Il Problema del Commesso Viaggiatore

Avete mai pianificato un viaggio in piu’ tappe? Quale metodo avete usato per minimizzare la distanza totale percorsa?

Cartina alla mano non sembra cosi’ difficile Cartina alla mano non sembra cosi’ difficile...soprattutto per poche tappe

Mettetevi pero’ nei panni dello staff di Obama e provate a pianificare le tappe della campagna elettorale negli USA...

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Definiamo meglio il problema

Traveling Salesman’s Problem (TSP) Un commesso viaggiatore deve visitare un certo numero di città Conosce la distanza da una città all’altra Vuole determinare il percorso più breve che gli permetta di partire da casa sua e di farvi ritorno dopo aver visitato ogni città una sola volta. Come può fare?

Caratteristiche del problema TSP e’ uno dei problemi matematici piu’ studiati in Informatica Appartiene alla classe dei problemi difficili (NP-hard) La prima formulazione risale al 1857 e all’icosian game inventato dal matematico William Hamilton

Icosian Game (1857) Scopo: trovare un tour lungo gli spigoli di un dodecaedro

Icosian Game: Scacchiera Il tour deve passare una sola volta da ogni nodo E’ un caso molto particolare di TSP!

Forma generale TSP La formulazione generale considera forme geometrie qualsiasi e distanze tra le citta’ Venne introdotta tra gli anni ‘40 e ’50 Nel corso degli anni ha trovato numerose istanziazioni interessanti: logistica e trasporti costruzione di circuiti stampati (pianificazione del percorso del trapano) protocolli di routing DNA sequencing ...

Modelliamo e Studiamo TSP

Quali informazioni ci servono?

Citta’= nodi AOSTA MILANO TORINO GENOVA

Distanze = archi pesati AOSTA 186 MILANO 115 142 140 TORINO 246 169 GENOVA

Modello = Grafo F G 6 8 5 7 A B C D E 9 2 3 4 Nodi=citta Archi=strade Pesi=distanze

Percorso in grafo F G 6 8 5 7 A B C D E 9 2 3 4 A,C,D,E,G,B = percorso con costo 4+2+2+2=12

Ciclo = Percorso chiuso F G 6 8 5 7 A B C D E 9 2 3 4 A,C,D,E,B,A = ciclo con costo 4+2+4+3+6

Ciclo hamiltoniano (Tour) F G 6 8 5 7 A B C D E 9 2 3 4 E’ un ciclo che visita TUTTI i nodi UNA SOLA volta

Percorso non hamiltoniano 6 A B 4 5 3 6 C D 4 2 E 7 9 8 2 F G 6 Non visita tutti i nodi!

Percorso non hamiltoniano 6 A B 4 5 3 6 C D 4 2 E 7 9 8 2 F G 6 A,C,F,D,E,G,E,...,G,E,B,A: G ed E visitati varie volte

TSP come problema sui grafi Dato un grafo G con archi pesati vogliamo calcolare un Ciclo Hamiltoniano di Costo Minimo

Esempio di grafo pesato 2 A B 4 4 5 2 D C 3 Grafo non diretto = costo A,B=costo B,A ...

I Cammino Hamiltoniano 2 A B 4 4 5 2 D C 3 A,C,D,B,A costo 5+3+2+2=12

II Cammino Hamiltoniano 2 A B 4 4 5 2 D C 3 A,B,C,D,A costo 2+4+3+4=13

III Cammino Hamiltoniano 2 A B 4 4 5 2 D C 3 A,C,B,D,A costo 5+4+2+4=16

Come si risolve TSP?

Soluzioni a TSP Trovare una soluzione esatta del problema TSP (cioe’ calcolare un tour minimo) e’ difficile anche per un elaboratore La difficolta’ e’ legata al numero di possibili percorsi che occorre esplorare per calcolare quello minimo

Per capire la difficolta’ del problema ... facciamo due conti Negli USA ci sono 49 stati continentali + un distretto Supponiamo che Obama programmi di fare un solo comizio in ogni stato

Quanti percorsi devo considerare per calcolare il migliore? Partendo da Washington, Obama ha 49 possibili scelte per la prima tappa Fissata la prima tappa, rimangono 48 scelte per la seconda tappa Fissata la seconda tappa, rimangono 47 scelte per la terza tappa ...

Il numero di possibili percorsi tra i quali trovare il piu’ breve e’ 49! = 49 * 48 * ... * 3 * 2 * 1 ... nell’ordine di 1062 cioe’ maggiore del numero di  atomi di cui è composta la Terra

In generale Grafo completo = esiste un arco per ogni coppia di nodi Il numero di cicli hamiltoniani in un grafo completo con n nodi è pari a (n-1)! Il numero di cicli hamiltoniani cresce esponenzialmente col numero dei nodi

Si puo’ veramente risolvere?

Si, e’stato calcolato nel 1954!

Si puo’ fare anche per molte piu’ citta’! Es. 13,509 citta’

Metodi di risoluzione per TSP

Come si puo’ fare? Per poter affrontare questo tipo di problemi dobbiamo necessariamente programmare delle soluzioni su uno o piu’ elaboratori Per calcolare le soluzioni usiamo quindi dei programmi che rappresentano i passi che l’elaboratore deve eseguire (algoritmo) Lo sviluppo di algoritmi per risolvere problemi come TSP e’ uno degli obiettivi principali dell’Informatica

Algoritmo Algoritmo: sequenza di istruzioni che deve eseguire l’elaboratore Si scrivono usando i linguaggi di programmazione Esempi di istruzioni: memorizza ... in ... confronta ... con ... per ogni valore in ... esegui.... - ripeti ... fino a che ... diventa vera

Algoritmi per TSP Algoritmi esatti Applicabili solo a problemi con un numero di città relativamente basso Algoritmi euristici Producono soluzioni probabilmente buone, ma impossibili da provare essere ottimali

Un algoritmo esatto Generate & Test Per ogni permutazione P di [1...N] calcola il costo di C dei pesi sugli archi del ciclo indotto da P se P e’ minore dei precedenti calcolati memorizza il cammino in Min Alla fine Min contiene un ciclo “minimo”

Raffinamento MinD=MAX_INT MinP=nullo Per ogni permutazione P=[i1,....,iN] di [1...N] S=dist(i1,i2)+....+dist(iN,i1) se S < MinD allora MinP=P MinD=S Alla fine MinP contiene tour minimo

Problema Abbiamo visto che per TSP con molte citta’ il numero di possibili percorsi puo’ essere astronomico! Provate a pensare e scrivere un algoritmo euristico... quello che probabilmente usate nei vostri viaggi...

Un Algoritmo Euristico Nearest Neighbour (NN) Partendo da un nodo iniziale scelto a piacere, ci muoviamo sempre verso la citta’ piu’ vicina non ancora visitata L’algoritmo termina quando abbiamo visitato tutte le citta’

Esempio Nearest Neighbour 2 4 4 5 2 D 3 C ...

Algoritmo Nearest Neighbour I = nodo iniziale Fino a che ho ancora nodi da visitare Sia J il nodo non ancora visitato piu’ vicino ad I marco J come visitato proseguo la ricerca ponendo I=J La sequenza dei nodi marcati rappresenta il ciclo hamiltoniano

Osservazioni su NN E’ un algoritmo intuitivo L’algoritmo Nearest Neighbour non da’ sempre la soluzione ottimale (cercare di ottenere un vantaggio immediato non sempre e’ la scelta migliore...) Tuttavia e’ una buona approssimazione dell’algoritmo ottimale

Esistono molti altri algoritmi Algoritmi basati su programmazione intera lineare (LIP) si codifica il problema come un insieme di disequazioni ed una funzione costo si usano euristiche per problemi di LIP Algoritmi genetici ...

Sistemi per risolvere TSP Concorde: http://www.tsp.gatech.edu/ Nel 2004 ha calcolato un tour minimo attraverso 24.978 citta’ in Svezia (72.500 km) Idea: si calcola una soluzione con un algoritmo euristico e poi si controlla che sia ottimale

Uso del calcolo dei percorsi minimi Google map: http://maps.google.it/ Trenitalia: http://trenitalia.it/ AMT: http://www.amt.genova.it/pianifica/calcola_percorso.asp ...

Prima della pratica ... un po’ di esercizi di riepilogo...

Quanti e quali cicli hamiltoniani contiene il seguente grafo? B 2 1 4 5 6 3 1 D 3 C

Applicate l’algoritmo Nearest Neighbour al seguente grafo a partire dal nodo A 6 A B 5 6 4 5 3 4 C D 1 2 E 3 3 9 8 2 F G 6 8

Applicate l’algoritmo Nearest Neighbour al seguente grafo a partire dal nodo E 6 A B 5 6 4 5 3 4 C D 1 2 E 3 3 9 8 2 F G 6 8

Aggiungete pesi (qualsiasi) sugli archi in modo che la soluzione calcolata con l’algoritmo NN a partire dal nodo A non sia quella ottimale A B D C

. Disegnate un grafo nel piano Cartesiano (nodi=punti, pesi sugli archi=distanze tra i punti) per il quale NN non restituisce la soluzione ottimale

Provate a risolvere l’icosian game... Cioe’ a calcolare un tour nel seguente grafo