Presupposti alla lezione Si presuppone che sia noto: L’analisi della varianza a una via L’analisi della varianza a più vie fattoriale Contrasti e confronti multipli tra medie

Argomenti trattati Gli schemi più usati in Agronomia Schema a randomizzazione completa schema a blocchi randomizzati schema a quadrato latino Schemi a split-plot ulteriori trattamenti nello split-plot schemi a strip splot ulteriori trattamenti nello strip-plot Il dimensionamento degli esperimenti criteri per la determinazione del numero di ripetizioni criteri per la determinazione della dimensione delle unità sperimentali Cenni a schemi sperimentali meno frequentemente utilizzati

Schema a randomizzazione completa Consiste: Nell’attribuire mediante sorteggio, un trattamento a a ogni unità sperimentale, non considerando la sua posizione fisica Si usa: in indagini territoriali scegliendo campioni completamente casuali. (non è possibile predisporre uno schema) Talvolta in prove in ambiente controllato o in laboratorio (situazioni in cui i fattori non sperimentali sono controllati al meglio). Non si usa: In prove impostate in campo poiché non offre nessun controllo della variabilità accidentale, che è sempre elevata

Il MODELLO dell’ANOVA a BLOCCHI Yij=  + i + j + ij 1 2 1 ij Il valore di un dato (Yijk) è la somma dell’effetto di uno specifico livello del 1° fattore (i) , dell’effetto del blocco di appartenenza (j ) e di una componente accidentale (ij). E’ esplicitamente esclusa l’interazione tra blocco e trattamento

Schema a randomizzazione completa: esempio 4 trattamenti, 3 ripetizioni 1) tracciare 4 * 3 =12 parcelle 2) attribuire a ogni parcella il proprio trattamento mediante sorteggio 3) esecuzione esperimento e raccolta risultati 4) elaborazione dei dati secondo la tecnica usuale di analisi della varianza a 1 via A1 A2 A4 A3 Qui le unità sperimentali sono rappresentate come adiacenti ma non è affatto necessario che lo siano

Schema a blocchi randomizzati Consiste: nel suddividere l’area sperimentale in blocchi in modo che i blocchi abbiano la massima omogeneità al loro interno e siano il più possibile differenziati tra loro. Disporre casualmente i trattamenti in modo che in ogni blocco sia rappresentato uno e un solo trattamento. Si usa: nella gran parte delle prove di tipo manipolativo (è lo schema più usuale in prove agronomiche). Richiede: esperimenti bilanciati Offre: la possibilità di controllare, almeno in parte, gli effetti dell’eterogeneità del terreno, migliorando la potenza dell’esperimento. Consente di eliminare dall’errore sperimentale la variabilità tra i blocchi. La possibilità di suddividere il lavoro tra più operatori o in più giorni (1 per blocco) ed eliminarne la conseguente variabilità.

Disposizione e forma dei blocchi Dipende dai gradienti di fertilità. In caso di un solo gradiente, predisporre blocchi lunghi e stretti perpendicolari al gradiente stesso. gradiente Blocco 1 Blocco 2 Blocco 3 Blocco 4 In presenza di 2 gradienti perpendicolari, predisporre blocchi in quadrato e di forma quadrata. Lo stesso non conoscendo i gradienti gradiente Blocco 1 Blocco 2 Blocco 3 Blocco 4

Schema a blocchi randomizzati: esempio 4 trattamenti, 3 ripetizioni 1) tracciare 3 blocchi, suddividerli in 4 parcelle 2) attribuire, nell’ambito di ogni blocco, a ogni parcella il proprio trattamento mediante sorteggio (occorrono 3 sorteggi) 3) esecuzione esperimento e raccolta risultati 4) elaborazione dei dati sottraendo devianza e gradi di libertà dei blocchi da quelli dell’errore di una ANOVA a 1 via eseguita trascurando i blocchi. Blocco 1 Blocco 2 Blocco 3 A1 A4 A2 A2 A2 A1 A3 A1 A3 A4 A3 A4

Schema a blocchi randomizzati: calcoli Per il calcolo della devianza trattamenti procedere come in ANOVA ordinaria Per il calcolo della devianza blocchi, procedere usualmente, considerando i blocchi come fossero trattamenti (ovvero sostituire a ogni parcella del blocco il valore medio del blocco e calcolare la devianza di tutti i dati). Blocco 1 Blocco 2 Blocco 3

Schema a blocchi randomizzati: calcoli (segue) Le devianze: I gradi di libertà GL trattamenti = nt - 1 GL blocchi = nb-1 GL errore = (nt-1) x (nb-1) o per sottrazione Le varianze e i rapporti F sono quelli usuali

Schema a blocchi randomizzati: tabella ANOVA e interpretazione Il giudizio sulla significatività dell’effetto dei trattamenti è in base al valore di P(F) . La P(F) relativa ai blocchi indica se l’applicazione dello scema a blocchi è risultata efficace; se P(F) >  i blocchi sono inutili. Viceversa, i blocchi hanno apportato una significativa riduzione dell’errore sperimentale. SE l’effetto dei blocchi è significativo, si può valutare il parametro di efficienza relativa (R.E.) rispetto allo schema a randomizzazione completa: (la formula è valida se Gle >20, se no è necessaria una correzione, altrimenti R.E. è sovrastimata) R.E. è il fattore moltiplicativo del numero di ripetizioni di un esperimento a randomizzazione completa necessario per ottenere la stessa potenza dell’esperimento a blocchi in esame

Contrasti e confronti multipli in uno schema a blocchi randomizzati Sono eseguiti come ordinario, utilizzando per calcolare l’errore standard della differenza tra medie la varianza errore

Requisiti per l’ANOVA a blocchi randomizzati Gli stessi dello schema a randomizzazione completa: 1) Normalità delle popolazioni da cui sono tratti i campioni (verificata attraverso la normalità dei residui). 2) Omogeneità delle varianze. 3) Indipendenza dei trattamenti. 4) In più: ASSENZA DI INTERAZIONE TRA TRATTAMENTI E BLOCCHI. Analisi di normalità dei residui e omogeneità delle varianze 1) calcolo dei residui: in base al modello dell’ANOVA a blocchi, il valore medio atteso dell’ i-esimo trattamento appartenente al J-esimo blocco è: e quindi

Analisi dei residui nell’ANOVA a blocchi randomizzati I residui così calcolati si possono sottoporre agli usuali test di normalità (P-P plot, Shaphiro & Wilks, Kolmogorov) e si possono fare test di omogeneità delle varianze, sia rispetto ai trattamenti sia rispetto ai blocchi (Levene test). E’ interessante anche l’analisi grafica, che può visualizzare la presenza di interazioni trattamenti-blocchi. In questi grafici non si evidenzia né interazione né non omogeneità delle varianze.

Analisi dei residui nell’ANOVA a blocchi randomizzati (segue) In questi grafici si evidenzia non omogeneità delle varianze e possibile interazione trattamento x blocchi Esiste un test, dovuto a Tukey, per verificare la presenza di interazione, basato sull’assumere l’interazione in una forma particolare: ()ij= ij; in questa forma si ha 1 GL per l’interazione. La derivazione matematica è oltre gli obbiettivi del corso; l’applicazione, semplice, si trova su tutti i testi