimo 50 q di merce. Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il massimo utile nell’ipotesi che tutta la quantita’ acquistata sia rivenduta.

29 Funzione definita a tratti, non continua, parabole. Risposta : x = Massimizzare  -0,1x x – se 0  x  ,1x x – se x  x  y=

30 Problema Tipico Oggetti matematici presenti e da approfondire: Equazioni e disequazioni Funzione Funzioni semplici Dominio Continuita’ Derivate etc. Ulteriori metodi: Statistiche Approssimazione –interpolazione Metodi numerici min – maxf(x) x  0 Vincolo di segno g(x)  0 Vincoli tecnici Modello Matematico f(x) = Costo Costo unitario Ricavo Guadagno Valori di ottimo Metodi semplici (grafici, algebrici) Analisi e derivate f(x) = funzione obiettivo

31 Classificazione problemi di scelta rispetto a Numero variabili coinvolte Tipo di variabili (campo di scelta) Numero e tipo dei vincoli Tipo di funzione obiettivo equazione/i disequazione/i lineari non lineari lineari non lineari lineari non lineari continuo (uno o piu’ intervalli reali) discreto (insieme di valori) a una variabile a due variabili a piu’ di due variabili

32 Problemi di scelta In condizioni di certezza Con effetti immediati Con effetti differiti In condizioni di incertezza Con effetti immediati Con effetti differiti certezza: dati e conseguenze determinabili a priori incertezza: grandezze variabili aleatorie effetti immediati: decisione effetti differiti: decisione realizzazione immediata realizzazione differita

33 Altri problemi in condizione di certezza con effetti immediati: scelta fra piu’ alternative 1) Un’azienda deve comprare un macchinario per produrre un certo prodotto. Può scegliere fra 3 macchinari che hanno le seguenti caratteristiche : Costo di produzione giornaliero fissoCosto per ogni unità prodotta Macchinario M u800 u Macchinario M u600 u Macchinario M u500 u La convenienza dipende dal livello di produzione : se 0  x  250 conviene M1 se 250  x  500 conviene M2 se x  500 conviene M3 x=250 e x=500 si dicono valori di indifferenza I prezzi e le durate dei 3 macchinari sono ininfluenti poiché pressoché uguali. Si vuole determinare qual’è la macchina che è più conveniente comperare. Le funzioni costo risultano: C1(x) = x C2(x) = x C3(x) = x C1(x) C2(x) C3(x)

34 2) Per rifornirsi di una data merce un commerciante può rifornirsi da due produttori : a) l’acquisto dal primo comporta una spesa fissa di u ed un costo di 800 u per ogni kg. b) l’acquisto dal secondo comporta una spesa fissa di u ed un costo di 900 u al kg. per forniture fino a 250 kg., mentre per forniture superiori il prezzo diminuisce del 20% sull’eccedenza. Determinare per quali livelli di acquisto è più conveniente il primo o il secondo produttore. C2(x) =  x se 0  x  x se x  250 C1(x) = x Il primo produttore è più conveniente per 20  x  537.5, il secondo per x  20 oppure x  C1(x) C2(x)

35 Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti Esempio 1 Si vogliono investire di u.m. e si puo’ scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 8 anni u.m La scelta b) non comporta alcun dubbio Esempio 2 Si vogliono investire u.m. e si puo’ scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 3 anni u.m e fra 9 anni altre Problemi tipici: Finanziari (acquisti o vendite di beni economici, etc.) Commerciali (gestione di attivita’ commerciali, apertura di agenzie, etc.) Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature, etc.)

36 Criteri utilizzati: Criterio attualizzazione Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento) Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso La scelta dipende dall’obiettivo: investimento o costo

37 Esempio 2 Si vogliono investire di u.m. e si puo’ scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 3 anni u.m e fra 9 anni altri Svolgimento Criterio attualizzazione V a = (1 + i) -10 V b = (1 + i) (1 + i) -9 i = 8% V a = V b = Soluzione: e’ piu’ conveniente a) i = 12% V a = V b = Soluzione: e’ piu’ conveniente b) Asse dei tempi M = C (1 + i) n V = C (1 + i) -n In effetti è V= M (1 + i) -n CVCV MCMC Difetto: ?

38 Criterio attualizzazione Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, all’inizio dell’attivita’, dei costi e ricavi futuri Difetto: criterio soggettivo (scelta del tasso di attualizzazione)

39 Stesso problema Si vogliono investire di u.m. e si puo’ scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 3 anni u.m e fra 9 anni altri Svolgimento Criterio tasso effettivo di impiego Viene determinato il tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi a) = (1 + i) -10 Soluzione: i = 9,59% (metodi algebrici di calcolo) b) = (1 + i) (1 + i) -9 Soluzione: i = 9,64% (metodi numerici di calcolo)

40 Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento) Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e’ uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso Criterio oggettivo Difetto: scadenze comparabili

41 Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti immediati Le conseguenze dipendono da eventi aleatori Matrice dei risultati Distribuzione di probabilita’

42 Criterio del valor medio 1.Per ogni alternativa si calcola il valor medio dei risultati 2.Scelta dell’alternativa piu’ conveniente Variabilita’ M(A K ) =  i a i,k p i

43 Criterio del valor medio con valutazione del rischio 1.Per ogni alternativa 2.Se valori medi uguali  A K con  K minore 3.Se valori medi diversi  determinazione del livello di rischio L K = M(A K ) / n (n = 1, 2,..) Se  K  L K (n fissato) si confrontano i valori medi e si sceglie l’alternativa corrispondente al piu’ conveniente  K =  i [ a i,k - M(A K )] 2 p i

44 PROBLEMI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EFFETTI IMMEDIATI –ESEMPIO Criterio del valor medio con valutazione del rischio Esempio Un ‘azienda deve scegliere fra tre alternative di investimento i cui risultati dipenderanno dal verificarsi o meno di 4 eventi aleatori. Nella tabella sono indicati i guadagni ottenibili, per ogni alternativa, al variare degli eventi (es. : acquisto di merce deperibile oppure vendita come variabile aleatoria). Valutare quale scelta è preferibile, supponendo che agli eventi siano assegnate le probabilità indicate.

45 E’ possibile formulare un criterio di scelta anche se non si conoscono le probabilità o non se ne vuole tenere conto Un’industria deve decidere quale fra tre progetti A,B,C deve attuare per produrre tre prodotti L,M,N. Per decidere si basa sulla probabilità di vendita così stimata : 0.5 per L, 0.2 per M, 0.3 per N Ogni produzione prevede diversi costi e ricavi, a seconda che si attuino i progetti A,B,C. Nella tabella sono riportati i guadagni previsti. Determinare quale progetto è il più conveniente senza utilizzare la distribuzione di probabilità. Es. Acquisto quantità A,B,C di merce deperibile per rivenderla in quantità L,M,N con guadagni in tabella ( si tiene conto dell’invenduto e degli sconti per grandi quantità). LAVORO PROPOSTO

46 La tabella rappresenta guadagni: abbiamo un problema di massimo Volendo non valutare la probalilità assegnata agli eventi, per ogni colonna scegliamo il risultato peggiore E fra questi scegliamo il maggiore: alternativa A

47 Se la tabella rappresenta costi: abbiamo un problema di minimo Volendo non valutare la probalilità assegnata agli eventi, per ogni colonna scegliamo il risultato piu’ grande E fra questi scegliamo il minore: alternativa A

48 Tale criterio è detto del maxi-min o del mini-max ( o criterio del pessimista ). Si attua determinando per ogni alternativa il valore minimo e fra questi si sceglie poi l’alternativa corrispondente al massimo, se si tratta di utili (massimizzazione); se si affronta un problema di costi ( minimizzazione), invece, si scelgono i valori massimi e si sceglie poi l’alternativa corrispondente al minimo.

49 I criteri del valor medio, del valor medio con valutazione del rischio, del maxi-min non portano necessariamente allo stesso risultato : confrontare i criteri Scrivere problemi in condizioni di incertezza con diverse funzioni obiettivo : utile, costo, da risolvere con i diversi metodi LAVORO PROPOSTO

50 Problemi in condizioni di incertezza con effetti differiti Eventi aleatori Effetti differiti nel tempo Applicazioni: Matematica attuariale

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