Esercizio n.19 Ripetere l’esercizio 17 ma considerando anche la presenza di un attrito che si manifesta come una forza F A =  v dove  = 1 è il coefficiente d’attrito e v la velocità del corpo. Trattare il problema in coordinate cartesiane, considerando condizioni iniziali: x(0) = 1 ; y(0) = 1; (dx/dt) t = 0 =  0.5 ; (dy/dt) t = 0 = 0 e ricordando che l’energia potenziale gravitazionale è U(x,y) = m  2 r 2 /2 dove r 2 = x 2 + y 2 e  = 4  G  /3 = 1. Confrontare con la soluzione analitica e commentare il risultato numerico, applicando, con uno ‘step’  t = 2  /50, a) il leap-frog in t = [0,2  ] b) il leap-frog in t = [0,4  ] (che cosa succede alla soluzione numerica?) c) il leap-frog modificato con “correzione” applicata a n = 10 e n = 20

Soluzione n.19 E’ un sistema di due equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti del secondo ordine, la cui soluzione analitica, essendo  >  /(2m), si può scrivere: x(t)=Ae  t cos(  t + B) ; dx/dt =  Ae  t [  cos(  t + B) +  sin(  t + B)] y(t)=Ce  t cos(  t + D) ; dy/dt =  Ce  t [  cos(  t + D) +  sin(  t + D)] con  =  /(2m) e  = (  2   2 ) 1/2

Soluzione n.19 Analogamente per la y con C e D al posto, rispettivamente, di A e B. Dalle condizioni iniziali del problema ed essendo  = 1,  = 1,  =  /(2m) = 1/2, e  = (  2   2 ) 1/2 = (3/4) 1/2, abbiamo: A = 1; B = 0; C = (4/3) 1/2 ; D =   /6

Soluzione n.19 Trasformiamo le (19.1) in un sistema di equazioni diff. del primo ordine!

Soluzione n.19a Metodo Leap-frog t = [0,2  ]  t = 2  /50 x n = x(n  t); y n = y(n  t) v x (n) = v x (n  t); v y (n) = v y (n  t) x 0 = 1; v x (0) =  1/2; y 0 = 1; v y (0) = 0; x 1 = x 0 + v x (0)  t v x (1) = v x (0)  [  2 x 0 + (  /m) v x (0) ]  t x n +1 = x n  1 + 2v x (n)  t v x (n +1) = v x (n  1)  [  2 x n + (  /m) v x (n) ]  t analogamente per la y, v y Soluzione analitica: X(t)=e  t/2 cos[(3/4) 1/2 t] Y(t)= (4/3) 1/2 e  t/2 cos[(3/4) 1/2 t   /6]

Soluzione n.19b Metodo Leap-frog t = [0,4  ]  t = 2  /50 x n = x(n  t); y n = y(n  t) v x (n) = v x (n  t); v y (n) = v y (n  t) x 0 = 1; v x (0) =  1/2; y 0 = 1; v y (0) = 0; x 1 = x 0 + v x (0)  t v x (1) = v x (0)  [  2 x 0 + (  /m) v x (0) ]  t x n +1 = x n  1 + 2v x (n)  t v x (n +1) = v x (n  1)  [  2 x n + (  /m) v x (n) ]  t analogamente per la y, v y Soluzione analitica: X(t)=e  t/2 cos[(3/4) 1/2 t] Y(t)= (4/3) 1/2 e  t/2 cos[(3/4) 1/2 t   /6]

Soluzione n.19c Metodo Leap-frog “modificato” (vedi pag. 342) t = [0,4  ]  t = 2  /50 x n +1 = x n  1 + 2v x (n)  t v x (n +1) = v x (n  1)  [  2 x n + (  /m) v x (n) ]  t per n = 10 si sono usati invece i valori “corretti” definiti come segue, per poi “ripartire” normalmente da n = 12 lo stesso per y e v y

Soluzione n.19c Metodo Leap-frog “modificato” (vedi pag. 342) t = [0,4  ]  t = 2  /50 x n +1 = x n  1 + 2v x (n)  t v x (n +1) = v x (n  1)  [  2 x n + (  /m) v x (n) ]  t per n = 10 e n = 20 si sono usati i valori “corretti” definiti come segue, per poi “ripartire” normalmente da n = 12 e 22 rispettivamente. lo stesso per y e v y