La Geometria La filosofia [o scienza della natura] è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto davanti agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intendere la lingua e conoscer li caratteri ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi non è possibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto (G. Galilei)

Valenza educativa della Geometria Prima di tutto il carattere educativo della Geometria è connesso alla sua stessa natura di scienza che rende razionale e oggettivo il porsi dell’individuo nello spazio fisico. Infatti, una descrizione geometrica della realtà implica la necessità di passare da un’osservazione centrata sul soggetto a una che tenga conto della pluralità di punti di vista e che, dunque, richiede anche forme espressive atte alla comunicazione intersoggettiva. Un’interpretazione soggettiva non è errata in sé, ma porta a considerare lo spazio anisotropo, cioè dotato di direzioni privilegiate, per cui la sua validità è strettamente condizionata alla presenza del soggetto che la formula. Nel linguaggio quotidiano, per esempio, usiamo frequentemente termini che rimandano all’assunzione di un solo punto di vista (come alto/basso, davanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra). Tali informazioni sono informative e significative nella misura in cui sono rivolte ad altri osservatori che si trovano nelle medesime condizioni del soggetto che le esprime. Educazione all’osservazione e alla descrizione obiettiva della realtà.

Valenza educativa della Geometria La Geometria è il contesto nel quale il ragionamento e i processi deduttivi possono essere praticati senza richiedere un simbolismo fortemente convenzionale. Rispetto all’Aritmetica e all’Algebra, nelle quali il linguaggio simbolico può inibire i processi deduttivi, in geometria può essere sufficiente anche il linguaggio naturale per avviare alla necessità del “rendere ragione” (“argomentare e congetturare”) delle proprie affermazioni. Molte attività geometriche, inoltre, sviluppano l’immaginazione e l’intuito, consentendo di educare la fantasia all’estrapolazione e all’astrazione.

Spaziale e geometrico Nel linguaggio naturale abbiamo a disposizione due aggettivi: spaziale e geometrico, che spesso si considerano più o meno sinonimi. Possiamo invece differenziarne un po’ il significato: riserviamo l’attribuzione di geometrico a ciò che in qualche modo è passato attraverso un’elaborazione teorica, mentre spaziale si riferisce anche a fatti più esperienziali. Non opporremo invece “spaziale” a “piano”. Quando la situazione lo richieda, lo spazio ambiente potrà avere due dimensioni.

Parlare di spazio L’abitudine di studiare geometria ci fa spesso dimenticare che vi sono altri modi di interagire con lo spazio: modi pre-linguistici, attribuibili allo stadio sensomotorio dello sviluppo: si impara a girare per casa, a raggiungere un oggetto, ecc., ben prima di sapere nominar queste cose. (Orientamenti per la scuola materna 1991) I discorsi sullo spazio sono molto impegnativi: si pensi alla difficoltà che spesso incontriamo nello spiegare a un altro come raggiungere un punto particolare della nostra città. La Geometria “ufficiale” aggira il problema limitandosi a considerare pochi tipi di figure. Tuttavia, si trovano situazioni spaziali troppo complesse per potere essere dominate da qualsiasi linguaggio. Questo non significa che si debba rinunciare a cercare di “verbalizzare” le situazioni spaziali: affinare l’uso del linguaggio corrente è un esercizio molto formativo. Conoscere lo spazio: saper vedere, sapersi muovere, saperne parlare, saper fare

Dallo spazio fisiologico allo spazio geometrico Possiamo distinguere uno spazio fisiologico, nel quale ci muoviamo e operiamo, e uno spazio geometrico, che studiamo con il nostro pensiero. Esistono però anche dei livelli intermedi: lo spazio rappresentativo, cioè quello delle nostre rappresentazioni mentali, e lo spazio fisico, quello nel quale si svolgono i fenomeni fisici. Questi spazi sono fra loro intimamente connessi. La Geometria non va considerata quindi come una scienza astratta, non legata alle esperienze percettivo-motorie. Il “percorso” dallo spazio fisiologico a quello geometrico (raggiungibile alla scuola secondaria superiore) deve prevedere delle tappe fondamentali che garantiscano ad ogni alunno l’interiorizzazione dei concetti geometrici.

La genesi psicologica dei concetti geometrici Di regola, nell’uomo, sono le sensazioni muscolari, tattili e visive, che, in connessione coi movimenti, concorrono a formare, associandosi, le rappresentazioni spaziali. Spazio visivo Spazio geometrico Limitato Illimitato Non omogeneo Omogeneo (nel senso che tutti i suoi punti sono identici fra loro) Anisotropo Isotropo (nel senso che tutte le rette che passano per uno stesso punto sono identiche fra loro)

Sensazioni visive Formazione dell’immagine sulla retina (immagine bidimensionale) I movimenti dell’occhio (accomodamento per la distinzione) Visione binoculare (visione tridimensionale) La vista porta alla geometria proiettiva. Le lunghezze e le distanze non sono percepite e abbiamo bisogno di associare le sensazioni tattilo-muscolari

Sensazioni tattilo-muscolari Due punti che, in una certa posizione della cute, distino tra loro meno di un certo intervallo (soglia della sensazione) non vengono percepiti come distinti Una lunghezza costante viene percepita inegualmente dalle varie parti della cute La grandezza di un oggetto mobile viene percepita più perfettamente che quella di un oggetto in riposo Senso di sforzo e senso del movimento muscolare; sensazioni di equilibrio e di orientamento Cambiamenti di stato e cambiamenti di posizione Il tatto e le sensazioni muscolari portano alla topologia Tatto speciale: mano e poi oggetti per il confronto e la misura Spazio metrico (distanza)

Le immagini mentali Che cosa sono gli oggetti di cui si occupa la geometria? Ci sono le sensazioni provenienti dal mondo materiale e ci sono le idee della nostra mente, come ad esempio, “quadrato”, “cerchio”, ecc. Ma su queste ultime non si può operare geometricamente perché non hanno forma o dimensione. Ci deve essere un livello intermedio, dell’immaginazione, o “spazio rappresentativo”. Le entità dell’immaginazione si chiamano oggi immagini mentali. Oggi si discute su che cosa esattamente si tratti: possono essere le immagini che si presentano nella nostra mente quando evochiamo un disegno (un oggetto) che abbiamo osservato: per quanto interessa la geometria, di queste immagini dovremmo tenere conto solo della forma, escludendo, per esempio, il colore. Inoltre se lo vogliamo, siamo in grado di semplificare l’immagine, nel senso che un disco (oggetto concreto che non può essere del tutto regolare) può suscitare l’immagine di un cerchio perfetto (in questo caso, saremmo influenzati dalle nostre conoscenze, anche se molto elementari, di geometria). Si chiameranno figure geometriche (o semplicemente figure) tali immagini mentali.

Le immagini mentali Qualcosa di analogo (anche se a un livello meno semplice) accade nelle situazioni del tipo movimento, deformazione, fotografia, “simmetrie” di un oggetto. Ai nostri scopi, nei primi due casi interessano solo la posizione iniziale e quella finale dell’oggetto che si muove; anche in questo caso, possiamo semplificare l’immagine, per esempio immaginando che in un movimento le distanze siano rigorosamente conservate. Abbiamo così un altro tipo di immagini che rientrano nel tipo trasformazioni. Va attribuita alle “immagini mentali” anche la capacità di orientarsi in situazioni spaziali non chiaramente rappresentabili con l’occhio della mente (ad esempio orientarsi in una città sconosciuta).

Le immagini mentali La caratteristica delle immagini mentali sta nel fatto che a esse non corrisponde in quel dato momento nessun particolare stimolo esterno. Sono un prodotto della mente o una rievocazione della memoria. Le figure geometriche sono idealizzazioni dell’esperienza sensibile e in quanto tali possiamo dare a esse quei caratteri di esattezza che gli oggetti materiali non possono avere: un disco non sarà mai un cerchio perfetto, se non altro perché ha uno spessore: invece, nella nostra immaginazione, possiamo attribuirgli due sole dimensioni, se ci interessano solo queste, e possiamo immaginarlo perfettamente circolare. Un discorso analogo si può fare per le trasformazioni geometriche: un movimento effettivo deforma un pochino gli oggetti, ma noi possiamo idealizzarlo in modo che nella nostra immaginazione le distanze siano conservate.

Dalle immagini mentali ai concetti Questi sono gli individui di cui si occupa la geometria. Ma non possiamo dare un nome proprio a tutti. Diamo lo stesso nome ad un insieme di individui. Questi sono quelli che si chiamano i concetti. Per la geometria alcuni parlano di concetti figurali perché l’immagine astratta è accompagnata da da figure (immagini mentali) che ne sono gli esempi. I concetti si costituiscono nella fase evolutiva, tramite progressiva astrazione, dopo che si è operato con diversi esempi significativi, variando la posizione (ed eventualmente la forma) degli oggetti, senza definizioni formali. Oggetti concreti Immagini mentali Concetti

Dalle sensazioni alle astrazioni La complessità delle sensazioni relative agli oggetti dell’ambiente viene ridotta mediante progressiva astrazione: la fantasia trascura alcune proprietà come il colore e focalizza l’attenzione su altre come la forma, la dimensione, la posizione nell’ambiente; ne spinge altre ancora al limite, per giungere all’elaborazione di immagini mentali e, dopo un’ulteriore operazione di astrazione, dei concetti geometrici. Concetto di punto: La fantasia elaborai dati della percezione, costruendo l’immagine di un oggetto sempre più piccolo, indefinitamente piccolo. Ovviamente questa elaborazione fantastica non è ancora la costruzione del concetto di punto, ma ne è un momento essenziale; la definizione del concetto di punto geometrico giunge a compimento quando si esprimono con mezzi linguistici, e non con immagini, i rapporti logici che il concetto determina e dai quali viene a sua volta determinato. In altre parole, la definizione del concetto di punto può venire considerata completa quando si enunciano delle frasi che riconducono il concetto stesso ad altri già conosciuti, oppure quando si dia un insieme di proposizioni primitive, le quali conducano alla definizione implicita del concetto stesso. (C.F.Manara)

Dalle sensazioni alle astrazioni L’immaginazione è quindi un livello intermedio fra quello delle sensazioni (due triangoli diversi) e quello dei concetti astratti (idea di “triangolo” indipendente dal disegno). Lo spazio rappresentativo comporta la rappresentazione mentale di figure, di situazioni spaziali, e la capacità di riprodurle (per esempio mediante disegni), tendenzialmente anche in assenza dell’oggetto al quale si riferisce. Possiamo dire che il bambino ha raggiunto la fase intuitiva. Alcuni stimoli, però, possono essere così devianti per gli studenti da vincere sul controllo concettuale. Armonizzare i due aspetti (concreto e astratto) evitando l’insorgere di ambiguità. Attraverso strumenti linguistici: presentare il proprio modello e discutere le proprie idee concettuali.

Macrospazio, mesospazio e microspazio Si possono distinguere tre livelli di esperienza spaziale: il microspazio, fino a metà dell’altezza del soggetto (cioè quando si pera su un tavolino) il mesospazio, da metà fino a cinque volte (entro una stanza) il macrospazio, oltre le cinque volte L’esperienza nel mesospazio ha tra gli obiettivi la ricerca di una conoscenza il più possibile integrale, cui concorra cioè ogni parte del corpo, che viene sensibilizzata alla luce, alle direzioni, alle forme e ai colori (N. Lanciano). Il mesospazio ha alcune caratteristiche del microspazio (le possibilità di una visione relativamente globale da un solo punto di vista) pur circondando il soggetto e rendendo quindi possibile una significativa attività di esplorazione con il movimento.

Macrospazio, mesospazio e microspazio Nel lavoro didattico quotidiano viene sottovalutato l’uso del corpo come strumento di conoscenza, in particolare nelle tematiche relative alla costruzione di una propria consapevolezza dello spazio. Da un contatto diretto con con lo spazio grande tridimensionale nascono concetti geometrici fondamentali: - è lo sguardo rettilineo che ci dà la prima esperienza di linea retta - è la fatica di una camminata che ci permette di stimare le distanze - è il guardarsi nello specchio che ci fa scoprire la simmetria del corpo fornendoci un parametro per leggere lo spazio. La percezione è strumento efficace di conoscenza

La geometria 3D La geometria solida non è solo calcolo di volumi, ma è fare esperienza della realtà attraverso il movimento Risultano più “naturali” modelli ed attività che rientrano nella geometria 3D (uso del corpo) Non sottovalutare le difficoltà di astrazione legate ad immaginare un oggetto senza spessore Non sottovalutare le difficoltà di rappresentazione nel piano di un’esperienza con il corpo (grafiche, manipolative, prospettiche)