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Outline Vettori ortogonali Autovalori, autovettori Esercizi vari

Vettori ortogonali I vettori non nulli si dicono ortogonali se: I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono ortogonali e inoltre Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano una base canonica (ortonormale) di Rn

Matrici ortogonali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali le colonne (le righe) di A formano una b.c. di Rn

Vettori ortogonali in MATLAB Per verificare, mediante MATLAB, se 2 vettori colonna v1,v2 sono ortogonali Se il prodotto del vettore riga v1’ col vettore colonna v2 e’ 0 => i vettori sono ortogonali Per calcolare la norma di un vettore v1’*v2==0 norm(v)

Autovalori e autovettori Per trovare gli autovalori e autovettori di A ava -> vettore colonna degli autovalori di A D -> matrice diagonale contenente gli autovalori di A V -> matrice le cui colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori in D Data una matrix quadrata A di ordine n, un numero λ (reale o complesso) e un vettore v son detti risp autovalore e autovettore di A se vale la relazione Av= λv. Per ottenere in MATLAB gli autovalori e autovettori di una matrix quadrata si usa il comando eig Se come parametro di uscita indichiamo una sola variabile => eig ci restituisce un vettore colonna contenente gli autovalori della matrix, altrimenti restituirà 2 matrici V e D contenenti rispettivamente gli autovettori e gli autovalori di A. In particolare D è una matrix diagonale contenente gli autovalori di A, mentre V è t.c. le sue colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori contenuti in D. RICORDA gli autovalori di una matrix diagonale sono gli elementi della diagonale gli autovalori di una matrix trangolare (sup o inf) sono gli elementi della diagonale gli autovalori di una matrix simmetrica sono tutti numeri reali ava= eig(A) [V D] = eig(A) 6

Esempio diagonalizzabile => [V D] = eig(A) V*V’ esiste una base di Rn formata da autovettori di A A simmetrica => A diagonalizzabile in questo caso eig restituisce una matrice V ortogonale [V D] = eig(A) V*V’ V’*V Le colonne di V formano una base canonica per Rn La matrix V ottenuta dalla funzione eig a due output è una matrix ortogonale 7

Esercizio 1 e 2 Richiamare la matrice A (Esercizio 1 scorsa lezione), costruire la matrice A*A’ dire se è diagonalizzabile trovare la matrix P che la diagonalizza scrivere una base o.n. di R7 La matrice A è diagonalizzabile?