Capitolo 8 Sistemi lineari

Sistemi lineari e matrici Sia A una matrice di tipo m X n e x un vettore di dimensione m. Il prodotto Ax è un vettore di m componenti che indicheremo con b. Per esteso avremo che Ax = b quindi detto sistema lineare. Nota. Un'equazione lineare è un'equazione nella quale le incognite, compaiono tutte al primo grado. In altre parole non compaiono quadrati, cubi o potenze più elevate, né prodotti di due o più incognite, né funzioni delle incognite tipo radice, seno, coseno, esponenziale, ecc.

Il Problema Problema. Dato il vettore b, determinare x soluzione del sistema lineare, ossia tale che Ax = b. Tale problema è rappresentato da un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1; x2; …; xn. Gli elementi della matrice A sono detti coefficienti del sistema lineare. Gli elementi del vettore b sono detti termini noti. Osserviamo che se indichiamo con A1, A2, …, An i vettori colonna della matrice A ossia con il sistema precedente può anche scriversi come Nota. Un sistema lineare che non ammette nessuna soluzione è detto inconsistente. Se il termine noto è un vettore nullo b = 0, il sistema si dice omogeneo e in tal caso ammette sempre la soluzione banale data dal vettore nullo x = 0.

Metodo di eliminazione di Gauss Idea: arrivare a un sistema equivalente ma più “semplice” (in qualche senso) da risolvere. Esempio. Consideriamo il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite La somma delle prime due equazioni consente di eliminare z (sostituiamo il risultato nella seconda) nella seconda, mentre sommando alla terza due volte la seconda si ottiene, Si noti che la seconda e la terza equazione rappresentano ora un sistema di due equazioni in due incognite. Possiamo eliminare y aggiungendo cinque volte la prima equazione alla seconda 27x = 27  x = 1. Dalla prima equazione avremo 4 – y = 5  z = 2. Infine sostituendo questi due valori in una delle equazioni date inizialmente (per esempio la prima) 1 + 2 + z = 5  z = 2. La soluzione è quindi x = 1, y = - 1, z = 2.

Metodo di eliminazione di Gauss Nel caso di un sistema di n equazioni in n incognite l'idea di base è quella di ricondursi a un sistema di n - 1 equazioni in n - 1 incognite, poi a un sistema di n - 2 equazioni in n - 2 incognite e così via fino alla risoluzione del sistema per sostituzione. Il vantaggio di questo metodo è che si basa su poche semplici operazioni che sono ripetute a ogni passo. Tale metodo infatti, noto come metodo di eliminazione di Gauss, può essere facilmente messo in forma algoritmica e implementato si di un calcolatore. Nell’esempio precedente il sistema finale è Con matrice triangolare. Nel metodo di Gauss la matrice finale è detta matrice ridotta. Operazioni che possiamo applicare alla matrice del sistema e al vettore dei termini noti: Moltiplicazione (divisione) di una riga per un numero (diverso da zero); Somma (sottrazione) di un multiplo di una riga da un’altra; Scambio di righe. Tali operazioni sono dette operazioni elementari applicate alle righe.

Metodo di eliminazione di Gauss Dato un sistema lineare Ax = b, con A matrice m X n, consideriamo la matrice  = (A|b) di tipo m X n (n + 1), detta matrice ampliata o matrice completa del sistema lineare, Applicare il metodo di eliminazione di Gauss: trasformare, tramite operazioni elementari, tale matrice in una forma ridotta avente elementi tutti nulli sotto la diagonale principale ed elementi uguali a 1 o a 0 sulla diagonale principale. Proposizione 8.1 (Regola generale) Se, dopo aver applicato il metodo di eliminazione di Gauss, (Non esistono soluzioni) l’ultima riga non nulla ha un valore uguale a 1 come ultimo elemento a destra e 0 altrove; (Esiste un’unica soluzione) ci sono esattamente n righe non nulle, l’ultima delle quali ha 1 come penultimo elemento a destra; (Esistono infinite soluzioni) le righe non nulle sono meno di n e non è verificata la condizione 1.

Metodo di eliminazione di Gauss Esempi (forme ridotte).

Metodo di eliminazione di Gauss Le trasformazioni che eseguiamo sulla matrice ampliata del sistema lineare durante il metodo di eliminazione di Gauss possono essere rappresentate come una successione di prodotti di particolari matrici, dette matrici elementari, per la matrice ampliata. Definizione 8.1 (Matrice elementare) Una matrice elementare è una matrice quadrata ottenuta applicando a una matrice identità una sola operazione elementare di riga. Proprietà I. Sia E una matrice ottenuta applicando a una matrice identica m X m una sola operazione elementare di riga e sia A una qualunque matrice m X n. Allora la matrice prodotto EA è la stessa matrice che si otterrebbe applicando direttamente ad A la stessa operazione elementare di riga. Proprietà II. Sia E una matrice ottenuta da I tramite una operazione elementare di riga. Se F è la matrice elementare ottenuta da I eseguendo l'operazione elementare inversa, allora chiaramente FE = I. Inoltre che anche EF = I e quindi le due matrici sono l'una l'inversa dell'altra.

Metodo di eliminazione di Gauss In forma matriciale l'eliminazione di Gauss per una matrice quadrata A, dopo r passi fornisce una matrice triangolare superiore U avente elementi uguali a 0 o 1 sulla diagonale, ErEr-1…E2E1A = U Se la diagonale della matrice U non presenta alcuno 0 ma solo degli 1 allora possiamo pensare di continuare ad applicare operazioni elementari di riga in modo da annullare anche tutti gli elementi sopra la diagonale della matrice U. Dopo ulteriori s trasformazioni elementari otterremo Er+sEr+s-1…Er+2Er+1U = 1 Posto B = Er+sEr+s –1…E2E1, abbiamo BA = I (e AB = I). Quindi B = A-1 è l’inversa di A. Nota. In pratica si applica il metodo di eliminazione alla matrice à = (A|I).

Dipendenza lineare e rango Dati i vettori A1, A2,…, Ar una combinazione lineare è un'espressione del tipo a1A1 + a2A2 + … + arAr dove gli ai sono numeri reali. Se è possibile determinare gli ai non tutti nulli in modo tale che a1A1 + a2A2 + … + arAr = 0 allora i vettori A1, …, Ar si dicono linearmente dipendenti. Se invece l'espressione precedente può essere soddisfatta solo prendendo i a1 = 0 per ogni valore di i, allora i vettori si dicono linearmente indipendenti (abbreviati l.i. e l.d.). Nota. Nel caso in cui i vettori sono l.d. allora alcuni di essi sono combinazione lineare degli altri.

a1A1 + a2A2 + … + arAr = b1A1 + b2A2 + … + brAr. Vettori ortogonali Se i due vettori x e y sono tali che xTy = 0 (e quindi anche yTx = 0) i vettori sono detti ortogonali. Proposizione 8.2 Un insieme di vettori (non nulli) ortogonali, ossia A1, …, Ar tali che per ogni valore di i  j, è necessariamente linearmente indipendente. Definizione 8.2 (Base) Se un generico insieme di vettori V può essere generato da un suo sottoinsieme B di vettori linearmente indipendenti, si dice che i vettori del sottoinsieme B formano una base per l'insieme di vettori considerato. Esempio (base canonica). Prendiamo Rm; esso può essere generato da un insieme di m vettori l.i. per esempio dai vettori e1, e2, …, em definiti come che costituiscono una base Rm. Proposizione 8.3 Siano A1, A2, …, Ar vettori linearmente indipendenti. Supponiamo che a1, a2, …, ar e b1, b2, …, br siano tali che a1A1 + a2A2 + … + arAr = b1A1 + b2A2 + … + brAr. Allora aj = bj per j = 1, 2, …, r.

Possiamo enunciare le seguenti regole Rango Definizione 8.3 (Rango) Dato un insieme di vettori {A1, A2…, An} dicesi rango dell'insieme il massimo numero di vettori l.i. nell'insieme. Data la matrice A, il rango della matrice A, indicato con rank(A), è il rango dell'insieme dei suoi vettori colonna. Possiamo enunciare le seguenti regole Regola I. Dato un insieme di vettori A1, …, An di dimensione m, per verificare se l'insieme di vettori è l.i. si costruisce la matrice A di tipo m X n colonne i vettori A1, …, An e si applica a essa l'eliminazione di Gauss. Se la matrice risultante ha meno di n righe non nulle l'insieme assegnato è l.d., altrimenti è l.i.. Regola II. Qualunque insieme di vettori di dimensione n formato da più di n vettori distinti è linearmente dipendente.

Consideriamo ora i possibili casi Consideriamo ora il sistema lineare Ax = b con A matrice di tipo m X n. Sia  = (A|b) la corrispondente matrice ampliata. Teorema 8.1 (Rouche-Capelli) Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema Ax = b ammetta soluzioni è che il rango di A e quello di  coincidano. Consideriamo ora i possibili casi Tabella 8.1: Sunto conseguenze del Teorema di Rouche-Capelli con A matrice di tipo m X n. Teorema 8.2 (Teorema di struttura) Sia x1 una soluzione del sistema lineare Ax = b, con A di tipo m X n. Allora ogni altra soluzione della forma x = x1+x0 dove x0 una soluzione del sistema omogeneo Ax = 0. In particolare x1 è l'unica soluzione se e solo se le colonne di A sono l.i.

det(AB) = det(A) det(B) . Determinante Definizione 8.4 (Matrici di permutazione) Definiamo le matrici Prs, dette matrici di permutazione elementari, ottenute dalla matrice identità scambiando le righe r e s. Definizione 8.5 (Determinante) Dato l'insieme delle matrici quadrate di ordine n; a ogni matrice A di questo insieme associamo un numero che indicheremo con det(A), detto determinante di A, tale che 1. Se A è una matrice triangolare (superiore o inferiore), allora det(A) è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale. 2. Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n; det(AB) = det(A) det(B) . 3. det(Prs) = - 1 per ogni valore di r, s con r  s.

Proprietà del determinante 1. Se la matrice A ha due righe o due colonne uguali, il determinante è nullo. 2. Dato a in R, det(aA) = an det(A). 3. Se A è la matrice ottenuta moltiplicando tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) di A per a, allora det(A) = adet(A). 4. Se una riga o una colonna di A sono nulli, il determinante sarà nullo. 5. Se una riga o una colonna di A è combinazione lineare delle altre, allora il determinante è nullo. 6. Sia A non singolare, ossia le colonne sono linearmente indipendenti. Allora

Proprietà del determinante Teorema 8.3 (Teorema di equivalenza) Sia A una matrice quadrata di dimensione n. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti. i) A è invertibile. ii) Il rango di A è uguale a n. iii) Le colonne di A sono l.i. iv) Il sistema omogeneo Ax = b ha una unica soluzione (se b = 0 ammette solo la soluzione x = 0). v) Il determinante di A è diverso da zero. Nota. Per il calcolo del determinante, a parte casi particolari, si può utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss.