Corso di Teoria delle Decisioni Esercitazioni Lezione 1 – 15/09/04 Docente: S.Moretti

Paradossi in Teoria delle Decisioni Cosa significa paradosso? Definizione dal dizionario Webster –An apparently sound argument leading to a contradiction. Perche studiarli? Statistical paradox: It is quite possible to draw wrong conclusions from correlation. For example, towns with a larger number of churches generally have a higher crime rate - because both result from higher population.

Paradosso di Simpson A e B reppresentano due farmaci per combattere una malattia terribile. Nel seguente studio sono state considerate 26 persone con tale malattia, alcune sono state trattate con il farmaco A, altre con quello B. I dati raccolti dallo studio sono riportati di seguito 1 uomo trattato con A e guarito. 4 uomini trattati con A non sono guariti. 4 donne trattate con A sono guarite. 5 donne trattate con A non sono guarite. 3 uomini trattati con B sono guariti. 7 uomini trattati con B non sono guariti. 1 donna trattata con B e guarita. 1 donna trattata con B non e guarita.

Farmaco AFarmaco B percentuale di guariti = 1/5=20% percentuale di guariti =3/10=30% percentuale di guariti =4/9=44% percentuale di guariti =1/2=50% Il farmaco B ha una percentuale di guarigione piu alta del farmaco A per gli uomini e il farmaco B ha una percentuale di guarigione piu alta del farmaco A per le donne

Farmaco AFarmaco B percentuale di guariti = 1/5=20% percentuale di guariti =3/10=30% percentuale di guariti =4/9=44% percentuale di guariti =1/2=50% 5 persone sul totale di 14 persone trattate con A sono guarite. percentuale di guariti=5/14=36% 4 persone sul totale di 12 persone trattate con B sono guarite. percentuale di guariti =4/12=33% B ha una percentuale di guarigione piu alta di A per gli uomini B ha una percentuale di guarigione piu alta di A per le donne Ma A ha una percentuale di guarigione piu alta di B sul totale della popolazione

giovani guaritiNon guaritiTotale per riga Tasso di guarigione trattati % Non trattati % vecchi guaritiNon guaritiTotale per riga Tasso di guarigione trattati % Non trattati % combinati guaritiNon guaritiTotale per riga Tasso di guarigione trattati % Non trattati %

Come si spiega il paradosso di Simpson in questo caso? –La spiegazione potrebbe essere: la malattia e molto piu grave nei vecchi che nei giovani, nel senso che la percentuale di guarigione e sempre molto minore nei vecchi che nei giovani, trattati o meno. Inoltre I pazienti trattati (900) sono quasi tutti vecchi(800 su 900, l88.9%). Quindi I pazienti trattati guariscono meno di quelli non trattati non per effetto del farmaco ma semplicemente peche sono piu vecchi. Piu in generale quindi, e buona norma considerare tutta linformazione disponibile sulla situazione da modellizzare per rendersi conto di quali associazioni siano sensate e quali associazioni siano spurie. Open Questions: e sempre possibile seguire questa buona norma? Qual e il modo corretto di procedere per lassunzione di un modello statistico?

Il paradosso di Simpson segue dal fatto che possa essere soddisfatto il seguente sistema: ESERCIZIO 1: Che cosa devono rappresentare le variabili del sistema precedente per spiegare perche ci si puo imbattare nel Paradosso di Simpson (dirlo sullesempio vecchi/giovani)? Nellesempio delle classi di vecchi/giovani e possibile, almeno aritmeticamente, che si presenti il paradosso di Simpson quando il trattamento e efficace sia nei vecchi che nei giovani con una percentuale di guarigione nei trattati del 50% e 95% rispettivamente (modificando opportunamente i dati relativi nelle tabelle in modo che presentino tali percentuali di guarigione)? a/b < A/B, c/d < C/D (a + c)/(b + d) > (A + C)/(B + D).

Una giornata di beneficienza Guadagni Brutto tempo Bel tempo Evento sportivo Festa campale Guadagno dellassociazione benefica senza assicurazione Festa campale Evento sportivo Bel tempoBrutto tempo Guadagni Guadagno dellassociazione benefica con assicurazione (premio 10, copertura 50) Il presidente considera la tabella di sinistra, levento sportivo garantisce almeno 85 mentre la festa puo garantire soltanto 75. Nota quindi che sarebbe meglio scegliere levento sportivo Il presidente considera la tabella di sinistra, levento sportivo garantisce almeno 110 mentre la festa puo garantire soltanto 115. Nota quindi che sarebbe meglio scegliere la festa campale

Una giornata di beneficienza (2) Guadagni Brutto tempo Bel tempo Evento sportivo Festa campale Guadagni Brutto tempo Bel tempo Evento sportivo Festa campale Guadagno dellassociazione benefica senza assicurazione Guadagno dellassociazione benefica con assicurazione (premio 10, policy 50) La segretaria dellassociazione fa notare che non ci sono differenze tra le due tabelle. In entrambi I casi levento sportivo fa guadagnare 10 in piu nel caso di brutto tempo e 30 in meno nel caso di tempo bello. Quindi non e consistente raccomandare levento sportivo sulla base della tabella di sinistra e la festa campale sulla base della tabella di destra.

Una giornata di beneficienza (3) Guadagni Brutto tempo Bel tempo Evento sportivo Festa campale Guadagni Brutto tempo Bel tempo Evento sportivo Festa campale Bisognerebbe considerare la possibilita di perdita di guadagno (o rimpianto) di un opzione, cioe lammontare di denaro perso rispetto lalternativa ottima per la circostanza che si presenta Rimpianti Brutto tempoBel tempoMassimo rimpianto Evento sportivo 030 Festa campale 100

Una giornata di beneficienza (4) Ma allora bisogna organizzare la festa che ha un rimpianto massimo piu piccolo? Vada per la festa campale… Il tesoriere chiede se devono assicurarsi o meno Ci si accorge che in realta ci sono 4 opzioni non soltanto 2. Rimpianti Brutto tempoBel tempoMassimo rimpianto Evento sportivo senza assicurazione 85(40)120(30)40 Festa campale senza assicurazione 75(50)150(0)50 Evento sportivo con assicurazione 125(0)110(40)40 Festa campale con assicurazione 115(10)140(10)10 Si sceglie di fare la festa campale facendo lassicurazione.

Una giornata di beneficienza (5) Il metodo di decisione scelto e detto del minimax rimpianto. Lobiettivo e quello di scegliere lopzione che minimizza il massimo rimpianto. ESERCIZIO 2: Che scelta fareste, sulla base del metodo di minimax rimpianto se vi accorgeste che lassicurazione non e piu valida? Quale tabella utilizzereste per la vostra decisione?

ESERCIZIO 3: Scegliere lopzione ottimale secondo il criterio del minimax rimpianto. Guadagni Brutto tempo Bel tempo Discoteca Gelateria Guadagni Brutto tempo Bel tempo Discoteca Gelateria Da soloIn societa con altri

Indipendenza delle preferenze Si supponga di dover scegliere il proprio pasto da un menu fisso piuttosto limitato quale –Primo polenta oppure spaghetti –Secondo pesce oppure bistecca Si supponga che io faccia la mia scelta assegnando un punteggio ai singoli piatti, sommando i punteggi e quindi scegliendo il pasto che risulta avere il massimo punteggio. Le mie preferenze per i piatti singoli sarebbero –Polenta 10 –Spaghetti8 –Pesce 9 –Bistecca 2

Quindi i 4 possibili menu che ne seguirebbero sono –polenta e pesce 19 –polenta e bistecca12 –Spaghetti e pesce17 –Spaghetti e bistecca10 Sembrerebbe quindi che io preferisca polenta e pesce per il mio pasto. In realta non amo mischiare sapori di mare e con quelli dei monti… La ragione per cui il punteggio totale non rappresenta le mie vere preferenze e che allinizio avevo assunto che le mie preferenze per il secondo fossero independenti da quelle per il primo: non e cosi. Solo quando le preferenze sono indipendenti uno riesce ad ottenerle facendo le somme dei punteggi.

Money pump Perche la TdD da cosi tanta importanza alla transitivita delle preferenze? Il decisore ha preferenze su R X, dove R rappresentano somme di denaro (in euro) e X={mela, arancia, pera} tali che (0,mela) (0,arancia) ; (0,arancia) (0,pera) ; (0,pera) (0,mela) Per quel che riguarda il denaro le preferenze sono standard, maggiore denaro e meglio. Per afferrare meglio lidea, si assume che le preferenze sui frutti rimangano tali anche dietro pagamento di piccole quote di denaro, per esempio (-0.1,mela) (0,arancia) ; (-0.1,arancia) (0,pera) ; (-0.1,pera) (0,mela)

Money pump (2) Se siete cosi fortunati da incontrare un decisore con tali preferenze, accertatevi subito di avere una mela, unarancia e una pera (altrimenti correte a comprarle!) Regalategli unarancia Allora gli si puo dire:guarda io ho una mela, mentre tu hai unarancia. Posso darti una mela purche tu mi dia indietro larancia, insieme a 0.1 euro. In base alle preferenze del decisore, egli desiderera fare lo scambio. Naturalmente, immediatamente dopo si puo ricominciare: hey, io ho una pera... Con questo money pump voi diventere ricchi a spese del decisore... SPUNTO PER LA RIFLESSIONE: Vi e mai capitato di osservare situazioni reali simili o almeno riconducibili in parte al meccanismo della money pump?