Half-time (o tempo di dimezzamento) : Con tale valore di k il modello può essere utilizzato per avere predizioni di per tempi

DETERMINAZIONE DELL’ETA’ DI REPERTI ARCHEOLOGICI Una delle prime strumentazioni utilizzate al British Museum per la datazione al C14

E’ noto che una piccola percentuale del carbonio presente in atmosfera si presenta nella forma radioattiva C14. Questa si fissa nei viventi con una concentrazione iniziale di una parte su 750 miliardi, cioè I nuclei C14 decadono in atomi di azoto emettendo particelle beta. Quindi gli esseri viventi (o che sono vissuti ) contengono una certa quantità di nuclei radioattivi C14. ed è noto che il tempo di dimezzamento del C14 è dato da (in anni): La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue la legge:

Utilizzando questa informazione, si calcola la costante k per il carbonio C14: Conoscendo la concentrazione attuale (tempo t) di C14 in un tessuto si ha allora : Se ad esempio fosse:

LIVELLO DI GLUCOSIO NEL SANGUE

Situazione : ad un paziente viene somministrato del glucosio attraverso fleboclisi (R mg per secondo per litro di sangue) Il glucosio viene quindi metabolizzato con una velocità proporzionale alla sua concentrazione. concentrazione di glucosio al tempo t L’andamento di x al variare del tempo seguirà allora una legge del tipo:

Ponendo t0=0 e dunque al tendere di

Problema Il paziente ha un livello iniziale di glucosio Il medico vuole innalzare questo livello a Per quanto tempo è necessario tenere il paziente sotto flebo?

Possiamo utilizzare la precedente formula : cercando il valore tale che:

Se il paziente viene sottoposto a infusione per un tempo T, quanto tempo occorre per tornare al livello iniziale? Problema: Al tempo T si avrà: Successivamente cessa la somministrazione di glucosio e quindi la variazione di concentrazione seguirà la legge : (si è posto R=0) convalore iniziale al tempo T

Riassumendo: Occorre ora trovare tale che: cioè: è il valore misurato al tempo T, quindi è un valore noto

Volendo una formula che dipende solo da e non da x(T), basta sostituire il valore già calcolato ottenendo: ( esercizio)

MODELLI PIU’ REALISTICI Il modello di Malthus non è abbastanza flessibile a trattare svariate situazioni reali La fase di validazione del modello fallisce in diversi casi

la popolazione aumenta senza controllo e tende all’infinito. la popolazione aumenta senza controllo e tende all’infinito. Ciò non succede nel mondo reale, in cui la popolazione tende a stabilizzarsi Ciò non succede nel mondo reale, in cui la popolazione tende a stabilizzarsi Ad esempio : Dati relativi all’accrescimento della pecora (Ovis aries) della Tasmania

Non sembra un andamento Malthusiano La popolazione cresce fino agli anni 50 in modo esponenziale. Poi rallenta la crescita, fino a raggiungere un regime stazionario Dati relativi all’accrescimento della pecora (Ovis aries) della Tasmania

La popolazione si estingue La popolazione rimane costante (improbabile nei casi reali) La popolazione rimane costante (improbabile nei casi reali) Cosa c’ è che non va?   è stato preso costante, non si considerano eventi quali tifoni, uragani, carestie

CORREZIONE DEL MODELLO Si può ottenere un modello più realistico sostituendo il moltiplicatore della popolazione con una funzione, che tenga conto della resistenza ambientale RIMEDIO

Il moltiplicatore di una popolazione dipende in realtà da molti fattori, primo fra tutti il livello della popolazione.

Se il modello è lineare (Malthus): Il moltiplicatore è costante Correggiamo IL MODELLO Il moltiplicatore dipende da

OSSERVAZIONI DAL MONDO REALE All’inizio, quando la polazione è poco numerosa, non ci sono freni alla crescita Andamento malthusiano Esempio Popolazione di insetti che si nutrono di foglie Tasso di crescita costante positivo Tasso di crescita costante positivo

La popolazione diminuisce In seguito, quando la popolazione diventa molto numerosa, le foglie diminuiscono, i giovani non trovano nutrimento sufficiente e aumentano i morti Il tasso di crescita diminuisce Il tasso di crescita diminuisce e può diventare negativo e può diventare negativo Esiste un valore della popolazione in corrispondenza del quale il tasso è nullo

PROGETTIAMO UNA FUNZIONE Esempio

Retta passante per i due punti Deve essere: e MODELLO PIU’ REALISTICO MA PIU’ SEMPLICE POSSIBILE PIU’ SEMPLICE POSSIBILE

Retta passante per i punti (o,m) e (K,0)

È detta capacità portante popolazione L’ambiente può sostenere solo una popolazione di dimensione massima dimensione massima la popolazione aumenta Il tasso di crescita si annulla

MODELLO LOGISTICO DISCRETO Rappresenta la resistenza ambientale (trascurabile se è piccola) con

La funzione che descrive il MODELLO PARABOLA LOGISTICO è quindi una PARABOLA Esempio di logistica Scalatura

per A>4 (tasso di crescita elevato) la dinamica produce dei valori >1 seguiti poi da valori negativi e quindi non accettabili. Se = 1 si ha una catastrofe (tutte le risorse sono state consumate) Non si possono accettare valori di > 1 La parabola ha il massimo nel vertice : x =1/2, Max = A/4 Il modello di competizione intraspecifico basato su una dipendenza lineare del tasso dalla popolazione non è universale