Spiegazione di alcuni concetti La probabilità Spiegazione di alcuni concetti

Alcune definizioni In probabilità abbiamo a che fare con eventi, ovvero accadimenti che possono avvenire oppure no, a caso. Si indicano con E; sono eventi diversi E1 ed E2 Un evento è descritto da un enunciato, che può essere vero o falso. “È uscita la pallina rossa alla roulette” “È uscito il 3 nel lancio di un dato” Gli eventi possono essere composti, così come gli enunciati. “È uscito il 3 oppure il 5 nel lancio di un dato”, dove i due enunciati che descrivono i due eventi sono: E1 = “è uscito il 3…”; E2 = “è uscito il 5…”. Due eventi possono essere tra loro incompatibili quando l’accadere dell’uno esclude l’accadere dell’altro; altrimenti sono compatibili. L’evento che esca alla roulette un numero pari è incompatibile con l’evento che esca un numero dispari (ovviamente nello stesso lancio). Al totocalcio che risulti 1 è incompatibile coll’evento che risulti anche X (oppure 2) Alle carte il fatto che esca il 7 è compatibile col fatto che esca un seme di colore rosso. Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi dell’uno non influenza il verificarsi dell’altro. In caso contrario sono dipendenti. Alla roulette i due eventi E1 = “è uscito un numero rosso” ed E2 = “è uscito un numero pari” sono indipendenti, in quanto l’accadere dell’uno o dell’altro non influenza in nulla l’accadere dell’altro.

Alcuni importanti teoremi Probabilità contraria: la somma delle probabilità di un evento E e del suo contrario E è eguale a 1. Se la probabilità che esca un 3 a dadi è di 1/6, allora la probabilità che escano i rimanenti numeri è di 5/6. Per cui si ha che Probabilità totale di eventi incompatibili: la probabilità di due o più eventi incompatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi. Ovvero, in formule: p(E1E2) = p(E1) + p(E2) Probabilità totale di eventi compatibili: la probabilità di due o più eventi compatibili è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità dell’evento intersezione. In formule: p(E1E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1E2)

Probabilità condizionata Si ha la probabilità condizionata quando la probabilità che accada un certo evento E1 è condizionata dal fatto che avvenga un altro evento E2, il che si scrive: p(E1/E2). Ad esempio vogliamo sapere la probabilità che al lancio di due dadi esca la somma di 6 quando su uno dei due dadi esce il numero 2. In questo caso la probabilità di ottenere 6 è condizionata dal fatto che uno dei due dadi dia un due. Per cui si hanno solo due casi: Primo dado 2, secondo dado 4 Primo dado 4, secondo dado 2 La formula che permette di calcolare la probabilità condizionata è la seguente: Ritornando all’esempio di prima, sia E1 l’evento “la somma sulle due facce è 6” ed E2 l’evento “uscita della faccia con numero 2”. Abbiamo così: - la p(E2), cioè che esca almeno un due lanciando i due dadi, è data (per un semplice calcolo combinatorio) da 11/36; - la p(E1  E2), cioè la possibilità che esca una coppia con almeno un numero 2 e che dia per somma il numero 6, è data da 2/36. Per cui, applicando la formula si avrà:

Probabilità composta Dalla formula della probabilità condizionata si ricava la probabilità composta, ovvero la probabilità che due eventi accadano insieme, cioè la probabilità di p(E1E2) Questa si chiama probabilità composta ed è data dalla formula: p(E1E2) = p(E2)  p(E1/E2) (eventi compatibili) p(E1E2) = p(E1)  p(E2) (eventi incompatibili)

Teorema di Bayes Il teorema (o formula) di Bayes nasce da un quesito: se si è verificato l’evento E1, qual è la probabilità che il suo accadere sia stato causato da un altro evento E2? Detto in altri termini, voglio sapere quale sia la probabilità che un certo evento sia stata la causa C di un altro evento E che si è verificato, ovvero voglio conoscere la probabilità di C per l’evento E. Il che si scrive: p(C/E) Il teorema dice che: Nel caso in cui le cause fossero più di una (mettiamo C1, C2 e C3), allora la probabilità che a causare E sia stata ad esempio la causa C2 è data dalla formula più generale:

Un esempio del teorema di Bayes Tenendo presente le formule prima date, facciamo un esempio. Abbiamo due scatole; in quella A ci sono 30 biglie rosse e 15 nere; nella B ci sono 20 biglie rosse e 30 nere. Mi viene consegnata una biglia rossa senza che mi sia detto da quale scatola essa è stata estratta. Io mi domando allora: che probabilità v’è che essa sia stata estratta dalla scatola A? Ovvero, che la causa dell’evento E = “biglia rossa” sia la “scatola A”? I dati sono i seguenti: • Visto che le scatole hanno la stessa probabilità di essere quelle da cui è stata estratta la biglia rossa, allora avremo che: p(CA) = p(CB) = 1/2. • La probabilità che la biglia rossa sia stata estratta dalla scatola A è data da: p(E/CA) = 30/45 = 2/3 • La probabilità che la biglia rossa sia stata estratta dalla scatola B è data da: p(E/CB) = 20/50 = 2/5 Ora possiamo applicare la formula di Bayes e avremo: Ed effettuando le opportune sostituzioni:

Come si calcola tale probabilità? Il valore così trovato non è altro che l’applicazione di quella che si definisce la “probabilità classica”, che è data dal numero dei casi favorevoli su quelli possibili. Ad esempio, nel caso del lancio dei dati la probabilità che esca il 6 è di 1/6, in quanto è un caso favorevole su sei possibili: Dove m indica i casi favorevoli e n quelli possibili. Nel caso delle biglie della scatola A i casi favorevoli sono 30 (il numero delle biglie rosse), mentre i casi possibili sono dati dalla somma delle palline rosse e nere, cioè 30+15=45. E così si ha:

Combinazioni Per comprendere quanto detto prima in merito alla probabilità condizionata, è necessari sapere come si fa un semplice calcolo combinatorio. Prendiamo ad esempio l’insieme A che contiene tre elementi: A = {a, b, c}