Cap. IV Ottica geometrica e sistemi ottici 1. Approssimazioni e postulati 2. Sorgenti e immagini 3. Specchi 4. Il diottro 5. Lenti spesse e sottili 6. Sistemi e strumenti ottici

L’intervallo del visibile LUNGHEZZA D’ONDA l (mm) 1. APPROSSIMAZIONI E POSTULATI OTTICA: scienza della luce (visibile) L’intervallo del visibile LUNGHEZZA D’ONDA l (m) 100 10-5 10-10 10-15 RADIOFREQUENZE RAGGI GAMMA MICROONDE VISIBILE RAGGI X INFRAROSSO UV RADIO TV 105 1010 1015 1020 1025 FREQUENZA n (Hz) I R U V 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 LUNGHEZZA D’ONDA l (mm)

approssimazioni e postulati lVIS = 400 ¸ 700 nm a confronto col mondo macroscopico, si può quindi considerare: l ® 0 questa approssimazione giustifica una serie di postulati: Non si considera l’aspetto ondulatorio: la luce si propaga in linea retta lungo i raggi, diretti come k z x y

l ® 0 2) ogni sorgente puntiforme emette infinite onde piane approssimazioni e postulati 2) ogni sorgente puntiforme emette infinite onde piane S ovvero infiniti raggi in tutte le direzioni

l ® 0 3) ogni sorgente estesa è fatta di infinite sorgenti puntiformi approssimazioni e postulati 3) ogni sorgente estesa è fatta di infinite sorgenti puntiformi Sorgente estesa

l ® 0 approssimazioni e postulati 4) formazione della visione: vediamo perché i raggi formano immagini sulla retina immagine sulla retina: sorgente luminosa S S’ ma anche: S S’ specchio riflessione speculare immagine virtuale

(coniugato) emergente 2. SORGENTI E IMMAGINI definizioni fascio omocentrico (coniugato) emergente fascio omocentrico incidente sistema ottico S S’ oggetto immagine punti coniugati

reale virtuale oggetto immagine centro del centro dei prolungamento definizioni reale virtuale centro del prolungamento dei raggi incidenti centro dei raggi incidenti oggetto centro del prolungamento dei raggi emergenti centro dei raggi emergenti immagine

immagine virtuale oggetto reale immagine reale oggetto reale immagine sorgenti e immagini immagine virtuale S’ S S’ S oggetto reale immagine reale oggetto reale S S’ immagine virtuale oggetto reale specchio

immagine reale oggetto virtuale immagine oggetto virtuale sorgenti e immagini immagine reale S’ S’ oggetto virtuale S’ S oggetto virtuale immagine

si noti la differenza: sistema stigmatico aberrazione definizioni si noti la differenza: punto oggetto punto immagine sistema ottico S S’ sistema stigmatico S sistema ottico punto oggetto immagine sistema astigmatico aberrazione

3. SPECCHI SFERICI specchi sferici concavi

specchio sferico concavo SPECCHI SFERICI specchio sferico concavo superficie sferica C º centro R º raggio O º vertice q P a h º apertura lineare R h asse ottico f’ f s a S C S’ O a’ s’ tutti i raggi uscenti da S passano per S’ ?

specchio sferico concavo - dimostrazione q q f = a - è R f’ S f C a S’ O a a’ Cerchiamo la relazione fra a e a’: dalla legge dei seni a SPC: (specchi concavi) e a CPS’:

specchio sferico concavo - dimostrazione (specchi concavi) dipende da a! P C R O da’ S a P’ P’’ O S C se: ma: f , a << 1 raggi parassiali approssimazione parassiale

specchio sferico convesso q q P R’’ S f O f’ S’ a C s a’’ a (specchi convessi) (specchi convessi) parassiale approssimazione

convenzioni specchi sferici I I raggi provengono sempre da sinistra II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra dello specchio) s < 0 se i raggi convergono (S a destra dello specchio) III s’ > 0 se i raggi convergono (S’ a sinistra dello specchio) s’ < 0 se i raggi divergono (S’ a destra dello specchio) IV R > 0 se: C a sinistra dello specchio (oggetto reale ® immagine reale) R < 0 se: C a destra dello specchio (oggetto reale ® immagine virtuale) S S’ s < 0 e s’ < 0 R<0 S S’ s > 0 e s’ < 0 S S’ s > 0 e s’ > 0 R>0

riassumendo: con le convenzioni introdotte: equazione degli specchi specchi sferici riassumendo: R R’’ S C S’ S O S’ C O a a’ s’ s s’’ a’’ s a con le convenzioni introdotte: equazione degli specchi

esempio 1 specchio sferico concavo R = 20 cm trovare s’ per: a) s = 30 cm b) s = 15 cm c) s = 5 cm

esempio 2 specchio sferico convesso R = 20 cm trovare s’ per: a) s = 30 cm b) s = 15 cm c) s = 5 cm S1 S’1 S3 S’3 R O S2 S2’

distanza focale dello specchio specchi sferici 3.1 Fuoco e distanza focale se, nella: prendiamo si ha: distanza focale dello specchio C R O F

fuoco e distanza focale si noti che, per la reversibilità: C R O F C R O F esempio: concentratori solari esempio: riflettori per fari

fuoco e distanza focale in realtà, per la aberrazione sferica, fuori dalla approssimazione parassiale: C O il fuoco è su un segmento

fuoco e distanza focale L’aberrazione sferica è assente in specchi a profilo parabolico: C O il fuoco è punto

ad esempio, avendo solo il fuoco: 3.2 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini si fa il tracciamento dei raggi (ray tracing) di due dei quattro raggi principali: immagine reale y F O C y’ O C F y y’ ad esempio, avendo solo il fuoco: ingrandimento laterale

costruzioni delle immagini analogamente per gli specchi convessi: P immagine virtuale y y’ F O C ingrandimento laterale

costruzioni delle immagini comunque, in entrambi i casi: P y y y’ F O F C y’ O C s’ s s s’ dalle relazioni sui triangoli simili: concavo/convesso y’ >0 y’ <0

costruzioni delle immagini esempi: lo specchio concavo l’immagine è: applicazioni s > R reale rimpicciolita, rovesciata obiettivo telescopio C F C F reale ingrandita, rovesciata obiettivo proiettore f < s < R C F virtuale ingrandita specchio per radersi, truccarsi s < f

costruzioni delle immagini esempi: lo specchio concavo F oggetto reale specchio concavo

costruzioni delle immagini Si noti: le immagini reali possono essere viste direttamente dall’occhio C F C F oppure visualizzate (“proiettate”) su uno schermo C F

costruzioni delle immagini le immagini virtuali possono essere viste solo dall’occhio C F o da uno strumento ottico (macchina fotografica, cannocchiale, ecc.)

costruzioni delle immagini esempi: lo specchio convesso applicazioni C F virtuale rimpicciolita specchietti retrovisori l’immagine è: s > 0 virtuale rimpicciolita specchietti retrovisori C F s > 0 reale ingrandita oculare cannocchiale C F s < 0

Riepilogo: le espressioni da ricordare leggi della riflessione, convenzioni sui segni, approssimazione parassiale equazione degli specchi ingrandimento tracciamento delle immagini aberrazione sferica, astigmatismo

Esercizio numerico 4.1 Uno specchio sferico concavo R = 80 cm, un volto umano a 20 cm dal vertice. Calcolare: a) il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.

Esercizio numerico 4.2 Uno specchio retrovisore sferico convesso R = 40 cm, un’auto a 10 m. Calcolare: a) il rapporto di ingrandimento m; b) la posizione apparente dell’immagine.

Esercizio numerico 4.3 Uno specchio in un parco dei divertimenti mostra l’immagine dritta di una persona che gli sta di fronte a distanza di 1.3 m. Se l’immagine è alta tre volte la statura della persona, qual è il raggio di curvatura dello specchio?

Esercizio numerico 4.4 Volendo fotografarsi mentre ci si guarda in uno specchio piano a 1.5 m di distanza, per quale distanza occorre mettere a fuoco?

Esercizio numerico 4.5) Ipotizzando gli specchi ustori di Archimede con un raggio R = 200 m e un’apertura lineare di 2h = 10 m, si calcoli l’intensità della radiazione solare riflessa nell’immagine del sole prodotta dallo specchio stesso. Si assuma che l’intensità della radiazione solare al suolo sia circa pari a Is @ 1000 W/m2 (costante solare), per il raggio solare Rs @ 0.696 × 106 km, e per la distanza Terra-Sole d = 149.6 × 106 km

n1 n2 4. RIFRAZIONE DA SUPERFICIE SFERICA: IL DIOTTRO asse ottico S O S’ C superficie sferica I I raggi provengono sempre da sinistra II s > 0 se i raggi divergono (S a sinistra del diottro) s < 0 se i raggi convergono (S a destra del diottro) III s’ > 0 se S’ a destra del vertice O s’ < 0 se S’ a sinistra del vertice O IV R > 0 se la superficie è convessa rispetto ai raggi incidenti R < 0 se la superficie è concava rispetto ai raggi incidenti convenzioni che vanno modificate rispetto agli specchi (in colore)

n1 n2 e il diottro - dimostrazione Cerchiamo la relazione fra a e a’: qi P l’ l R qr S f O a S’ C s s’ a a’ dalla legge dei seni a SPC e S’PC : e utilizzando la legge di Snell:

n1 n2 il diottro - dimostrazione qi l’ l qr se a << 1 : e P l’ l R qr S f O a S’ D C s s’ a a’ se a << 1 : e da Pitagora:

n1 n2 danno: equazione del diottro (R > 0) qi l’ l qr punto il diottro n1 n2 qi P l’ l R qr S f O a S’ D C s s’ a a’ punto tenendo conto che: che, inserite nella: danno: equazione del diottro (R > 0)

n1 n2 anche nel diottro concavo: ancora: equazione del diottro il diottro anche nel diottro concavo: n1 P n2 R S a O S’ C a’ a s s’ ancora: equazione del diottro (R < 0)

n2 n1 in conclusione: n1 n2 si consideri il caso: con fuoco primario il diottro si consideri il caso: F n1 n2 fuoco primario con in conclusione: F’ n1 n2 con fuoco secondario

4.1 Oggetti estesi e costruzioni delle immagini Tracciamento dei raggi con due dei tre raggi principali: superficie convessa n1 P n2 O F’ F C s s’ immagine reale da cui si ricava:

n1 n2 da cui si ricava: superficie concava il diottro superficie concava Tracciamento dei raggi con due raggi principali: n1 P n2 O F F’ C s’ s immagine virtuale da cui si ricava:

4.2 Un diottro particolarmente semplice: il piano si consideri il caso: s S s’ P n1 n2 f S’ n1 < n2 Þ s < s’ S s s’ P n1 n2 S’ n1 > n2 Þ s > s’

Riepilogo: le espressioni del diottro leggi della rifrazione, convenzioni sui segni, approssimazione parassiale equazione del diottro ingrandimento

la moneta “avvicinata” esempio 1 Il diottro piano acqua n = 1.33 Dh la moneta “avvicinata” la matita “spezzata” acqua n = 1.33

esempio 1 Il diottro piano

Esercizio numerico 4.6 Una moneta giace sul fondo di una vasca piena di acqua profonda h = 1 m. A che profondità sembra essere se guardata dall’alto.

Esercizio numerico 4.7 Un diottro è costituito da una superficie sferica convessa con R = 12 cm, fatta con vetro flint con indice di rifrazione n = 1.58, in aria. Un oggetto è posto sull’asse ottico a distanza s dal vertice. Calcolare s’ , m e il carattere dell’immagine per s uguale a : a) 90 cm; b) 32 cm; c) 20.7 cm; d) 15 cm.

Esempio numerico 4.8 Uno piccolo pesce rosso si trova in una boccia sferica piena di acqua di raggio R = 12 cm. Trascurando le dimensioni del pesce e l’effetto della sottile parete di vetro della boccia, calcolare di quanto ingrandita ci apparirà la sua immagine: a) quando si trova a 7 cm dal vetro anteriore; b) al centro della boccia; c) a 7 cm dal vetro posteriore dal vertice.

rifrazione e formazione dell’immagine da diottri successivi 5. LE LENTI rifrazione e formazione dell’immagine da diottri successivi n2 n1 n3 n1 S2’= S3 S1 S1’= S2 S3’ D1 D2 D3

combinazioni di più diottri: le lenti semplici composte (esempio)

tipi di lenti le lenti pianoconvesse biconvesse biconcave menisco (concavaconvessa) menisco (convessaconcava) pianoconcave

la teoria n1 n2 n1 definiamo: t per il primo diottro (aria/materiale): le lenti la teoria t º spessore della lente n1 n2 S’1 = S2 S’2 S1 V1 V2 n1 -s’1 -s’1 s1 s2 s’2 definiamo: t per il primo diottro (aria/materiale):

le lenti - dimostrazione S’1 = S2 S’2 S1 V1 V2 n1 -s’1 s1 -s’1 s2 s’2 t per il secondo diottro con:

possiamo sommare le due equazioni: le lenti se la lente è sottile: F F’ O s s’ S S’ quindi: possiamo sommare le due equazioni: ottenendo: equazione del costruttore di lenti

f = f’: punti focali equidistanti da O lenti sottili equazione del costruttore di lenti ponendo rispettivamente: s, s’¨‡ troviamo che: F F’ f = f’: punti focali equidistanti da O F’ F

Si può quindi scrivere: lenti sottili Si può quindi scrivere: equazione delle lenti lente positiva/negativa < > potenza diottrica lente negativa F lente positiva F F’

ingrandimento laterale: lenti sottili < > equazione delle lenti potenza diottrica per il tracciamento: F y y’ lente negativa S’ S F F’ O s s’ S S’ lente positiva ingrandimento laterale:

ingrandimento laterale: lenti sottili S F O potenza diottrica F S’ ingrandimento laterale: s s’ piani focali

attenzione al segno di R! pianoconvesse biconvesse f > 0 convergenti (positive) concaveconvesse (menisco) concaveconvessa (menisco) pianoconcave biconcave f < 0 divergenti (negative)

lente positiva o convergente lenti sottili per il tracciamento si usano due dei tre raggi principali: F O S’ S F s s’ lente positiva o convergente

lente negativa o divergente lenti sottili per il tracciamento si usano due dei tre raggi principali: y’ y S F S’ F s s’ lente negativa o divergente

costruzioni delle immagini lenti sottili convergenti (positive) I) S oggetto reale, immagine reale y F y’ F S’ obiettivo di macchina fotografica | m| << 1 F y pellicola obiettivo di proiettore | m| >> 1 F y

costruzioni delle immagini lenti sottili convergenti (positive) le immagini reali possono essere viste direttamente dall’occhio S y F F S’ F S y oppure visualizzate (“proiettate”) su uno schermo

costruzioni delle immagini lenti sottili convergenti (positive) II) oggetto reale, immagine virtuale y’ y F F lente di ingrandimento, oculari microscopio, telescopio F y y’ oggetto virtuale, immagine reale III)

costruzioni delle immagini lenti sottili divergenti (negative) I) oggetto reale, immagine virtuale y F F y’ oggetto virtuale, immagine reale F y y’ II) oggetto virtuale, immagine virtuale F y y’ oculare cannocchiale III)

Aberrazioni delle lenti si noti che: fuori dall’appross. parassiale si ha l’aberrazione sferica: il fuoco è su un segmento

Aberrazioni delle lenti si noti che: anche nella approssimazione parassiale la dispersione provoca la: F’ F aberrazione cromatica

aberrazione cromatica lenti sottili aberrazione cromatica F F’ parzialmente correggibile con lenti composte

Riepilogo: le lenti sottili equazione del costruttore di lenti equazione delle lenti ingrandimento laterale

Esercizio numerico 4.9 La ricetta di una lente correttiva prescrive +1.50 diottrie. Il fabbricante mola la lente da un pezzo di vetro con n = 1.56 e la superficie frontale convessa preformata avente raggio di curvatura R1 = 20 cm. Quale deve essere il raggio di curvatura dell’altra superficie?

immagine virtuale, dritta e rimpicciolita R3) Sia data una lente sottile biconcava di vetro crown (indice di rifrazione n1 = 1.57) in aria con i raggi di curvatura delle superfici pari a R1 = 8 cm e R2 = 10 cm. Si traccino i raggi e si calcoli caratteristiche, posizione e ingrandimento dell’immagine della freccia oggetto posta a una distanza d = 12 cm dalla lente. R2 R1 F immagine virtuale, dritta e rimpicciolita

Esercizio numerico 4.10 Una diapositiva di formato 24 mm ´ 36 mm deve essere proiettata su uno schermo di 1.20 m per 1.80 m posto ad una distanza di 5.00 m dal proiettore. Determinare: (a) che tipo di lente (singola) occorre usare e con quale lunghezza focale per coprire esattamente lo schermo con l’immagine; ( b) quale sarà la distanza lente-diapositiva; (c) se il proiettore produce un il flusso luminoso di 1000 lumen, che illuminamento (o illuminanza) si avrà sullo schermo?

6. SISTEMI E STRUMENTI OTTICI 6.1 L’occhio umano Umor vitreo Umor acqueo oggetto esteso Disegno schematico dell’occhio umano F F’ S S’ oggetto reale, immagine reale y y’ Funzionamento: lente convergente caso I)

teoria del tri-stimolo per la percezione del colore L’occhio umano: sensori e sensibilità Curve di sensibilità 120.000.000 di bastoncelli (visione notturna acromatica) 7.000.000 di coni (visione diurna cromatica) Umor vitreo 3 tipi di coni teoria del tri-stimolo per la percezione del colore

il processo di accomodamento: l’occhio umano il processo di accomodamento: oggetto all’infinito oggetto a distanza finita

i più comuni difetti della visione: l’occhio umano i più comuni difetti della visione: il bulbo oculare è “allungato” il potere di accomodamento è limitato

grandezza angolare (apparente) l’occhio umano nel processo di visione distinta naturale: y f0 y’ d grandezza angolare (apparente) 15 cm £ d £ ¥ definiamo: ma la visione è più distinta per d = d0 @ 25 cm

definiamo ingrandimento angolare: 6.2a Il microscopio semplice (lente di ingrandimento) f’ d’ y’ y F si confronti con la situazione di visione distinta naturale: y f0 d0 definiamo ingrandimento angolare:

- mob Moc 6.2b Il microscopio composto oculare obiettivo y0’ f’ d’ y F1’ F2 O F1 y’=y0 F2’ obiettivo - mob Moc tipic. mob » 50 ¸ 200, Moc » 5 ¸ 10 M » 200´ ¸ 2000´

MGalileo = 33 6.3 Il telescopio a rifrazione telescopio galileiano (cannocchiale) 1609 oculare F1’º F2 f’ in realtà all’infinito obiettivo MGalileo = 33

telescopio a rifrazione telescopio astronomico (kepleriano) 1611 oculare F1’ F2 obiettivo

aberrazione cromatica 6.4 Il telescopio a riflessione telescopio newtoniano 1672 F1 oculare specchio piano non c’è aberrazione cromatica MNewton @ 40 obiettivo (specchio concavo)

quindi l’intensità sulla pellicola: 6.5 La macchina fotografica @ f quindi l’intensità sulla pellicola: Is D obiettivo pellicola sostituendo nella: e “f - number” Ip è inversamente proporzionale a:

Riepilogo: le espressioni degli strumenti ottici ingrandimento angolare lente semplice ingrandimento microscopio M = - mob Moc ingrandimento telescopio

Le 10 leggi dell’ottica geometrica legge di Snell angolo di Brewster incidenza normale equazione degli specchi equazione del diottro equazione della lente ingrandimento laterale della lente ingrandimento angolare della lente ingrandimento microscopio M = - mob Moc ingrandimento telescopio

Esercizio numerico 4.11 Una candela accesa è posta a 30 cm davanti a una lente convergente con lunghezza focale f1=15 cm, che è a sua volta davanti a un’altra lente avente f2=10 cm e distante 50 cm. a) Tracciare il diagramma dei raggi; b) calcolare la posizione e le dimensioni dell’immagine finale.

Esercizio numerico 4.12 Un fisico che si è perso in montagna cerca di costruire un telescopio usando le lenti dei suoi occhiali da lettura. Esse hanno potenza diottrica di +2.0 e +4.5. a) Qual è il massimo ingrandimento che può ottenere con il suo telescopio? b) Quale lente dovrebbe usare come oculare?

Esercizio numerico Un oggetto è posto a distanza s = 6 cm a sinistra di una lente sottile convergente di focale f1 = 12 cm. Una lente sottile divergente di focale f2 = -24 cm è a distanza d = 9 cm dalla prima lente. Trovare con il calcolo e con il tracciamento dei raggi la posizione e la natura dell’immagine prodotta dal sistema delle due lenti.