Laureando: Enrico Sperindio Relatore: Prof. GIORGIO ROMANIN JACUR Università degli studi di Padova 2008-2009 Tesi di laurea di primo livello Ausilio didattico in Excel-Visual Basic per il ricavo dei cammini di costo minimo con l'algoritmo di Ford-Moore-Bellman Laureando: Enrico Sperindio Relatore: Prof. GIORGIO ROMANIN JACUR

Grafi Rappresentazione semplice e astratta della realtà in molti contesti applicativi Coppia di insiemi (N,A) dove N é detto insieme dei nodi e A é detto insieme degli archi. Se le gli archi sono orientati, il grafo è detto orientato, se non sono ordinate é detto non orientato. Una sequenza di archi (l0, l1), (l1, l2), …, (lk-1, lk) tali che ciascun arco sia adiacente a quello successivo, si definisce cammino che unisce i nodi l0 ed lk. Se il nodo iniziale della sequenza coincide con l’ultimo nodo della sequenza, il cammino si dice ciclo. Slide facoltativa

Il problema dei cammini minimi su grafi Tipici problemi di interesse Trovare il cammino minimo tra un nodo s detto sorgente ed un nodo t detto destinazione Per un assegnato nodo s , trovare il percorso più breve da s a tutti gli altri nodi Trovare il cammino più breve tra tutte le coppie di nodi Applicazioni Pianificazione urbana del traffico Rotta ottima per i trasporti su strada in presenza anche di congestioni Protocolli di routing (OSPF, BGP, RIP) Pipelining nei circuiti elettronici a larga scala di integrazione Navigazione dei robot Schedulazione degli operatori per il telemarketing Gestione delle subroutine negli algoritmi di alto livello Smistamento messaggi nelle telecomunicazioni

Una possibile soluzione Una soluzione ammissibile al problema dei cammini minimi consiste nel determinare n-1 cammini, uno per ogni coppia di nodi, ognuno dei quali ha origine nel nodo r e giunge ad uno dei rimanenti nodi del grafo. Sotto opportune ipotesi una soluzione ammissibile è una arborescenza di radice r, e la soluzione cercata è una arborescenza di radice r di costo minimo.

Teorema di Bellman Una soluzione ammissibile T è ottima se e solo se valgono le seguenti condizioni per ogni arco (u,v): l(v) = l(u) + c(u,v) se (u,v) appartiene a T l(v) ≤ l(u) + c(u,v) se (u,v) non appartiene a T Principio di ottimalità: l*(v) = MIN { l*(u) + c(u,v) } 9 v 7 Ciò permette di definire algoritmi basati sulla sostituzione degli archi che violano tale principio s 2 u 5

L’algoritmo di Ford-Bellman-Moore R. Bellman, On a routing problem, 1958. L. R. Ford, Jr. Network flow theory, 1956. E. F. Moore, The shortest path through a maze, 1959. Q := {0} l[v] := ∞ p[v] := 0 l[s] := 0 p[s] := s EnQueue (s,Q) while do u := DeQueue (Q) for each edge (u,v) do if l[v] > l[u] + c(u,v) then l[v] := l[u] + c(u,v) l[v] := u if v not in Q then EnQueue (v,Q) endif endfor endwhile Per ogni nodo si ha un predecessore p(u) e la miglior distanza attualmente trovata l(u) Si appoggia ad una struttura Q che contiene tutti i nodi i cui archi uscenti potrebbero violare le condizioni di Bellman Si estrae un nodo u da Q e si controlla se le condizioni di ottimalità valgono per ciascun arco della sua stella uscente. Per ogni arco (u,v) che non soddisfa le condizioni, si pone p[v]=u e l’etichetta di v viene aggiornata. Non si effettua però l’aggiornamento delle etichette in tutti i nodi del sottoalbero di radice v, ma si inserisce v in Q pseudocodice., funzionamento

La versione di Pape Insieme Q implementato come deque L’inserimento di in avviene secondo questa regola di natura euristica: se è la prima volta che viene inserito, esso deve essere posto in coda alla lista; se invece era già stato inserito in precedenza, allora si pone all’inizio della lista stessa. Idea di sfruttare subito il miglioramento dell’etichetta Prestazioni migliori solo su grafi sparsi [inizializzazione] EnQueue (s,Q) while do u := DeQueue(Q) for each edge (u,v) do if l[v] > l[u] + c(u,v) then if v not in Q then if D[v] = ∞ then EnQueueB(v; Q) else EnQueueF(v; Q) endif l[v] := l[u] + c(u,v) p[v] := u endfor endwhile

L’implementazione in Excel

L’implementazione in Excel Algoritmo Strutture dati n  numero nodi e  numero archi s  nodo sorgente Edges  vettore archi dist  lista delle lunghezze del miglior cammino da s a v correntemente trovato pred  lista dei predecessori inList  flag che indica se un nodo è attualmente nella lista nEstr  vettore che indica per ogni nodo quante volte è stato estratto Q  lista dei nodi da esaminare

Esempio

Esempio Q = {s} Si esaminano gli archi uscenti da s Si aggiornano le etichette di a e c Q = {a,c}

Esempio Q = {a,c} Si esaminano gli archi uscenti da a Si aggiornano le etichette di b e d Q = {c,b,d}

Esempio Q = {c,b,d} Si esaminano gli archi uscenti da c Non si aggiornano etichette Q = {b,d}

Esempio Q = {b,d} Si esaminano gli archi uscenti da b Si aggiorna l’etichetta di c Inserisco c in testa in quanto già inserito in precedenza Q = {c,d}

Esempio Q = {c,d} Si esaminano gli archi uscenti da c Non si aggiornano etichette Q = {d}

Esempio Q = {d} Si esaminano gli archi uscenti da d Non si aggiornano etichette Q = { }  Termine algoritmo

Esempio Arborescenza di radice s dei cammini minimi

Esempio In caso di ciclo negativo Soluzione infinitamente migliorabile Algoritmo deve terminare Presenza di tale ciclo indicata con un messaggio di errore