Mandelbrot e la geometria della natura: i frattali di Franco Federici Teoria e tecniche del problem solving 12/04/2006

Benoît Mandelbrot Factotum della matematica Interesse verso la scienza economica: studio sulla distribuzione di redditi grandi e piccoli in un’economia I prezzi del cotone: la visione tradizionale degli economisti e le immagini mentali con fenomeni casuali e stocastici Il computer e i dati

Benoît Mandelbrot Economisti tradizionali: piccole variazioni transitorie insignificanti (rumore) e forze macroeconomiche profonde Mandelbrot: nessuna dicotomia, ma un unico quadro unitario, strutture che passano da una scala all’altra Variazioni di prezzo casuali e imprevedibili Invarianza di scala

Benoît Mandelbrot: la vita Ai margini della scienza ortodossa Nella storia del caos trovò la propria via Immagine della realtà tradotta in una geometria perfettamente sviluppata La vita di Parigi: l’École Normale Supérieure e l’École Polytechnique Problema analitico:manipolazione di forme

Gli studi in USA T.J.Watson Research Center IBM La linguistica matematica La teoria dei giochi Studi economici: i prezzi delle merci Il rumore delle linee telefoniche: casuale ma con gruppi di errori Distribuzione complessa

Il rumore delle linee telefoniche Rapporto geometrico coerente e proporzione costante tra le raffiche di errori e gli spazi di trasmissione pulita La polvere di Cantor Descrizione astratta ma importante per il controllo degli errori Utilizzare un segnale modesto con ridondanza anziché aumentarne l’intensità

La nuova geometria Le piene e le secche dei fiumi Effetto Noè ed effetto Giuseppe Noè=discontinuità, Giuseppe=persistenza Irregolarità, errori, polvere di Cantor: come spiegare la complessità (≠ Euclide) La geometria del contorto, dell’intrecciato Le imperfezioni: le chiavi dell’essenza di una cosa

La linea di costa “How long is the Coast of Britain?” La linea di costa: infinitamente lunga ma dipendente dalla lunghezza del righello Il pedone e il satellite Le misurazioni dovrebbero convergere… …ma ↓ scala della misurazione  ↑ senza limite la lunghezza di costa

La dimensione Le misure euclidee non colgono l’essenza delle forme irregolari L’idea della dimensione Prospettive macro e microscopiche La vaghezza sull’interposto La dimensione frazionaria L’irregolarità: costante a scale diverse

I frattali 1975 Fractus, frangere, rompere Frattura, frazione: la nascita dei frattali Un modo per vedere l’infinito Triangolo  curva di Kock (fiocco di neve) Curva continua che non interseca mai se stessa e con lunghezza infinita Paradosso: lunghezza infinita in spazio finito

L’autosomiglianza Caratterizzazione e descrizione precisa della dimensione frattale Risorse di calcolo e intuizioni Strutture irregolari in processi naturali e forme infinitamente complesse: la qualità dell’autosomiglianza Frattale significa simile a sé

L’autosomiglianza Omotetia interna: la simmetria da una scala a un’altra Ricorsione: una struttura all’interno di un’altra Particolari di scale sempre più piccole e con certe misurazioni costanti Forme simili a se stesse a qualsiasi ingrandimento

L’utilità dei frattali Lo studio sui terremoti Christopher Scholz: riflessione sui frattali Il problema dei terremoti La distribuzione segue un modello di invarianza di scala Perché questa regolarità?

Le superfici Scholz: interesse nelle superfici Geometria frattale: un aiuto per gli scienziati che studiavano i modi in cui le cose che si fondono insieme, ecc. I geofisici: descrizione della superficie della Terra (faglie, fratture, …)

Faglie e fratture La chiave di qualsiasi buona descrizione Il flusso dei fluidi nel suolo Il comportamento dei terremoti Comprendere la superficie è fondamentale Nessun sistema di riferimento

La Terra Le superfici sono forme La superficie della Terra La scala Scholz: geometria frattale come modo per descrivere l’irregolarità della superficie terrestre

Le applicazioni frattali Problemi connessi alle proprietà di superfici in contatto fra loro Le superfici in contatto tra loro non si toccano dappertutto (irregolarità) Effetto Humpty-Dumpty Scala macro e microscopica

Gli aficionados Scholz: uno dei pochi che adottò i frattali Piccolo pubblico di adepti dei frattali o pubblico più vasto di geofisici <<E’ un singolo modello che ci permette di far fronte alla varietà di dimensioni mutevoli della Terra>>

Grandezza e durata Quanto è grande? Quanto tempo dura? Lo studio degli animali e degli umani: dipendenza dalla scala Fisica dei terremoti, nubi, uragani: indipendenza dalla scala La ricerca della scala come distrazione Le categorie traggono in inganno

Adimensionalità I vasi sanguigni: la presenza dei frattali Nessuna cellula dista da un vaso sanguigno più di tre o quattro cellule I polmoni L’approccio degli anatomisti e l’approccio frattale

Il corpo umano frattale Organizzazione frattale Dotto biliare nel fegato, fibre nel cuore, … La rete di His-Purkyne I cardiologi del caos: spettro di frequenza delle pulsazioni analogo a quello dei terremoti

Il corpo umano frattale Sviluppo dell’architettura? Trasformazioni semplici in Kock, Peano e istruzioni codificate nei geni di un organismo DNA: biforcazione e sviluppo

Altre applicazioni Il piumino d’oca sintetico Gli alberi botanici Al di là di un’eccezione

Apprezzamenti Un modo di descrizione, calcolo, riflessione su forme irregolari e frammentate, frastagliate e spezzate Struttura organizzativa dietro la complicazione delle forme Exxon, General Electric, Hollywood Modelli di May e Yorke: regolarità insospettate, descritte da invar. di scala

Mandelbrot e i fisici Furono i fisici a creare la scienza del caos Mandelbrot fornì il linguaggio e un catalogo di immagini della natura

Mandelbrot e i fisici Il programma matematico descriveva meglio di quanto non spiegasse Gli scienziati fecero predizioni… …ma i fisici volevano sapere di più: volevano sapere perché La grande sfida In natura c’erano forme che attendevano di essere rivelate

Attrattori strani frattali David Ruelle e Florins Takens Il fenomeno della turbolenza Un attrattore strano è un sottoinsieme di punti nello spazio delle fasi di natura diversa da quella degli oggetti euclidei Dimensione non intera, ma frattale Attrattore caotico ≠ attrattore strano Topologicamente diversi

Attrattori strani frattali Caotico: si fa riferimento alla dinamica caotica del sistema in cui si origina l’attrattore (sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali e orbite confinate) Strano: ci si riferisce alle proprietà geometriche (frattale) Caoticità e forma geometrica sono due prospettive diverse per definire lo stesso oggetto o sono due cose diverse? Orbite confinate in una regione limitata dello spazio delle fasi Due cose fondamentalmente diverse?

Attrattori strani frattali Perlopiù gli attrattori caotici sono strani e gli attrattori strani sono caotici, idea che è all’origine dell’identificazione comune dei due concetti, ma… …sono stati descritti casi di attrattori strani non caotici e casi di caotici non strani

La turbolenza La linea di demarcazione dei fisici Interesse nell’eliminare la turbolenza considerata spesso come un disastro Grande interesse

La turbolenza E’ un grande disordine a tutte le scale E’ instabilità Grande dissipazione di energia E’ movimento diventato casuale Regolare  turbolento ? Tutte le regole sembrano venir meno Il fumo di sigaretta

La comparsa dei frattali I fluidi e i vortici A ogni scala, in un vortice turbolento si trovano nuove regioni di flusso calmo Omogeneità  intermittenza Aspetto altamente frattale: regioni frammiste di irregolarità e regolarità a scale che vanno dal grande al piccolo

L’inizio della turbolenza Passaggio da regolarità a turbolenza Transizioni di fase Caos: comportamento macroscopico difficile da predire sulla base di particolari microscopici

Studi quantitativi 1973: Harry Swinney e Jerry Gollub Flusso fra cilindri rotanti (di Couette-Taylor) L’esperimento si rivelò inefficace Il flusso diventava caotico

David Ruelle e Floris Takens Ruelle e Takens: On the Nature of Turbolence Un’alternativa alla concezione tradizionale

L’attrattore strano Vive nello spazio delle fasi Una delle invenzioni più efficaci della scienza moderna Punti fissi Cicli limite Sistemi complessi con molte variabili indipendenti  spazio delle fasi di dimensioni infinite

Un punto fisso? Ruelle: strutture visibili nel moto turbolento riflettevano strutture spiegate da leggi ancora sconosciute Dissipazione di energia in un flusso turbolento verso un attrattore… …non un punto fisso Nel sistema entrava e usciva energia

Un ciclo limite? Similarità al pendolo con molla e attrito Ma è veramente così? La turbolenza in un fluido era cosa diversa Turbolenza come rumore bianco Serve un altro tipo di attrattore Stabile, con un n° piccolo di dimensioni, non periodico Un rompicapo

Il precedente Edward Lorenz (1963) Il primo attrattore strano Curve e spirali infinitamente profonde, che non si univano mai e mai si intersecavano Ma all’interno di uno spazio finito <<l’apparente contraddizione>> La millefoglie e le superfici infinite

Gli sviluppi Tentativi teorici e ricerca sperimentale Disegnare immagini di attrattori strani: la tecnica della proiezione e… la mappa di Poincaré Si toglie all’attrattore una dimensione, trasformando una linea continua in una collezione di punti Il processo è un campionamento intermittente dello stato di un sistema

Michel Hénon L’attrattore strano più illuminante e più semplice Meccanica celeste ≠ sistemi terrestri Conservazione e dissipazione Il sistema solare è stabile? Modelli delle orbite delle stelle attorno al centro della loro galassia

Michel Hénon Visualizzazione delle orbite stellari attraverso una particolare mappa: Xn+1=1-αxn2+yn e yn+1=βxn L’emergenza di una distribuzione regolare Orbite non completamente regolari, ma che possono essere predette Orbite periodiche Completo disordine e resti di ordine

Gli attrattori di Hénon La mappa del fornaio Le matrioske Impossibilità di predizione Attrattore strano No path-dependency

La “stranezza” dappertutto …dovunque c’era casualità Nessuno aveva visto realmente un attrattore strano in laboratorio e… …nessuno sapeva come misurarne le proprietà Era solo chiaro che era frattale Proprietà comuni in sistemi non lineari? Ogni sistema lineare era a se stante

L’universo frattale Luciano Pietronero L’universo ha una struttura frattale irregolare, disuniforme, con immani regioni vuote Il frattale di Julia Frattali deterministici… …e stocastici

L’universo frattale Massa dei solidi pieni: V = L3 Frattali solidi includono molti vuoti Massa proporzionale alla “dimensione frattale” Con D=2, d = L2/L3 = 1/L La scoperta della frattalità delle strutture cosmiche

L’universo frattale L’assunto della cosmologia: galassie distribuite in modo uniforme e isotropo, visibili in ugual quantità da qualunque direzione si guardi Fisica statistica: densità delle galassie è autosimile (cosmo frattale) La legge di potenza d = KS-b Distribuzioni prive di scala

L’universo frattale Perché la notte è buia? Perché non è sempre giorno? Varie risposte Risposta “frattale”: la densità decresce con la distanza e quindi non ci arriva luce da vaste zone vuote Ancora misteri…

Bibliografia James Gleick, “Caos”, BUR Biblioteca Universale Rizzoli (2000) Cristoforo S. Bertuglia e Franco Vaio, “Non linearità, caos, complessità. Le dinamiche dei sistemi naturali e sociali”, Bollati Boringhieri (2003) Luciano Pietronero, “La scoperta dei frattali cosmici”, http://www.auruncatellus.it/terzapaginavaccafrattali.htm