Fondamenti e Didattica della matematica Approccio alla geometria Bettina Pedemonte ITD-CNR Genova Corso abilitanti 2007-2008 Scienze della Formazione – Genova, La Spezia, Alassio

La geometria géo: la terre metrikos: misura La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni. http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria

La geometria: contenuti ministeriali In generale, Le attività della geometria richieste dai contenuti ministeriali non mirano a delle conoscenze formali (definizioni), ma a conoscenze funzionali, Utili per risolvere problemi nello spazio ordinario, in quello del foglio di carta e sullo schermo di un computer

La geometria: i programmi Gli apprendimenti si svolgono in modo continuo dalla scuola primaria alla scuola secondaria. Un preciso vocabolario si deve progressivamente costruire. Il principio è quello di partire dal reale (e quindi da oggetti materiali) e lentamente passare all’astrazione. Si da precedenza alla geometria dello spazio. Nella scuola primaria non si parla di dimostrazione, ma di un inizio di apprendimento al ragionamento, in particolare nelle attività di riproduzione delle figure.

La geometria: i programmi Nella scuola secondaria si riprende la geometria del piano e dello spazio introdotta nella scuola primaria. In particolare si richiede di saper produrre semplici deduzioni usando le proprietà geometriche delle figure per poter risolvere problemi.

Due geometrie: empirica e teorica L’obiettivo principale è di permettere agli allievi di passare progressivamente : Da una geometria dove gli oggetti e le proprietà sono controllate dalla percezione A una geometria dove gli oggetti sono controllati dall’esplicitazione di proprietà e dall’uso di strumenti

La geometria spazio geometria Collocazione Localizzazione Orientazione Relazioni e proprietà Solidi Figure piane

Spazio della geometria Collocazione Localizzazione Orientazione Relazioni e proprietà solidi figure piane Spazio esterno Spazio della geometria

Come si caratterizzano queste due diverse concettualizzazioni? Concettualizzazione: spaziale e geometrica Due tipi di concettualizzazione: geometrica Spaziale Come si caratterizzano queste due diverse concettualizzazioni?

Due geometrie: empirica e teorica da io vedo a io so dal disegno alla figura dall’oggetto al concetto

Due geometrie: empirica e teorica da io vedo a io so dal disegno alla figura dall’oggetto al concetto

Cosa vedo? Come risolvere questo paradosso percettivo? Non si tratta di triangoli. La pendenza del primo è 2/5 la pendenza dell’altro è 3/8

Due geometrie: empirica e teorica da io vedo a io so dal disegno alla figura dall’oggetto al concetto

Dal disegno alla figura La figura geometrica è l’oggetto geometrico descritto dal testo che la definisce, un’idea, una creazione dello spirito, mentre il disegno ne è una rappresentazione Parzysz (1988) La figura geometrica si costituisce nel mettere insieme un referente teorico con tutti i possibili disegni; è allora definita come l’insieme delle coppie formate da due termini, il primo è il referente teorico, il secondo, uno dei disegni che lo rappresenta. Il secondo termine è preso nell’universo di tutti i disegni possibili del referente. Laborde, 1994

Dal disegno alla figura Occorre sottolineare la complessità dei rapporti tra disegno e oggetto geometrico: da una parte, il disegno geometrico non è necessariamente interpretato dal suo lettore come rinviante ad un oggetto geometrico Dall’altra le interpretazioni di uno stesso disegno sono molteplici per due ragioni: la natura del disegno e le interpretazioni che dipendono dal lettore e dalle sue conoscenze.

Dal disegno alla figura Un disegno rinvia agli oggetti teorici della geometria nella misura in cui colui che lo legge decide di farlo, l’interpretazione è naturalmente dipendente dalla teoria con la quale il lettore sceglie di leggere il disegno così come dalle conoscenze di questo lettore. Un matematico riconoscerà probabilmente un cerchio nel primo disegno ed esiterà tra cerchio ed ellisse nel secondo.

Dal disegno alla figura Un disegno anche se geometrico può essere interpretato in diversi modi ed in particolare la percezione interviene nella costruzione di una interpretazione se il lettore non dispone di forti conoscenze teorico geometriche che gli consentono di superare le lettura percettiva.

Dal disegno alla figura Gli aspetti percettivi del disegno possono impedire o al contrario favorire le lettura geometrica degli studenti, attirando l’attenzione su elementi del disegno non pertinenti alla lettura. Entrambe le figure rappresentano il teorema di Talete? È un rombo o è un quadrato? Nota. Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse, classi di segmenti direttamente proporzionali

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Dall’oggetto al concetto Fishbein introduce la nozione di concetto figurale per descrivere la costruzione mentale manipolata da un ragionamento geometrico come « immagine interamente controllata dalla sua definizione » « Gli oggetti di investigazione e manipolazione nel ragionamento geometrico sono quelle entità mentali, chiamate concetti figurali, che riflettono proprietà spaziali (ombra, posizione, grandezza) e nello stesso tempo, possiedono qualità concettuali – come astrazione, generalità, perfezione » Il processo di costruzione di tale entità è lontano dall’essere un prodotto spontaneo dell’insegnamento della geometria. E’ stato mostrato che gli aspetti figurali possono negli studenti superare quelli concettuali (Mariotti, 1991)

Dall’oggetto al concetto Dato un cerchio di centro O si disegnino due diametri perpendicolari AB e CD. Scegliamo un punto M sul cerchio e tracciamo le perpendicolari MP e MN sui due diametri. Qual’è la lunghezza di PN? Il fatto di concludere che PN=MO= raggio= costante supporta l’idea che la figura considerata è dall’inizio, non un’immagine ordinaria, ma è già una struttura logicamente controllata. La fusione tra concetto e figura tende a essere perfetta in questo caso.

LINGUAGGIO della GEOMETRIA Due geometrie: empirica e teorica da io vedo a io so LINGUAGGIO della GEOMETRIA dal disegno alla figura dall’oggetto al concetto

Il linguaggio della geometria Di seguito sono riportate alcune parole. Quali di esse indicano concetti che riguardano esclusivamente lo spazio – ambiente (o “spazio fisico”), in quanto dipendono da fenomeni fisici e/o dal rapporto del nostro corpo con lo spazio-ambiente? Quali possono invece riguardare concetti geometrici? Verticale Parallelo Perpendicolare Destra

Il linguaggio della geometria Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio Verticale Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, … Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro Parallelo Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, … Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari… Perpendicolare Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te). Destra

Il linguaggio della geometria Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio Verticale Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, … Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro Parallelo Concetti non geometrici Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, … Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari… Perpendicolare Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te). Destra

Il linguaggio della geometria Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto del nostro corpo con lo spazio Verticale Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, … Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro Parallelo Concetti geometrici utilizzati anche per modellizzare situazioni concrete Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, … Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti perpendicolari… Perpendicolare Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la tua sinistra, se io sono di fronte a te). Destra

Il linguaggio della geometria Esaminare le seguenti affermazioni, cercando di precisare quali concetti della geometria intervengono, e se si tratta di affermazioni della geometria, oppure di affermazioni non appartenenti alla geometria in cui si utilizzano concetti della geometria come modelli di situazioni dello spazio-ambiente. Un triangolo è rettangolo se e solo se due delle sue tre altezze coincidono con due dei suoi lati. Geometria (Teorema) Sia AB un segmento, π un piano orizzontale contenente il punto B. AB è verticale se e solo è perpendicolare a tutte le rette di π passanti per B. Non geometria ("verticale" ed "orizzontale" riguardano la realtà fisica)

Il linguaggio della geometria Per rappresentare il piano cartesiano si disegnano una retta orizzontale (che si chiama “asse delle ascisse”) e una retta verticale (che si chiama “asse delle ordinate”). Non geometria (se spostiamo il foglio ciò che era verticale diviene orizzontale…) Nel trapezio rettangolo ABCD la base inferiore AB è il doppio della base superiore CD. Non geometria (“superiore" ed “inferiore" riguardano lo spazio fisico) La circonferenza divide il piano che la contiene in due parti – la parte interna e la parte esterna alla circonferenza stessa. La parte interna si caratterizza per il fatto che ogni retta passante per un suo punto incontra la circonferenza. Geometria (Teorema)

Il linguaggio della geometria La specificità del vocabolario in matematica, e in particolare in geometria, è spesso “rifiutata”. Nell’approccio a compiti di costruzione o di argomentazione, la precisione dei termini impiegati, degli argomenti proposti, la loro strutturazione (cronologica e la concatenazione discorsiva) appaiono spesso arbitrari agli studenti. D’altra parte il linguaggio è indissociabile dall’azione (si verbalizzano così azioni poco famigliari). La difficoltà a verbalizzare certe azioni presuppone quindi una mancanza di appropriazione del concetto geometrico. Il linguaggio aiuta a capire se è avvenuta la transizione da empirico a teorico

Linguaggio empirico e teorico Un linguaggio di tipo empirico si basa sull’intuizione e sulla sperimentazione 2. Un linguaggio di tipo teorico si basa sulla deduzione e che trova il suo obiettivo finale nella dimostrazione

Linguaggio empirico e teorico Nel linguaggio empirico Questo è un quadrato… E un quadrato non è un rettangolo ! Nel linguaggio teorico Le proprietà di questa figura (4 angoli retti, 4 lati congruenti) definiscono un quadrato… E un quadrato è anche un rettangolo !!

Linguaggio empirico e teorico Nel linguaggio empirico I problemi spaziali vengono risolti mediante validazione empirica. Nel linguaggio teorico I problemi di geometria vengono risolti mediante una prova matematica.

Approccio didattico alla geometria La didattica come strumento per favorire gli studenti nella transizione: Realtà spaziale Modello geometrico La didattica come strumento per aiutare gli insegnanti nel favorire questa transizione nelle attività di classe

Approccio didattico alla geometria Perché insegnare la geometria : 1. Insegnare agli studenti a pensare geometricamente 2. Insegnare agli studenti a vedere nello spazio 3. Insegnare agli studenti a ragionare Come insegnare la geometria : 1. Costruire situazioni di ricerca 2. Costruire situazioni di comunicazione 3. Utilizzare strumenti 4. Legare la geometria ad altre discipline

Approccio didattico alla geometria Utilizzare strumenti Spazio reale – strumenti percettivi: la vista, il tatto... Mondo spazio-geometrico Strumenti che aiutano la percezione Spazio geometrico – strumenti di validazione: la teoria

Approccio didattico alla geometria Utilizzare strumenti Quali strumenti? Strumenti tecnologici Cabri II+ Cabri 3D … Giochi didattici Tangram Attrimath Polydron …

Approccio didattico alla geometria Utilizzare strumenti: strumenti tecnologici Cabri II + Permette di : Costruire figure geometriche nel piano, dalle più semplici alle più elaborate, partendo dagli oggetti fondamentali della geometria: punti, rette, segmenti, cerchi, piani, trasformazioni… Esplorare proprietà di una figura agendo sui suoi elementi variabili. Osservare gli effetti di deformazione dinamica. Costruire congetture sulle proprietà geometriche e verificare le relazioni tra oggetti della figura.