Laboratori con le Macchine Matematiche Piacenza 29 Ottobre 2009 Università di Modena e Reggio Emilia 1Autore: F. Martignone

Programma Ripresa del lavoro svolto (con esempi dalle vostre sperimentazioni) Panoramica sugli strumenti interpretativi provenienti dal quadro teorico Focus sulla discussione matematica Attività esplorativa di una nuova macchina 2Autore: F. Martignone

Quali sono gli obiettivi delle attività con le Macchine Matematiche? Fornire un contesto di apprendimento in cui, oltre alla possibilità di mettere il luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana, vengano favoriti i processi: di esplorazione di produzione di congetture di produzione di argomentazioni e costruzione di dimostrazioni 3Autore: F. Martignone

Quali sono le caratteristiche delle macchine matematiche? Quali processi di interazione avvengono tra soggetti e macchine? Analisi della macchina come artefatto Analisi degli schemi d’uso messi in atto durante le attività con le macchine matematiche 4Autore: F. Martignone

Strumento: Artefatto + Schemi d’uso Strumento ArtefattoSchemi d’uso 5Autore: F. Martignone

Utilization schemes sub-family Rabardel distinguishes between usage schemes (oriented towards the management of the tool) and instrumented action schemes (oriented to carry out a specific task) 6Autore: F. Martignone

Utilization schemes functions A scheme has three main functions: a pragmatic function (it allows the agent to do something), a heuristic function (it allows the agent to anticipate and plan actions) and an epistemic function (it allows the agent to understand something) 7Autore: F. Martignone

Struttura delle sessioni di laboratorio Introduzione alle attività e alle macchine matematiche Esplorazione delle macchine svolta in piccoli gruppi (Come è fatta la macchina? Cosa fa? perché lo fa?) Discussione collettiva finale Autore: F. Martignone8

Scheda di esplorazione per gli insegnanti 1.Esplorazione della macchina come artefatto 2.Esplorazione della macchina come strumento (Artefatto+Schemi d’uso) 3.Analisi della legge matematica 4.Proprietà della legge matematica incorporata nella macchina 5.Introduzione del piano cartesiano 9Autore: F. Martignone

Sperimentazioni in classe a.s. 2008/ Autore: F. Martignone

Indicazioni metodologiche 1.Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso 2.Lavoro a piccoli gruppi 3.Verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) 4.Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi 11Autore: F. Martignone

Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso) Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale) Percorso: simmetria assiale e stiramento 12Autore: F. Martignone

Come è fatta la macchina? Cosa fa? Perché lo fa? Produzione di testi descrittivi e argomentativi Discussioni matematiche 13Autore: F. Martignone

Scheda per gli studenti 1.Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?) 2.Individuazione dei punti puntatori/tracciatori (come si usa?) 3.Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?) 4.Costruzione di una procedura che permetta l’individuazione di un punto e del suo simmetrico usando le squadrette. 5.Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina) 14Autore: F. Martignone

15Autore: F. Martignone

Alcuni esempi… Analisi dell’artefatto 16Autore: F. Martignone Descrizione della macchina di un gruppo di studenti del secondo anno di una scuola secondaria di primo grado

Agli stessi studenti, dopo aver usato la macchina per tracciare punti e figure corrispondenti (macchina come strumento) è stato richiesto … Procedura per ottenere punti simmetrici rispetto ad un asse 17Autore: F. Martignone

Un altro esempio… 18Autore: F. Martignone Stesse richieste, altra classe e insegnante

19Autore: F. Martignone

Insegnante 20Autore: F. Martignone

Ruolo dell’insegnate L’insegnate diventa un progettista didattico e un madiatore culturale che stimola e sollecita gli allievi ad un apprendimento critico e problematico per favorire la costruzione di vere e proprie competenze autonome 21Autore: F. Martignone

Insegnante Insegnate 22Autore: F. Martignone

Dove si vuole arrivare? Produzione di testi matematici Autore: F. Martignone23

Procedura per la costruzione di due punti simmetrici rispetto a una retta Dato un punto P e una retta r, si costruisca una retta t passante per P e perpendicolare a r. Questa retta incontrerà r in un punto H. Si individui P’ su t tale che PH=P’H (i due punti sono equidistanti da r). P’ sarà il simmetrico di P rispetto a r. 24Autore: F. Martignone

Relazione tra punti simmetrici rispetto ad una retta P e P’ sono simmetrici rispetto alla retta r, perché r è asse del segmento PP’ 25Autore: F. Martignone

Una possibile definizione di simmetria assiale… Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che lascia fissa la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q tale che il segmento PQ sia perpendicolare ad r ed abbia come punto medio il punto H, piede della perpendicolare condotta da P ad r. Autore: F. Martignone26

Ulteriori consegne… E’ possibile sostituire al rombo articolato una figura geometrica diversa che realizzi la medesima trasformazione? 27Autore: F. Martignone

E se cambiassimo la macchina in un altro modo? 28Autore: F. Martignone

Pantografo per lo stiramento Analizzare elementi in comune con la macchina precedente Comprendere in che cosa questa macchina differisce dalla precedente Individuazione della legge matematica svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) Giustificare perché lo fa (produzione di testi) 29Autore: F. Martignone

Analisi delle proprietà geometriche delle figure trasformate dalle due macchine, (sia quelle mantenute invarianti, sia quelle variabili) come ad esempio: il parallellismo, le lunghezze dei lati… 30Autore: F. Martignone

? 31Autore: F. Martignone

? 32Autore: F. Martignone

Percorso: dalla circonferenza all’ellisse Pantografo per lo stiramentoEllissografo del Delaunay 33Autore: F. Martignone

Dalla circonferenza a… La crf diventa una “crf stirata”  ellisse Con quali proprietà? –Assi di simmetria –Centro di simmetria –Asse minore e asse maggiore –… 34Autore: F. Martignone

Dialettica tra teoria e pratica Attraverso attività con artefatti si può sviluppare una dialettica produttiva tra teoria e pratica in matematica 35Autore: F. Martignone

Lo strumento, visto come mediatore dell'azione dello studente, permette lo sviluppo di una pratica didattica basata sull'esplorazione attiva, sul fare, sulla rielaborazione relativa alle strategie impiegate nella soluzione del compito 36Autore: F. Martignone

Ottica Vygotskiana Strumento di mediazione semiotica: uno strumento può, nell’interazione sociale a scuola, mediare significati relativi ai saperi che vi sono potenzialmente incorporati. Vygotsky L.S. ( ), Pensiero e linguaggio: ricerche psicologiche (ed. L. Mecacci), Bari, Laterza. 37Autore: F. Martignone

Ruolo dell’insegnante: gestione Produzioneindividuale di segni Produzionecollettiva (Discussionematematica) Attività con gli artefatti Ruolo dell’insegnante: progetto Da Bartolini Bussi: Progetto MEDIAZIONE SEMIOTICA – processi di lungo termine Ciclo didattico – elementi minimi sotto la guida dell’insegnante Polifonia di voci articolate su un oggetto – motivo dell’attività di insegnamento - apprendimento 38

La costruzione di significati è strettamente legata alla comunicazione e condivisione delle conoscenze in classe: sia attraverso i lavori in piccoli gruppi di tipo collaborativo o cooperativo sia attraverso lo strumento metodologico della discussione matematica (opportunamente gestito dall’insegnante) 39Autore: F. Martignone

Discussione matematica “Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un oggetto matematico (concetto,problema, procedura, ecc.), che costituisce un motivo dell’attività di insegnamento-apprendimento” (Bartolini Bussi, 1995) 40Autore: F. Martignone

Discussione matematica Insegnante orchestra polifonia di voci : effettuando domande stimolo chiedendo chiarimenti rilanciando idee stimolando la discussione introducendo concetti... 41Autore: F. Martignone

Diversi tipi di discussione 42Autore: F. Martignone

Intesa come quel processo di tutta la classe che risolve un problema dato a parole con l’eventuale supporto di immagini o oggetti Discussione di una soluzione di un problema 43Autore: F. Martignone

Discussione di concettualizzazione Essa può essere introdotta da: domande dirette: “che cosa è un numero, che cos’è un grafico” indirette: “perché molti di voi hanno descritto questo problema come un problema di disegno geometrico?” Questo tipo di discussione è intesa come il processo di costruzione, attraverso il linguaggio, di collegamenti tra esperienze già vissute e di termini particolari della matematica. 44Autore: F. Martignone

Meta-discussione Il momento della definizione dei valori e degli atteggiamenti nei confronti del sapere matematico. Essa può essere introdotta da domande del tipo: “come nascono le figure?”, “perché è importante generalizzare in matematica?” 45Autore: F. Martignone

Discussione di bilancio Intesa come il processo di informazione, analisi e valutazione delle soluzioni individuali proposte ad un problema dato a parole, con l’eventuale supporto di oggetti o immagini, o nel corso di una discussione orchestrata dall’insegnante 46Autore: F. Martignone

Esempio di discussione di bilancio 47Autore: F. Martignone

48 Disegna un cerchio di raggio 4 cm tangente ai cerchi dati [sono disegnati due cerchi di raggi 2 cm e 3 cm, con distanza tra i centri di 7 cm]. Spiega chiaramente il metodo che utilizzi in modo che altri possano usarlo. Spiega con cura perché il metodo funziona. Autore: R.Garuti 1. Un problema di costruzione geometrica Soluzione Metodo Giustificazione Es. DISCUSSIONE DI BILANCIO

49Autore: F. Martignone Testi individuali utilizzati per il confronto durante la discussione matematica [Canio] Ho aperto il compasso di 4 cm e ho cercato il punto adatto per poter combaciare i due cerchi con quello costruito dal sottoscritto. Ho unito i tre punti e ho trovato un triangolo. Il mio metodo funziona perché è stato fatto regolarmente, con tutti e tre i punti esatti. Procedimento per tentativi giustificato empiricamente. Soluzione Autore: Garuti

50Autore: F. Martignone [Francesco] Procedimento:traccio una riga che passi da A e B partendo da A traccio un raggio che si prolunga al di fuori della circonferenza lungo 7 cm (somma dei raggi). Partendo da b traccio un raggio che oltrepassa la circonferenza che sia di 6 cm (somma dei due raggi). Sposto i raggi fino a trovare il loro punto di incontro che poi sarà il centro del cerchio tangente. Il mio metodo funziona perché la misura dei due segmenti è uguale alla somma dei due raggi e i punti di tangenza sono allineati con i centri. Il metodo si basa su considerazioni teoriche che però non si concretizzano nella soluzione con il compasso Metodo Giustificazione Autore: Garuti

51Autore: F. Martignone [Annalisa] Per disegnare un cerchio di raggio 4 tangente agli altri due ho proceduto in questo modo ho unito con una retta A e C punto in C e apro il compasso della lunghezza della somma dei raggi (2+4=6) e traccio un archetto; punto in C e apro il compasso della somma dei raggi (4+3=7) e traccio un arco che si incroci con quello di prima; trovo così il punto B che sarà il centro del cerchio che devo costruire. Sono sicura che il cerchio che ho costruito è tangente perché AKB e CHB sono allineati e AK+KB=AB e CH+HB=CB Costruzione geometrica giustificata utilizzando proprietà note. Metodo Giustificazione Soluzione Autore: Garuti

52Autore: F. Martignone 1° Stralcio di discussione: i tentativi 1.P- Sono stati utilizzati metodi diversi ad esempio Canio ha usato un metodo…vuoi parlarne? 2.Canio- Io non ho usato un metodo, l’ho fatto a caso 3. P- sei sicuro? 4.Canio- proprio a caso no, sono andato per tentativi sempre più vicino 5. Simone- ma quello non è un metodo, perché non dice esattamente cosa fare 6. Francesco- anch’io ho fatto per tentativi, ho aperto il compasso della somma dei raggi e spostavo le linee finchè non si toccavano. Quando si toccavano quello era il centro del cerchio tangente 7. P- Anche Canio apriva il compasso della somma dei raggi? 8. Canio- No, io non ci ho neanche pensato 9. Annalisa - Francesco va per tentativi perché muove i raggi finchè non si incontrano, però è diverso da Canio… […]... Autore: Garuti

26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio? 27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi 28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi. 29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto d’incontro.. 2° Stralcio di discussione: l’emergere della teoria Teoria 53Autore: Garuti

26. Giulio- Vorrei chiedere a Francesco se ha fatto la misura che esce dai cerchi di 4 perché 4 cm era il raggio? 27.Francesco- io, sapendo che il cerchio che dovevo costruire doveva essere tangente agli altri due e il suo raggio era di 4 cm..io insomma sapevo che in due cerchi tangenti la distanza è uguale alla somma dei raggi 28. Canio- Insomma lui in più di me sapeva che doveva venire la somma dei raggi. 29. Francesco- Solo che non sapevo come fare per trovare con precisione quel punto d’incontro.. 2° Stralcio di discussione: l’emergere della teoria Teoria 54 Autore: Garuti

3° Stralcio di discussione: l’abduzione 40- Giulio- io subito ho fatto come Canio, per tentativi poi, una volta disegnato ho trovato il metodo. 41- Voci- Anch’io, anch’io… 42-P- Spiegate meglio 43- Giulio- Ho fatto per tentativi, quando l’ho disegnato [il cerchio] ho collegato i tre centri e ho lavorato sulla lunghezza dei raggi.Giulio- 44- P- Cosa vuol dire? 45- Giulio- Ho misurato e ho visto che erano 4+2 e 4+3, allora ho capito che c’entrava la somma dei raggi 46- Annalisa- Io ho fatto uguale, però io ho usato il compasso 47- P- In che senso? 48 — Annalisa- Prima l’ho disegnato a mano poi ho aperto il compasso tra i centri e ho misurato e ho visto che era la somma dei raggi e poi mi sono accorta che il punto nuovo doveva essere distante 7 dal primo centro e 6 cm dal secondo e allora ho pensato di usare il compasso prima da una parte e poi dall’altra per trovare quel punto Abduzione 55 Autore: Garuti

52-P- Francesco ti dice niente, questo? 53- Francesco- Ecco come dare la giusta inclinazione ai due segmenti, col compasso! 4° Stralcio di discussione: lo strumento 56 Strumento Autore: Garuti

88- Federico- Io ho fatto come Sara e Annalisa però poi ho notato una cosa diversa.. posso venire alla lavagna? … 89.- Federico- ho tracciato questa linea che va dal centro del cerchio dato al centro di quell’altro dato, poi ho cercato di trovare con le perpendicolari la metà, ma non andava bene, allora ho pensato che in Tecnica ci aveva fatto fare la costruzione dei triangoli con il compasso e allora ho visto che con i tre cerchi ho tre linee e che quindi si tratta di un triangolo. 89-P- In altre parole tu hai ricondotto il nostro problema a un altro problema: come trovare il terzo vertice di un triangolo avendo due lati e la misura del terzo lato. 4°Stralcio di discussione: trasformazione Abduzione 57Autore: Garuti

58 METODO 1 Apri il compasso di r+r1 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del primo cerchio; 2 Apri il compasso di r+r2 e traccia un archetto puntando il compasso sul centro del secondo cerchio, 3 il punto di incontro è il cerchi del centro tangente GIUSTIFICAZIONE Il metodo funziona perché il centro del cerchio tangente ha una distanza dagli altri due centri uguale alla somma dei raggi (condizione di tangenza) ENUNCIATO Se il centro del cerchio disegnato è distante dal primo cerchio come la somma dei loro raggi e dal centro del secondo cerchio come la somma dei loro raggi, allora il cerchio disegnato è tangente agli altri due. Testo collettivo Autore: Garuti

1.ANALISI A PRIORI 2.PREDISPOSIZIONE DELLA DISCUSSIONE SCELTA DEL CONCETTO PER DISCUSSIONE DI CONCETTUALIZZAZIONE SCELTA DEL PROBLEMA PER DISCUSSIONE DI SOLUZIONE SCELTA DEI PROTOCOLLI PER DISCUSSIONE DI BILANCIO 1.GESTIONE DELLA DISCUSSIONE (regole, rispecchiamento,..) 2.ISTITUZIONALIZZAZIONE FASI 59

ARTEFATTO/STRUMENTO OTTICA VYGOTSKIANA LABORATORIO DI MATEMATICA DISCUSSIONE MATEMATICA 60Autore: F. Martignone

Attività Una nuova macchina… 61Autore: F. Martignone

Domande cruciali Come è fatta? Cosa fa? Perché lo fa? 62Autore: F. Martignone

Scheda Parte pubblicaParte “privata” Autore: F. Martignone63

AL LAVORO! ( 20’) 64Autore: F. Martignone

- due punti fissi - aste di uguale lunghezza (a due a due) - le figure che formano le aste -…….. 1. Come è fatta la macchina? 65Autore: F. Martignone

- Secondo la scelta dei punti tracciatori… -……. 2. Cosa fa la macchina? 66 Autore: F. Martignone

-I punti esterni (non fissi) godono della proprietà… -Il punto centrale durante il movimento mantiene la proprietà … 3. Perché lo fa? 67Autore: F. Martignone

3. Perché lo fa? I triangoli ABC e ADC sono congruenti perché hanno tre lati congruenti (AC in comune e CB=AD perché aste congruenti e lo stesso per AB e CD congruenti per costruzione). Allora gli angoli ACB e DAC sono congruenti (corrispondenti nei due triangoli ) e quindi CPA è un triangolo isoscele; da questo segue che AP e CP sono congruenti. Quindi AP+ PB= CP+PB= lunghezza asta AD che è costante. Dimostrare che AP+PD è costa nte 68Autore: F. Martignone

4. Cosa succederebbe se …? -Se sposto i due punti fissi ottengo sempre una ellisse? -…. 69Autore: F. Martignone

Diversi possibili tipi di discussione Discussione di un problema 1.Discussione di soluzione 2.Discussione di bilancio (vedi tre cerchi) Discussione di concettualizzazione 70Autore: F. Martignone

1.SVOLGERE UN’ANALISI A PRIORI 2.PREDISPORRE LA DISCUSSIONE SCELTA DEL CONCETTO PER DISCUSSIONE DI CONCETTUALIZZAZIONE SCELTA DEL PROBLEMA PER DISCUSSIONE DI SOLUZIONE SCELTA DEI PROTOCOLLI PER DISCUSSIONE DI BILANCIO 1.ORCHESTRARE LA DISCUSSIONE 2.ISTITUZIONALIZZARE Organizzazione 71

Discussione matematica Insegnante orchestra polifonia di voci : effettuando domande stimolo chiedendo chiarimenti rilanciando idee stimolando la discussione introducendo concetti... 72Autore: F. Martignone

Grazie e Buon lavoro! 73Autore: F. Martignone

Per approfondimenti... 74Autore: F. Martignone

Bartolini Bussi M., Boni M., Ferri F. (1995), Interazione sociale e conoscenza a scuola, rapporto tecnico n. 10, Centro di Documentazione Educativa, Modena. BARTOLINI BUSSI M.G. (1996). Mathematical Discussion and Perspective Drawing in Primary School EDUCATIONAL STUDIES IN MATHEMATICS. vol. 31 pp Bartolini Bussi, M.G. (1998), Verbal Interaction in Mathematics Classroom: a Vygotskian Analysis, in Steinbring H., Bartolini Bussi M. & Sierpinska A. (eds.), Language and Communication in the Mathematics Classroom, Reston VA: NCTM, La discussione matematica 75Autore: F. Martignone

Alcuni studi sull’uso di strumenti in didattica della matematica Bartolini Bussi M.G. & Mariotti M.A. “Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij” Maschietto, M. & Martignone, F. “Attività con le Macchine Matematiche”. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol.32° A-B N.3 maggio-giugno 2009 Bartolini Bussi, M.G., Maschietto M., (2006) Macchine matematiche: dalla storia alla scuola, Collana Convergenze. Milano: Springer; N.3 76Autore: F. Martignone

Laboratorio in ambito matematico scientifico La Matematica per il Cittadino Matematica2001, Matematica2003-Matematica2004, scaricabili dal sito “Il Laboratorio matematico-scientifico: suggerimenti ed esperienze”, Innovazione Educativa inserto allegato n. 8 a cura di R. Garuti, A. Orlandoni, R. Ricci, Ottobre 2006, IRRE Emilia Romagna 77Autore: F. Martignone