La dimensione storica delle idee matematiche LE CURVE PARABOLICHE NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA CLASSICO DELL’ANTICHITA’ LA DUPLICAZIONE DEL CUBO U.D. Matematica

Criteri di valutazione (c.di classe) Premessa Struttura dell’unità didattica Destinatari Eventuale recupero Def. dei pre-requisiti Test pre-req. Obiettivi generali Obiettivi specifici Metodi Strumenti Tempi Criteri di valutazione (c.di classe) Contenuti Formative Verifiche U.D. Matematica Sommative

LA DUPLICAZIONE DEL CUBO Destinatari: classe 2^ Prerequisiti: 1 Sistemi di equazioni 2 Concetti generali sulle coniche 3 L’ambiente “Derive” U.D. Matematica

1. Inserire il “fatto” matematico nel contesto storico OBIETTIVI GENERALI 1. Inserire il “fatto” matematico nel contesto storico 2. (Ri)scoprire l’attualità di metodi semplici 3. Valorizzare i percorsi problematici della conoscenza U.D. Matematica

1. Analisi intuitiva del tema (induzione) OBIETTIVI SPECIFICI 1. Analisi intuitiva del tema (induzione) 2. Conoscenza, comprensione, e analisi teorica del tema (sapere) 3. Costruzione geometrico/algebrica delle curve risolutrici con metodi tradizionali e con software dedicato (es. Derive) (saper fare) U.D. Matematica

Brevi comunicazioni “frontali” per l’introduzione del METODI Brevi comunicazioni “frontali” per l’introduzione del tema e l’esposizione dei livelli di prestazione richiesti 2. Lettura di testi che trattano “storicamente” l’argomento Spiegazione (intuitivo/comunicativo/funzionale) delle procedure (anche con tecniche m.m) 4. Sviluppo e sistemazione logico/teorica del tema U.D. Matematica

1 Floppy disk (contenente in forma m.m. il tema oggetto della STRUMENTI 1. Laboratorio 1 Floppy disk (contenente in forma m.m. il tema oggetto della lezione) per ogni alunno. 3. Video proiettore (per l’esposizione in laboratorio) 4. Fotocopie (per i collegamenti di carattere storico) U.D. Matematica

Recupero (eventuale): 4 h TEMPI 1. Test pre-requisiti: 1 h Recupero (eventuale): 4 h 2. Presentazione - Lezioni frontali - : 3 h 3. Laboratorio: 2 h 4. Test di verifica formativa: 1 h 5. Test di verifica finale: 2 h U.D. Matematica

CONTENUTI CENNI STORICI I greci si posero, fin dalle prime speculazioni (filosofiche prima che geometriche), la questione di quali strumenti potessero essere legittimamente usati nella risoluzione dei problemi geometrici La risposta che essi diedero fu molto semplice e rigorosa: potevano essere utilizzati soltanto una riga (senza alcuna graduazione) ed un compasso. Erano quindi tracciabili segmenti di retta e circonferenze: curve elementari e perfette, da cui tutte le altre costruzioni geometriche dovevano discendere U.D. Matematica

Una volta stabilite le “regole del gioco” i geometri greci si dedicarono alla studio di tre problemi (in questa sede analizzeremo la “duplicazione del cubo”), che sono noti come i tre (gli altri due sono la quadratura del cerchio e la trisezione dell’angolo) problemi classici dell’antichità. Per ironia della sorte, nessuno dei tre poteva essere risolto con riga e compasso Veramente diaboliche le due caratteristiche dei tre grandi problemi dell’antichità : non era possibile risolverli con riga e compasso, né era possibile accorgersi di tale impossibilità! E’ ammirevole questa sorta di codice comportamentale, che i greci adottarono senza alcuna perplessità in nome di un concetto di assoluta purezza e di una semplicità di indagine che si ispiravano ai canoni della filosofia platonica U.D. Matematica

U.D. 1- LA DUPLICAZIONE DEL CUBO Apollo, al quale nell’isola di Delo era stato dedicato un altare a forma cubica, chiese agli abitanti di raddoppiarne il volume, mantenendone tuttavia la forma. Secondo un’altra leggenda era stato Minosse re di Creta a voler raddoppiare la tomba a forma di cubo, eretta per suo figlio Glauco. In entrambi i casi i matematici dovettero arrendersi: il problema non è risolubile con riga e compasso; eppure la soluzione algebrica è assolutamente evidente, se il cubo ha (p.es.) il lato uguale a 1 (cioè volume = 1), il cubo di volume doppio deve avere il lato uguale alla radice cubica di 2. In genere si tende a rispondere (con una certa sicurezza !), che il cubo di volume doppio deve avere il lato ancora doppio , ma in questo caso il volume risulterebbe 8 volte maggiore di quello precedente: V1 = L1 · L1 · L1 se L2 = 2 · L1 allora risulterebbe V2 = L2 · L2 ·L2 = 2L1 · 2L1 · 2L1 = 8(L1·L1·L1) = 8V1 (e non 2V1) U.D. Matematica

In altri termini, se per semplicità, supponiamo che il cubo da “duplicare” abbia lato unitario (L1 = 1) allora: V2 = 2 V1 = 1 L1 = 1 L2 = Infatti se moltiplichiamo tre volte L2 per se stesso otteniamo proprio il volume V2 = 2 · · = U.D. Matematica

Ragionando in termini moderni si consideri la parabola: Menecmo trovò un metodo adatto alla soluzione del problema. Egli però fu costretto a rinunciare al metodo della riga e del compasso Ragionando in termini moderni si consideri la parabola: y = x2 E la parabola: x = ½ y2 U.D. Matematica

Le due curve si intersecano (oltre che nell’origine) in un punto P la cui ascissa è proprio uguale alla radice cubica di 2, cioè al lato del cubo di volume doppio; con una semplice sostituzione, e qualche passaggio algebrico, si ottiene la soluzione: y = x2 x = ½ y2 y = x2 x = ½ (x2)2 x = ½ x4 1 = ½ x3 x3 = 2 x = 3 2 U.D. Matematica

Costruzione (con Derive) della parabola y = x2 U.D. Matematica

Costruzione (con Derive) della parabola x =1/2 y2 U.D. Matematica

Le due parabole si intersecano in P U.D. Matematica

Il segmento OQ (l’ascissa di P) è il lato del cubo di volume doppio. U.D. Matematica

L’Unità Didattica di Matematica termina qui. Grazie e buon lavoro! scegliere diapo-avvio Benvenuti al corso di informatica (prof. M. Fanton) U.D. Matematica