matematicamente indimostrabile Claudio Bernardi Sapienza - Dipartimento di Matematica che cosa fa un matematico? calcoli, per esempio, 95247  3518, (a+b)9 a mano sono complicati, ma “so farli” esecuzione meccanica, senza sorprese (e se poi ho una calcolatrice ...) molto più interessante: problemi numeri primi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

“calcola il valore di …”, “dimostra che …” quanti sono i numeri primi? Euclide: «esistono infiniti numeri primi» con un controllo diretto, non posso né verificare, né confutare 2  3  5  7  11  13 + 1 = 30 031 30 031 non è divisibile per 2, 3, 5, 7, 11, 13 ha un “nuovo” fattore primo: 30 031 = 59 × 509 calcoli e problemi situazioni analoghe per uno studente: “calcola il valore di …”, “dimostra che …”

come si dimostrano le proprietà nell’insieme N dei numeri naturali 0, 1, 2, … (con le consuete operazioni)? riportiamo la proprietà che stiamo esaminando a fatti noti teoria assiomatica accettiamo proprietà di base, assiomi o postulati e, a partire dagli assiomi, dimostriamo i teoremi fra le teorie assiomatiche per i numeri naturali, la più nota è l'aritmetica di Peano (PA)

se è vera, riuscirò a dimostrarla? x (0 ≠ x’) x y [x ≠ y  x’ ≠ y’] x (x + 0 = x) x y [x + y’ = (x + y)’] x (x0 = 0) x y (xy’ = xy + x) H(0)  x (H(x)  H(x’))  x H(x) gli assiomi, e di conseguenza anche i teoremi, esprimono fatti veri in N domanda cruciale: gli assiomi permettono di dimostrare tutto quello che è vero? congettura di Goldbach: ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi (4 = 2+2 12 = 5+7 22 = 3+19) se è vera, riuscirò a dimostrarla?

primo Teorema di Gödel (1931) Esiste almeno una formula G tale la mia teoria (es.: PA) non dimostra G, ma nemmeno ¬G. formula G indecidibile - teoria incompleta due possibilità: - la formula G è vera in N e ¬G è falsa - la formula G è falsa in N e ¬G è vera in ogni caso, esiste una formula che è vera in N ma non è un teorema la teoria non dimostra tutto quello che vorrei; forse, la congettura di Goldbach è vera ma non dimostrabile

G è una formula che, in un certo senso, dice il primo teorema di Gödel si dimostra costruendo una formula G tale che G  ¬ Theor (G) G è una formula che, in un certo senso, dice «non esiste una dimostrazione di G» attenzione: il I teorema di Gödel vale solo se la teoria è coerente (o non contraddittoria) se dagli assiomi della teoria si potesse dedurre una contraddizione, allora ogni formula sarebbe un teorema gli assiomi di PA sono contraddittori??

secondo Teorema di Gödel la teoria è non contraddittoria se non c’è una dimostrazione di 2+2 = 5 ¬Theor (2+2 = 5) questa formula esprime la coerenza (non contraddittorietà) della teoria secondo Teorema di Gödel nella teoria (in PA) la formula ¬ Theor (2+2 = 5) non si può dimostrare diamo “un’occhiata” a parte della dimostrazione |–  Theor (G)  Theor (Theor (G)) |–  Theor (G)  Theor (¬ G) per le proprietà di G |–  Theor (G)  Theor (¬ G)  Theor (G) |–  Theor (G)  Theor (2+2 = 5) perché ¬ G  G equivale a 2+2 = 5 |–  ¬ Theor (2+2 = 5)  ¬ Theor (G) contronominale |–  ¬ Theor (2+2 = 5)  G per le proprietà di G

una conseguenza importante non c’è (non ci può essere) un procedimento generale di decisione per i problemi matematici (differenza fra calcoli e problemi) nessuno potrà mai realizzare un software che risponda a ogni domanda del tipo «è vera la congettura di Goldbach?»

ci sono dimostrazioni, che non si possono tradurre nella teoria stessa abbiamo una “ragionevole fiducia” che la teoria PA sia non contraddittoria ci sono dimostrazioni, che non si possono tradurre nella teoria stessa dopo i Teoremi di Gödel, morte della logica? perdita della certezza matematica? NO, anzi