(sommario delle lezioni in fondo alla pagina) Informatica Generale Marzia Buscemi IMT Lucca email: buscemi@di.unipi.it Ricevimento: Giovedì ore 16.00-18.00 presso Dipartimento di Informatica, Largo Pontecorvo 3 stanza 306 PS (lab. Global Computing) Tel. 050.2213102 o per posta elettronica Pagina web del corso: http://www.di.unipi.it/~buscemi/IG07.htm (sommario delle lezioni in fondo alla pagina) dddd

La scorsa volta abbiamo visto... Cos’è la Logica di Boole Come rappresentare funzioni logiche mediante tavole di verità e in termini di AND-OR-NOT Come si ridurre funzioni logiche attraverso l’uso delle Mappe di Karnaugh Degli esempi di semplici funzioni logiche (bit di parità, contatore di bit, sommatore, ...)

Algebra di Boole Insieme di regole algebriche della logica binaria che stanno alla base del funzionamento dei calcolatori È costituita da: un insieme di variabili booleane A,B,C,... che possono assumere solo i valori 1 (vero) o 0 (falso). un insieme di funzioni (operazioni) che operano sulle variabili di input e danno delle variabili di output un insieme di leggi (assiomi) che definiscono le proprietà delle funzioni.

Algebra di Boole Le tre funzioni principali sono: AND (*): congiunzione logica A*B (AB) è vera se sia A sia B sono vere OR (+): “oppure” A+B è vera se almeno uno tra A e B è vero NOT ( ¯ oppure ¬ ): negazione Ā è vera se A è falsa

Tavole di verità Le tavole di verità servono a visualizzare i valori assunti dalle funzioni a partire da tutti i possibili valori delle variabili. A B A*B 1 A B A+B 1 A Ā 1 A partire da AND OR e NOT si possono ottenere tutte le funzioni che si scrivono con le tavole di verità.

Mappa di Karnaugh 1 ¬B¬C¬D AB 00 01 11 10 CD 00 01 11 AD 10 CD 00 01 11 10 CD 1 00 01 11 10 AD CD La funzione risultante è data dall’OR di tutti i gruppi: ¬B¬C¬D + AD + CD

Esercizio Scrivere le mappe di Karnaugh e le (eventuali) funzioni ridotte per ciascuna delle variabili di output della funzione incremento che, dato un numero x a 3 bit dà in output il numero x+1 a 4 bit: incr(x2,x1,x0) = (y3,y2,y1,y0)

Funzioni NAND e NOR NAND: ¬(A*B) vera quando A*B è falsa NOR: ¬(A+B) vera quando A+B falsa Universalità di NAND (risp. NOR): AND, OR and NOT possono essere rappresentate usando unicamente NAND (risp. NOR).

Proprietà delle funzioni logiche p. commutativa A*B = B*A A+B = B+A p. associativa (A*B)*C = A*(B*C) (A+B)+C = A+(B+C) p. distributiva A*(B+C) = (A*B)+(A*C) A+(B*C) = (A+B)*(A+C) leggi di idempotenza e complementazione 0+A=A 0*A=0 1+A=1 1*A=A A+A=A A*A=A ¬(¬A)=A A + ¬A = 1 A* ¬A = 0 leggi di De Morgan A*B = ¬((¬A)+(¬B)) A+B = ¬((¬A)*(¬B))

Uso delle proprietà per ridurre le funzioni logiche Un metodo alternativo alle mappe di Karnaugh consiste nell’applicare le proprietà viste. Es.: (A*(B + C)) + (¬A + ¬B) = A*B + A*C + ¬(A*B) = (A*B) + ¬(A*B) + A*C = A*C + 1 = 1 Esercizio: ridurre la funzione rappresentata dalla mappa di Karnaugh data in precedenza È un metodo poco intuitivo. Può essere utile quando le variabili sono molte (es. più di 6) e le mappe di Karnaugh diventano difficili da scrivere

Circuiti logici permettono l’elaborazione dei dati in un calcolatore (esecuzione di operazioni, etc.) realizzano elettronicamente il comportamento delle funzioni dell’algebra booleana sono di due tipi: circuiti combinatori (output solo in funzione dell’input, non hanno memoria del passato) circuiti sequenziali (output in funzione dell’input e dello stato precedente, hanno memoria del passato)

Circuiti combinatori Porte logiche o gate: realizzano elettronicamente le funzioni logiche elementari Circuiti combinatori: si ottengono collegando più porte logiche e realizzano funzioni complesse. AND OR NOT A B A A*B A+B A ¬A B NAND NOR A B A ¬(A*B) ¬(A+B) B

Circuti combinatori (2) Esercizio 1: far vedere come le porte logiche AND, OR e NOT si possono descrivere usando solo porte NAND. Esercizio 2: far vedere come una funzione in forma AND-OR (es. AB + CD) può essere descritta da un circuito che utilizza solo porte NAND. Provare anche con X-OR.