Stime per intervalli Oltre al valore puntuale di una stima, è interessante conoscere qual è il margine di errore connesso alla stima stessa. Si possono stabilire dei limiti entro i quali si ha una probabilità (1-) che vi sia compreso il vero valore del parametro nella popolazione. (e conseguentemente sia  la probabilità che nell’intervallo non sia compreso il vero valore del parametro) Questi limiti si chiamano LIMITI FIDUCIALI, e l’intervallo che definiscono si chiama INTERVALLO FIDUCIALE. Una stima di n parametro di un campione, corredata dai suoi limiti fiduciali, è detta STIMA PER INTERVALLI. I valori usuali usuali di  sono 0,01; 0,05; 0,1, che danno luogo a intervalli fiduciali rispettivamente del 99; 95; 90% (di probabilità che entro essi sia compreso il vero valore del parametro)

Deviazione standard nota Il caso più semplice è quando si conosce la deviazione standard di una popolazione, ma non la media. In tal caso si estrae un campione per stimare la media. La media del campione è un appartenente alla popolazione di medie campionarie che ha la stessa media della popolazione di partenza e deviazione standard = a n. Se vengono individuate le due ordinate che, nella curva normale di media = media del campione e =n, che escludono, da ambo i lati /2, l’intervallo tra le 2 ordinate avrà probabilità  di includere la vera media della popolazione. i limiti fiduciali si restringono all’aumentare di:  (si esclude un’area di curva maggiore e quindi le 2 ordinate sono più vicine), ma aumenta la probabilità che non contengano  n (e non vi sono controindicazioni, se non il costo o l’onere di un campione più grande)

Deviazione standard nota (segue) Si tratta quindi di risolvere la seguente equazione, in cui le incognite compaiono agli estremi di integrazione: Per simmetria, si può considerare uno solo dei 2 integrali: Questa equazione è di difficile soluzione, ma se = 1 e =0 è risolvibile in z, poiché l’integrale è tabulato e basta ritrovare il valore di /2 nel corpo della tabella per risalire a z. dato che z = (m- )/, è possibile risalire al valore dell’estremo di integrazione che soddisfa l'uguaglianza: Limsup = m + z; per simmetria il limite inferiore sarà m - z. Quindi, con probabilità   di sbagliare: m - z    m - z

Deviazione standard ignota E’ il caso più frequente in realtà: tipicamente si campiona da popolazioni delle quali non si conosce alcun parametro, e si assume che siano distribuite normalmente. In questo caso dal campione si deve stimare la media e la deviazione standard. Ne consegue che gli intervalli fiduciali saranno più “larghi” di quelli con d.s nota, poiché vi sono due stime (m e s) soggette a fluttuazioni campionarie. Non si può usare la distribuzione di z, poiché per usare z occorre conoscere , che in questo caso è invece stimato. E’ però nota la distribuzione di: Che è nota come distribuzione del t di Student. Non ve ne è una sola, ma infinite, in funzione della dimensione campionaria. Per n= la distribuzione del t diviene quella di z.

La distribuzione del t di Student Ha area 1 E’ simmetrica E’ più appiattita della normale e’ tanto più platicurtica tanto più piccola è la dimensione campionaria. In genere è tabulato direttamente  (e non /2 come nel caso della normale). E’ tabulata per il n° di gradi di libertà (n-1) con cui si stima l’errore standard