Sistemi di numerazione Lezione 1 Sistemi di numerazione Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico)

Introduzione Un sistema di numerazione è un sistema utilizzato per esprimere i numeri e possibilmente alcune operazioni che si possono effettuare su di essi. Storicamente i sistemi di numerazione si sono riferiti alla successione dei cosiddetti numeri naturali, ossia: numeri interi positivi (1, 2, 3, 4, ...); simbolo N numeri interi non negativi (0, 1, 2, 3, 4, ...); simbolo N0 I più antichi sistemi di numerazione hanno base 10, con riferimento all'atto di contare sulle dita delle mani. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Sistema di numerazione additivo Idea primordiale: ad ogni simbolo è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli. Ad esempio, ciascun dito o sassolino rappresenta un’unità. Il totale è dato dalla somma delle singole unità. Caso reale: il sistema di numerazione romano originario (I, II, III, IIII, V, VI, VII, VIII, VIIII, X, …), che nel medioevo diventa anche sottrattivo (I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, …). Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Sistema di numerazione posizionale Un numero è rappresentato da una sequenza di cifre. Es.: 333 è un numero, il singolo 3 è una cifra. In un sistema posizionale, il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione all'interno della sequenza. La cifra all'estrema destra ha il valore minore (cifra meno significativa), quella all'estrema sinistra il valore maggiore (cifra più significativa). Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Definizione di “base” E' possibile scegliere il numero di cifre (o simboli) differenti utilizzabili in una notazione posizionale. Tale numero prende il nome di base. Nel sistema decimale si usano le cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Nel sistema binario si usano le cifre 0 e 1. La base 2 è la più piccola possibile per un sistema di numerazione. Il valore posizionale è legato alle potenze di 2. Nel sistema ottale si usano 0,1,2,3,4,5,6,7. Il valore posizionale è legato alle potenze di 8. Nel sistema esadecimale si usano 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Il valore posizionale è legato alle potenze di 16. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Confronto tra base 2, 10 e 16 Base 2 Base 10 Base 16 0000 00 0001 01 1 0001 01 1 0010 02 2 0011 03 3 0100 04 4 0101 05 5 0110 06 6 0111 07 7 1000 08 8 1001 09 9 1010 10 A 1011 11 B 1100 12 C 1101 13 D 1110 14 E 1111 15 F … Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Come si rappresentano numeri >= base Esempio in base 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F sono sufficienti per i numeri 0..15; ma poi? 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F è la rappresentazione su due cifre dei numeri sopra La cifra più significativa ora diventa il secondo simbolo dell’alfabeto: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F Esaurita la sequenza, la cifra più significativa diventa il terzo simbolo dell’alfabeto: 20 21 ... Quando si esauriscono i simboli dell’alfabeto, si aggiunge un’ulteriore cifra. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Alcune osservazioni sulle basi La rappresentazione dei numeri in una data base piuttosto che in un’altra ne cambia la scrittura (ad es. 1510 = 11112 = F16), ma non il significato semantico. Pertanto anche le operazioni matematiche danno lo stesso risultato e godono delle stesse proprietà in ogni base. Si osservi che in una generica base n, i simboli utilizzati ricadono convenzionalmente nell’intervallo [0..n-1]. Ad esempio, i simboli usati come cifre in base 10 sono [0..9] Ne consegue che ad es. il numero 1041 non possa esistere in alcuna base n≤4. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Alcune osservazioni sulle basi Data una base n e un numero composto da m cifre, quante differenti combinazioni si possono ottenere? nm Questo perché ogni cifra rappresenta una casella che è possibile valorizzare con un simbolo scelto tra gli n simboli della base n. Con 2 caselle, si hanno n x n combinazioni di simboli, e via dicendo… Esempio: con 2 cifre in base 10, si ottengono 102 diverse combinazioni: [00..99] Esempio: con 4 cifre in base 2, si ottengono 24 diverse combinazioni: [0000..1111] Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Conversione da base n a base 10 Per una numerazione in base n, con n numero naturale > 1, la base supporta n cifre distinte. Sia A un numero rappresentato come una sequenza di k+1 cifre ak…a0. Esso si può esprimere in base 10 secondo la formula ove b è la rappresentazione in base 10 di n. Ad esempio, se n = 2 il numero a = 1012 = 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20 = 4 + 1 = 510 Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Conversione da base 10 a base n (num. interi) Metodo delle divisioni successive: consiste nel prendere il numero da convertire e dividerlo per la base considerata; prenderne il quoziente e dividerlo ancora per la base, e così via, fino a che non si ottiene come risultato un quoziente zero. In questa sequenza di divisioni occorre ricordare i resti che man mano si ottengono, perché sono questi che, letti in senso inverso dall'ultimo al primo, costituiscono proprio la conversione cercata. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Algoritmo Sia a il numero da convertire. Si divide a per la nuova base n; sia q il quoziente ed r il resto. Si converte r nella corrispondente cifra della nuova base n. Si aggiunge la cifra così ottenuta a sinistra delle cifre ottenute in precedenza. Se q = 0, fine; altrimenti poni a = q e torna al passo 1. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Esempio: da base 10 a base 2 a = 3510 = 1000112 a = 3210 = 1000002 17 1 8 4 a = 3210 2 16 8 4 1 a = 3510 = 1000112 a = 3210 = 1000002 Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Esempio: da base 10 a base 5 e viceversa 6 2 1 a = 3210 = 1125 a = 1125 = 1 • 52 + 1 • 51 + 2 • 50 = 25 + 5 + 2 = 3210 Osservazione: questo tipo di verifica può sempre essere fatto per controllare la correttezza del risultato Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Come fare esercizio di conversione tra basi Tramite i metodi illustrati, è possibile convertire i numeri da base 10 a una qualsiasi base n (metodo delle divisioni successive) e da una qualsiasi base n a base 10 (somma di prodotti). Ad esempio, la Calcolatrice di Windows in modalità scientifica (Visualizza > Scientifica) presenta una scelta di rappresentazione dei numeri che contempla le basi Bin (2), Oct (8), Dec (10) e Hex (16). Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Conversione tra basi generiche E’ sempre possibile convertire un numero da una base m a una base n con m ed n generici. Un metodo consiste nell’utilizzare la base 10 come passaggio intermedio. Il numero x viene prima convertito da base m a base 10, per poi essere nuovamente convertito da base 10 a base n. In alcuni casi si può procedere a una conversione diretta. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione

Conversione diretta tra basi Se le basi di origine m e di destinazione n sono l’una potenza dell’altra, è applicabile un metodo di conversione diretta. Questa può essere svolta per sostituzione di gruppi di cifre invece che con algoritmi di divisione. Se n = mk, allora k cifre del numero nella base originaria m vengono sostituite con singole cifre nella nuova base n. E’ il caso di m = 2 ed n = 16, ad esempio. Viceversa, se m = nk, allora ogni singola cifra del numero nella base originaria m viene espansa in k cifre nella nuova base n. E’ il caso di m = 9 ed n = 3, ad esempio. Programmazione MIDI (Prof. Luca A. Ludovico) 1. Sistemi di numerazione