GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI Gruppo di lavoro FRANCESCO SGARAMELLA MARIO SCARPINO MODULO N.1 GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI U.D. N.1 :NUMERI NATURALI U.D. N.2 NUMERI INTERI RELATIVI U.D. N.3 NUMERI RAZIONALI U.D. N.4 NUMERI REALI U.D. N.5 NUMERI COMPLESSI Ascolta il docente Legenda Fondo giallo: Teoria Sommario Fondo azzurro: Esempi e dimostrazioni Scritte rosse: Definizioni importanti 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI MODULO N.1 GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI U.D. N.1 :NUMERI NATURALI U.D. N.2 NUMERI INTERI RELATIVI U.D. N.3 NUMERI RAZIONALI U.D. N.4 NUMERI REALI U.D. N.5 NUMERI COMPLESSI INFORMAZIONI 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N.1 I NUMERI NATURALI - 1 Definizioni Operazioni in N Dati due insiemi A e B, contenenti l’uno leoni e l’altro alberi , essi si dicono Equipotenti se si possono associare i loro elementi in modo che a un elemento di uno di essi corrisponda uno ed un solo elemento dell’altro. I due insiemi si dicono in corrispondenza biunivoca. In tal caso cio’ che hanno in comune i due insiemi e’ un “quid” chiamato Numero Naturale Cardinale . Cosi’, estendendo l’esempio si possono generare tutti i numeri naturali e si ottiene l’insieme dei NUMERI NATURALI N = [ 0, 1, 2, 3, ….n,….] N = [ 1, 2, 3, ……n, …. ] 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N.1 I NUMERI NATURALI - 2 Operazioni in N Definizioni naturali Operazioni binarie e interne: eseguendo le operazioni di Addizione , Moltiplicazione ed Elevamento a potenza tra due numeri Naturali si ottiene sempre un numero naturale, eseguendo invece l’operazione di Differenza : a - b , se a<b , oppure eseguendo l’operazione di Divisione a: b , se a non è multiplo di b si nota che tali operazioni sono impossibili, in quanto il risultato non è un numero naturale . Per tale motivo è necessario inventare nuovi numeri, cioè procedere all’ampliamento di N , vale a dire gli insiemi : Z= INTERI RELATIVI e Q= RAZIONALI L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà formali : Associativa, Commutativa e distributiva L’elevamento a potenza si definisce come segue: 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N.2 I NUMERI INTERI RELATIVI - Definizioni e Operazioni in Z Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi Operazioni binarie e interne: eseguendo le operazioni di Addizione , Sottrazione, Moltiplicazione tra due numeri relativi si ottiene sempre un numero relativo, mentre eseguendo l’operazione di Divisione a: b , se a non è multiplo di b si nota che tali operazioni sono impossibili in Z , in quanto il risultato non è un numero relativo . Per tale motivo è necessario inventare nuovi numeri, cioè procedere all’ampliamento di N , vale a dire l’insieme : Z= INTERI RELATIVI L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà formali : Associativa, Commutativa e distributiva L’elevamento a potenza si definisce come segue: 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi UNITA DIDATTICA N .3 NUMERI RAZIONALI - 1 Definizioni e operazioni L’operazione di divisione, la risoluzione di un problema elementare come quello di trovare un numero che moltiplicato per un altro dia come risultato un numero dato( a * x = b), il problema della misura di un segmento con un altro segmento scelto come unita di misura( il rapporto di due numeri , salvo eccezioni , non appartiene a Z) non sono possibili in N , né in Z; è necessario inventare nuovi numeri. L’insieme dei numeri razionali , Q , è costituito dalla infinite frazioni ottenute dividendo un numero relativo a per un numero relativo b , con b diverso da 0. Le quattro operazioni sono interne all’insieme Q , mentre addizione e moltiplicazione godono delle proprietà associativa, commutativa e distributiva. Ogni numero razionale si può scrivere sotto forma di numero decimale , cioè come numero con la virgola del sistema di numerazione a base 10. Esempi: numero decimale limitato: 0,28 = 28/100 = 7/25 numero decimale illimitato periodico: 5,(65) = 565 - 5/ 99 numero decimale illimitato periodico misto: 5,2(64) = 5264 -52/990 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N .3 NUMERI RAZIONALI - 2 Ordinamento e retta razionale Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi Dati due numeri razionali è sempre possibile definire il maggiore tra essi : a/b < =p/q se e solo se a*q <= b*p In tal modo si può ordinare l’insieme Q in base alla relazione < o > e quindi ad ogni numero razionale ( che può rappresentare infinite frazioni) , scelta una unità di misura u, si può far corrispondere un punto P di una retta orientata , a partire da P, tale che OP = a/b *u .: Tale retta si chiama RETTA RAZIONALE. Ad ogni numero razionale corrisponde un solo punto della retta, ma non vale il contrario , in quanto ci sono punti della retta a cui non corrisponde alcun numero razionale: ciò significa che i relativi insiemi non sono equipotenti. Individuazione del punto corrispondente ad un numero razionale: es. 3/5 . Scelta l’unità di misura si divide in 5 parti e se ne prendono 3. -3 -2 -1 0 1 2 3 L’insieme q è denso, perché fissati due numeri ne esiste sempre un terzo compreso tra essi : uno è la media aritmetica: ( a/b +p/q)/2 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 1 Ampliamento dell’insieme Q L’equazione x elevato 2 = p/q con p/q razionale qualsiasi è impossibile in Q tutte le volte che p/q non è un quadrato perfetto. Es . X^2 = 2 Se la soluzione fosse razionale a/b si avrebbe a^2/b^2 =2 impossibile Segmenti commensurabili: due seg. sono comm. se il rapporto è razionale p/q= 4/7 in tal caso AB =4/7 CD =4 ( 1/7 CD) ammettono un sottomultiplo comune (1 /7CD) Ci sono segmenti non commensurabili , che non ammettono sottomultipli comuni , e il cui rapporto quindi non è un numero razionale: Esempio : lato l e diagonale del quadrato: d = Radice 2 x l e d/l = radice 2 non razionale e non ammettono sottomultiplo comune.. Tutte le coppie di segmenti con rapporto uguale alla radice di numeri non quadrati perfetti sono incommensurabili. Si chiama numero irrazionale ogni numero che non sia possibile esprimere sotto forma di frazione . 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 1 Numeri irrazionali e numeri reali Si chiama insieme dei numeri reali , l’insieme costituito dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e dell’insieme dei numeri irrazionali J R J Q Postulato della continuità della retta. Ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa. I punti della retta e i numeri reali sono insiemi equipotenti 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 1 Operazioni con i numeri reali Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi Le operazioni di addizione e moltiplicazione , definite in R , godono delle stesse proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in Q Potenza del continuo e del numerabile : Ogni aggregato in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali N si dice che ha la potenza del NUMERABILE., in quanto i suoi elementi si possono contare sia pure indefinitamente. L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile. L’insieme R non è numerabile ed ha la potenza del continuo.Gli insiemi infiniti si possono mettere in C.B. con un sottoinsieme proprio. . 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N .4 NUMERI REALI - 2 Operazioni con i numeri reali Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi Per esempio l’insieme dei numeri pari Np è numerabile, in quanto si può mettere in C. B. con N. Per l’insieme Qa che è denso e per cui non ha senso il concetto di successivo si dimostra che è pure numerabile.( basta scrivere una matrice con N righe e N colonne con le frazioni aventi il numeratore uguale alla colonna e il denominatore alla riga e poi scorrerla non per riga o colonna, che sono infinite, ma per diagonali a 45 gradi, finite, spostandosi a destra e in basso ogni volta che si raggiunge la prima riga o la prima colonna. 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N .5 NUMERI COMPLESSI - 1 Numeri immaginari e operazioni Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi Seconsidero l’equazione x ^2 = - 1, mi accorgo che essa è impossibile in R in quanto il primo membro è sempre positivo , il secondo sempre negativo, cioè non esiste in R la radice quadrata di – 1. A questo punto , se voglio comunque risolvere l’equazione devo introdurre la cosiddetta unita immaginaria, la quale viene indicata con “i “ ed ha la proprietà di dare -1 se elevata al quadrato, cioè i^2=-1. Così operando l’equazione detta ha le radici x1 = +1 e x2 = -1. L’insieme dei numeri b*i con b numero reale qualsiasi è detto insieme dei numeri immaginari. Esistono comunque altre equazioni che non hanno né soluzioni reali né soluzioni puramente immaginarie, ad esempio l’equazione seguente: Le operazioni di addizione e moltiplicazione , definite in R , godono delle stesse proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in Q 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N .5 NUMERI COMPLESSI - 2 Numeri complessi e operazioni Numeri naturali Numeri razionali numeri reali numeri complessi Le operazioni di addizione e moltiplicazione , tra due numeri complessi danno per risultato un numero complesso, e sono quindi binarie ed interne a C. Esse si eseguono con i comuni metodi dell’algebra considerando la unità immaginaria come una lettera qualsiasi, ed alla fine sostituendo a i^2 il valore -1 ad i^ 3 il valore –i, ad i^4 il valore 1 e così via. Per tali operazioni continuano a valere le stesse proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in R. 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino

Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino UNITA DIDATTICA N .5 NUMERI COMPLESSI - 2 Numeri complessi e operazioni 01/12/02 Elaborazione: proff.: Francesco Sgaramella , Mario Scarpino