Proposte didattiche di Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura, Bellinzona

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Educazione al pensiero combinatorio nella scuola media

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Problema 1: La castagnata Supponiamo che nel mese di ottobre una scuola media voglia organizzare nel piazzale della pallacanestro l’annuale castagnata e che tutto quanto attiene all’organizzazione degli spazi venga assegnato come compito ad una classe di prima media. Ecco la pianta del piazzale: rete metallica alta accesso possibile

Problema 1: La castagnata All’interno del piazzale vengono collocati i fornelli che servono a cuocere le castagne e delle transenne per evitare ammassamenti di gente. Le transenne vengono fornite dal comune e sono tutte uguali. Un fornello ha il diametro uguale alla metà della lunghezza di una transenna. Sono a disposizione 8 fornelli. transenna fornello È aperto il concorso di idee.

Problema 1: La castagnata Ecco le due migliori soluzioni trovate dagli allievi e classificate ex-aequo al primo posto (l'unità di misura è la lunghezza di una transenna): soluzione di Giorgio soluzione di Carla

Problema 1: La castagnata Esistono altre soluzioni? Ogni soluzione corrisponde a una delle possibili scomposizioni additive del numero 6 (tralasciando l'addendo zero). Sono quindi: 1+1+4 1+2+3 1+3+2 1+4+1 2+1+3 Carla Giorgio 2+2+2 2+3+1 3+1+2 3+2+1 4+1+1 Sono 10: altre non ne possono esistere.

Problema 2: Le gesta di Guglielmo l'arciere Guglielmo si appresta ad eseguire due tiri su questo bersaglio: Se si sommano i punti ottenuti da Guglielmo nei due tiri, quali risultati si potrebbero ottenere? (Attenzione: il nostro arciere è molto bravo, perciò colpisce sempre il bersaglio.)

Problema 2: Le gesta di Guglielmo l'arciere Soluzione I risultati ottenibili sono quindi: 30, 40, 50, 75, 85, 115, 120, 125, 160, 200. Sono 10: altri non ce ne sono.

Problema 3: Le confezioni regalo del cantiniere Un cantiniere ha a disposizione tre partite di bottiglie di vino: una di bianco (B), una di rosso (R) e la terza di spumante (S). Deve preparare confezioni regalo, ciascuna contenente quattro bottiglie. Quanti tipi diversi di confezioni può allestire?

Problema 3: Le confezioni regalo del cantiniere Soluzione Il cantiniere può preparare al massimo 15 confezioni diverse.

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Problema 4: Costruiamo parallelepipedi rettangoli Con 30 cubetti congruenti, quanti diversi parallelepipedi si possono costruire? Per esempio, con 6 cubetti… … si possono fare 9 parallelepipedi: (1,2,3) (1,3,2) (2,3,1) (2,1,3) (3,1,2) (3,2,1) (6,1,1) ; (1,6,1) ; (1,1,6) Sono 9: altri non ce ne sono.

Problema 5: 778˚ Quesito con la Susi (adattato) Susi: E che età hanno, Gianni, i tre figli di quella coppia? Gianni: Scoprilo tu, Susi! Le tre età, considerate in anni interi, moltiplicate fra loro, danno 40. Susi: E no, non mi basta sapere questo, per trovarle. Gianni: Beh… se invece le sommi, le tre età, ottieni esattamente l'ora che i nostri orologi segnano in questo momento. Susi: Ehm… non mi basta ancora: sii più preciso. Gianni: E allora sappi che il più piccolo è un maschio.

Problema 5: 778˚ Quesito con la Susi (adattato) Soluzione Il prodotto delle tre età è 40, perciò i casi possibili sono: unica soluzione La somma delle età è un’ora (tra 0 e 24)… … ma non basta! Il minore è maschio.

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Problema 6: Campeggio Estate Mare È suddiviso in quattro zone: - la Zona Blu, con i posti numerati da 0 a 53 - la Zona Rossa, con i posti numerati da 54 a 103 - la Zona Verde, con i posti numerati da 104 a 163 - la Zona Gialla, con 48 posti numerati a partire dal 164.

Problema 6: Campeggio Estate Mare Quanti posti ha il campeggio? Che numero porta l’ultimo posto della Zona Gialla?

Problema 6: Campeggio Estate Mare L’agenzia SETTEBELLO vuole prenotare per il prossimo anno tutti i posti il cui numero è divisibile per 7. Quanti e quali posti riserverà?

Problema 7: Vacanze in montagna Sono stato in montagna dal 3 al 17 di agosto… … cioè, quanti giorni in tutto? Di solito si risponde così: 17 – 3 = 14; sono stato 14 giorni. È la sola risposta possibile? È la migliore? Occorrerebbe sapere se i giorni 3 e 17 sono stati di vacanza come gli altri, oppure se sono stati giorni di viaggio. Già, perché viaggiare oggi non è proprio fare vacanza…

Problema 7: Vacanze in montagna Se anche il 3 e il 17 sono stati giorni di vacanza… … allora i giorni di vacanza sono stati: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17 cioè 15 giorni esatti. Se il 3 e il 17 sono stati giorni di viaggio… … allora i giorni di vacanza sono stati: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 Cioè 13 giorni esatti. 15 e 13 sono due risposte pertinenti, anzi più credibili di 14. Già, perché per ottenere 14 occorrerebbe fare in modo che si viaggi il 3 e non il 17, oppure il 17 e non il 3; oppure ancora mezzo 3 e mezzo 17 (?!)

Problema 8: Quanti paletti? Lungo un viale di 500 metri si vogliono mettere dei paletti, uno ogni 10 metri. Quanti ce ne vogliono? 1 2 3 ? 500 : 10 = 50; ci vogliono 50 paletti? No! Se il viale fosse lungo 20 metri, ce ne vorrebbero 3, cioè (20:10) + 1. Il viale è lungo 500 metri, perciò (500:10) + 1 = 51 paletti.

Problema 8: Quanti paletti? Lungo il contorno di un terreno rettangolare di 50 metri per 30 metri si vogliono mettere dei paletti, uno ogni 10 metri. Quanti ce ne vogliono? In questo caso la soluzione corretta è la più scontata: Perimetro = 160 m Numero paletti: 160:10 = 16

Problema 8: Quanti paletti? Lungo il contorno di un terreno rettangolare di 50 metri per 30 metri si vogliono mettere dei paletti, uno ogni 10 metri. Questa volta, però, in ciascuno dei quattro vertici c’è già un palo. Quanti paletti occorrono? La soluzione corretta è 12 paletti. Si può ottenere anche così (160:10) – 4 = 12

Problema 8: Quanti paletti? E se il terreno fosse pentagonale (regolare), con il lato di 30 metri, quanti paletti ci vorrebbero per cintarlo, posto che se ne metta uno ogni 10 metri? La soluzione corretta è 15. Si può ottenere anche così: (30:10) · 5 = 15 E se in ciascuno dei 5 vertici ci fosse già un palo, quanti paletti occorrerebbero? (30:10) · 5 – 5 = 10

Problema 8: Quanti paletti? E se il terreno avesse la forma di un poligono (regolare) di n lati, con il lato di a metri, quanti paletti ci vorrebbero per cintarlo, posto che se ne metta uno ogni d metri? La soluzione corretta è : (a:d) · n E se in ciascuno degli n vertici ci fosse già un palo, quanti paletti occorrerebbero? (a:d) · n – n

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Problema 9: Numeri quadrati Ecco come inizia la successione dei numeri quadrati: I II III IV V … 1 4 9 16 25 Qual è il sesto numero quadrato? 36 = 6 · 6 Qual è decimo numero quadrato? 100 = 10 · 10 Troppo facile…

Problema 9: Numeri quadrati Prendiamo ad esempio il numero quadrato 25: Può essere ottenuto addizionando i primi 5 numeri dispari… 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 · 5 Quanto vale la somma dei primi 100 numeri dispari? 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k–1) + … + 199 = 100 · 100 = 10000

Problema 10: Numeri triangolari Ecco come inizia la successione dei numeri triangolari: I II III IV V … 1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 Qual è il decimo numero triangolare? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 E il centesimo? (1 + 100) · 100 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = = 5050 2

Problema 10: Bipiante matematiche Ecco alcuni esemplari di bipiante matematiche gemma ramo bipianta di 2 anni bipianta di 1 anno bipianta di 3 anni È possibile sapere quanti rami e quante gemme ha una bipianta di 10 anni, senza disegnarla?

Problema 10: Bipiante matematiche 1 anno 2 anni 3 anni ramo gemma anni rami gemme 1 1 1 2 1+2=3 2 3 1+2+4=7 22=4 4 1+2+4+8=15 23=8 5 1+2+4+8+16=31 24=16 … … … n 1+2+4+…+2n–1= 2n–1 2n–1

Problema 11: Radici delle bipiante radice di 1 anno radice di 2 anni radice di 3 anni radichetta anni no. radichette 1 2 2 6 = 2 + 4 3 14 = 2 + 4 + 8 4 30 = 2 + 4 +8 + 16 5 62 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 … ………………………… n rn = 21 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1– 2

Problema 12: Giuseppe l’ortolano Deve bagnare ogni giorno le aiuole; l’innaffiatoio contiene la quantità necessaria di acqua per una singola aiuola. Ecco la pianta del suo orto, con indicate le misure necessarie (letterali). fontana b 1 2 3 4 b a a a a a Alla fine dell’operazione, Giuseppe è stanco: vuole sapere che distanza ha percorso, in totale, col suo innaffiatoio.

Problema 12: Giuseppe l’ortolano Per bagnare le aiuole, Giuseppe compie il percorso seguente: fontana 1

Problema 12: Giuseppe l’ortolano Lunghezza del percorso in funzione del numero di aiuole da bagnare: no. aiuole lunghezza percorso 1 4 a + 2 b 2 10 a + 4 b 3 18 a + 6 b 4 28 a + 8 b E se le aiuole fossero n?

Problema 12: Giuseppe l’ortolano Lunghezza del percorso in funzione del numero di aiuole da bagnare: aiuola singola coeff. di a coeff. di b I 2 · 1 + 2 2 II 2 · 2 + 2 2 III 2 · 3 + 2 2 … … … (n) 2 · n + 2 2 coeff. di a = 2 · (1 + 2 + … +n) + 2 n = (n + 1) · n = 2 · + 2 n = n3 + 3 n 2 coeff. di b = 2 · n Percorso totale = (n2 + 3 n) · a + 2 n · b

Problema 13: Il cubo dipinto Con n3 cubetti unitari si possono costruire dei cubi più grandi. Per esempio, con 27 cubetti unitari si può fare questo cubo:

Problema 13: Il cubo dipinto Ecco tre di questi cubi costruiti con 8, 27, 64 cubetti unitari. La superficie di questi grandi cubi è stata dipinta di rosso. Quanti cubetti unitari rimangono bianchi? Quanti cubetti hanno una sola faccia dipinta di rosso? Quanti hanno due sole facce dipinte di rosso? Quanti tre? Quattro? …

Problema 13: Il cubo dipinto n 0 facce 1 faccia 2 facce 3 facce tot. 2 0 0 0 8 8 3 1 6 · 1 1 · 12 8 27 4 8 6 · 4 2 · 12 8 64 5 27 6 · 9 3 · 12 8 125 … … … … … … n (n–2)3 6 · (n–2)2 (n–2) · 12 8 n3

Problema 13: Il cubo dipinto n 0 facce 1 faccia 2 facce 3 facce tot. n (n–2)3 6 · (n–2)2 (n–2) · 12 8 n3 Un buon esercizio di calcolo letterale consiste nel verificare l’identità contenuta nella riga precedente, cioè: Con un foglio elettronico, otteniamo per esempio:

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Problema 14: Quanti anagrammi? Quanti anagrammi possiede la parola PROBLEMA? Vi sono 8 posti nei quali collocare le 8 lettere, per esempio: B R O M A L P E Per collocare la prima lettera (P), vi sono 8 possibilità: P R R R P R P R P R P P R P P P R Per ciascuna di queste 8, ve ne sono 7 per collocare la seconda lettera (R). In totale, per collocare le prime due lettere (P,R) ci sono 8 · 7 = 56 possibilità Per inserire le prime tre lettere vi sono 8 · 7 · 6 = 336 possibilità

Problema 14: Quanti anagrammi? Per inserire le prime quattro lettere vi sono 8 · 7 · 6 · 5 = 1680 possibilità e così via… Per inserire le 8 lettere di PROBLEMA vi sono 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320 possibilità Questo numero si chiama fattoriale di 8 e si scrive: 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 I fattoriali di un numero n crescono fortemente al crescere di n: Ogni allineamento di n oggetti si chiama permutazione.

Problema 14bis: Quanti anagrammi? Quanti anagrammi possiede la parola TATTO? La novità è la presenza di tre lettere uguali (T).Eccoli tutti: AOTTT ATOTT ATTOT ATTTO OATTT OTATT OTTAT OTTTA TAOTT TATOT TATTO TOATT TOTAT TOTTA TTAOT TTATO TTOAT TTOTA TTTAO TTTOA Se le 5 lettere fossero tutte diverse, avremmo 5! = 120 anagrammi. Invece ne abbiamo solo 20, cioè 120:6, proprio perché in realtà ciascun anagramma ne rappresenta 6 = 3!, cioè tutti quelli che si possono ottenere scambiando di posto le 3 lettere T.

Problema 14bis: Quanti anagrammi? Quindi la parola TATTO possiede: 5! 120 = = 20 anagrammi 3! 6 E la parola MAMMA, quanti anagrammi possiede? Ci sono 3 M e 2 A, quindi: 5! 3! 5! 120 = = = 10 2! 12 2! 3! In generale, se la parola è di n lettere, delle quali k si ripetono m1, m2, m3,…,mk volte, il numero di anagrammi è: n! m1! · m2! · m3! … mk !

Problema 15: Combinazioni di classe k Ovvero: scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti (n≥k). Per esempio, scegliere 3 colori da un insieme di 5 colori. Ogni scelta è equivalente a una parola di 5 lettere: 3 S (scelto) e 2 N (non scelto). Per esempio, la scelta… … corrisponde alla parola SNNSS. Ci sono tante scelte possibili quanti sono gli anagrammi della parola SNNSS, quindi: 5! = 20 3! 2! Ogni scelta di k oggetti si dice combinazione.

Problema 15: Combinazioni di classe k In generale. La scelta di k oggetti da un insieme di n oggetti si può fare in n! k! (n–k)! Questo numero è detto coefficiente binomiale e viene anche indicato con il simbolo… Il nome viene dalla formula per lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio. Infatti, nello sviluppo di (a+b)n, il coefficiente numerico della parte letterale ak·bn–k è dato dal numero di scelte possibili di k oggetti (binomi a+b che danno la lettera a) sugli n fattori. Cioè:

Problema 16: Passeggiate sulla griglia Per andare da B a C ci si può muovere soltanto lungo le strade rosa, percorribili a senso unico indicato dalle frecce. A D Quanti diversi percorsi esistono da B a C? Ad ogni incrocio esistono solo due possibilità: dirigersi a destra (D) oppure verso l’alto (A). Ogni percorso può essere rappresentato da una parola di 6 lettere: 3 D e 3 A. 6! Vi sono perciò possibili percorsi da B a C. 3! 3!

Problema 17: Palline in cassetti A) Senza condizioni particolari In quanti modi si possono distribuire 5 palline in 3 cassetti? Per la pallina blu vi sono 3 possibilità. Per la pallina rosa vi sono pure 3 possibilità (il problema non pone alcuna condizione). Idem per la nera, la bianca e la marrone. In totale si hanno: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 possibilità In generale, per collocare n palline in k cassetti si hanno: kn possibilità

Problema 17a: Numero di sottoinsiemi Quanti sottoinsiemi ha un insieme di 5 elementi? Sia I = {a,b,c,d,e}. Formare un sottoinsieme equivale a distribuire i 5 elementi in 2 cassetti: quello degli elementi scelti (S) e quello degli esclusi (E). Per esempio, formare il sottoinsieme {a,d} è come distribuire i 5 elementi di I nei 2 cassetti (S) e (E) in questo modo: a b c d e S E L’insieme I di 5 elementi ha dunque: 25 = 32 sottoinsiemi. In generale, un insieme di n elementi ha 2n sottoinsiemi.

Problema 18: Palline in cassetti Una sola pallina per cassetto (k≥n) In quanti modi si possono distribuire 4 palline in 6 cassetti? Per la pallina blu vi sono 6 possibilità. Per la pallina rossa vi sono solo 5 possibilità. Per la nera 4 e per la bianca 3. Per mettere le 4 palline nei 6 cassetti a un posto ci sono: 6 · 5 · 4 · 3 = 360 possibilità. In generale, per mettere n palline in k cassetti a un posto ci sono: k · (k–1) · (k–2) · … (k–n+1) possibilità

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