Determinanti del primo ordine I DETERMINANTI Ad ogni matrice quadrata A di ordine n risulta sempre possibile associare un numero reale che chiameremo determinante di A An det A = |A| Determinanti del primo ordine n = 1 A1 = (a11) det A1 = |A1| = a11 A1 = (2) det A1 = |A1| = 2

Determinanti del secondo ordine det A2 = |A2| = a11a22a12a21 det A2 = |A2| = = (1)(1)(1)(3) = 13 = 4 = det A2 = |A2| = = (4)(0)(1)(3) = 03 = 3 =

Determinanti del terzo ordine det A3 = |A3| = = a11a22a33+ a12a23a31+a13a21a32+ (a13a22a31+ a11a23a32+ a12a21a33) Prima regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice A basta riscrivere, accanto alla matrice A, le prime due colonne di A e poi sommare tra di loro i prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali principali a cui vanno sottratti tutti i prodotti degli elementi situati sulle diagonali secondarie Metodo di Sarrus

det A3 = |A3| = = = = = 21+72+80[210+32+18] = = 173260 = 87 = (1)(7)(3) + (3)(4)(6) + (5)(2)(8) + ] = [ (5)(7)(6) + (1)(4)(8) + (3)(2)(3) = 21+72+80[210+32+18] = = 173260 = 87 = det A3 = |A3| = = = (3)(4)(5) + (2)(2)(3) + (1)(5)(7) + ] = [ (1)(4)(3) + (3)(2)(7) + (2)(5)(5) = 60+1235[124250] = = 37[104] = +141

Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce minore complementare Aij dell’elemento generico aij della matrice A il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce complemento algebrico Aij dell’elemento generico aij della matrice A il minore complementare di aij, preso con il segno positivo o negativo a seconda che i+j sia rispettivamente pari o dispari Aij = (1)i+jAij

A11 = =(2132)=11 è il minore complementare di a11=1 A12 = =(624)=18 è il minore complementare di a12=3 A13 = =(1642)=26 è il minore complementare di a13=5

=(940)=31 =(330)=27 =(818)=10 =(1235)=23 =(410)=6 =(76)=+1 A21 = =(940)=31 è il minore complementare di a21=2 A22 = =(330)=27 è il minore complementare di a22=7 A23 = =(818)=10 è il minore complementare di a23=4 A31 = =(1235)=23 è il minore complementare di a31=6 A32 = =(410)=6 è il minore complementare di a32=8 A33 = =(76)=+1 è il minore complementare di a33=3

A11 = (1)i+jAij = (1)1+1A11 = +(2132)=11 è il complemento algebrico di a11=1 A12 = (1)i+jAij = (1)1+2A12 = (624)=+18 è il complemento algebrico di a12=3 A13 = (1)i+jAij = (1)1+3A13 = +(1642)=26 è il complemento algebrico di a13=5

A21 = (1)i+jAij = (1)2+1A21 = (940)=+31 è il complemento algebrico di a21=2 A22 = (1)i+jAij = (1)2+2A22 = +(330)=27 è il complemento algebrico di a22=7 A23 = (1)i+jAij = (1)2+3A23 = (818)=+10 è il complemento algebrico di a23=4 A31 = (1)i+jAij = (1)3+1A31 = +(1235)=23 è il complemento algebrico di a31=6 A32 = (1)i+jAij = (1)3+2A32 = (410)=+6 è il complemento algebrico di a32=8 A33 = (1)i+jAij = (1)3+3A33 = +(76)=+1 è il complemento algebrico di a33=3

Data una qualunque matrice A di ordine mn si definisce minore estratto dalla matrice A il determinante ottenuto da A cancellando i righe e j colonne in modo tale che risulti m–i = n–j Ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta un minore del primo ordine N.B.! Data una qualunque matrice rettangolare A di ordine mn risulta sempre possibile calcolare i suoi minori aventi per ordine il più piccolo tra i numeri m ed n

n = 2 < m = 3 sono i minori estraibili da A del secondo ordine sono i minori estraibili da A del primo ordine |1|, |2|, |3|, |5|, |7|, |9| m = 2 < n = 3 sono i minori estraibili da A del secondo ordine sono i minori estraibili da A del primo ordine |1|, |2|, |3|, |2|, |1|, |0|

m = 3 < n = 4 sono tutti i minori estraibili da A del terzo ordine sono solo alcuni minori estraibili da A del secondo ordine

Per calcolare il determinante di una matrice A di ordine n  3 (n = 3, 4, 5, 6, …) occorre fissare una riga (o colonna) a proprio piacere e poi sommare i prodotti degli elementi di tale riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici

si fissa a priori una riga (o una colonna) a proprio piacere Seconda regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice A di ordine n  3 (n = 3, 4, 5, 6, …) si procede come segue: si fissa a priori una riga (o una colonna) a proprio piacere si applica la regola dei segni (si parte sempre dall’elemento a11, a cui va attribuito il segno positivo; si procede, per righe e per colonne, mai per diagonali, a segni alterni; il procedimento si arresta nel momento in cui, a ciascun elemento della riga o colonna scelta a priori, è stato attribuito un segno) si sommano i prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi della riga (o colonna) scelta per i propri minori complementari Metodo di LAPLACE

RIASSUMENDO SARRUS LAPLACE LAPLACE A è una matrice quadrata di ordine n = 3 SARRUS LAPLACE A è una matrice quadrata di ordine n  4 (n = 4, 5, 6, …) LAPLACE

fissiamo, ad esempio, la prima riga SARRUS n = 3 = det A3 = |A3| = 141 (cfr. slide 11) LAPLACE fissiamo, ad esempio, la prima riga per la regola dei segni + +

det A3 = |A3| = = 141 N.B.! Nel caso di una matrice quadrata A di ordine n è sempre possibile calcolare il suo determinante applicando indifferentemente uno dei due metodi proposti

fissiamo, ad esempio, la terza riga LAPLACE n = 4 fissiamo, ad esempio, la terza riga per la regola dei segni + + + det A4 =

Risulta ora possibile calcolare i determinanti del terzo ordine, utilizzando uno dei due metodi, in maniera del tutto arbitraria Nel caso in esame sarà sufficiente calcolare gli ultimi due determinanti di ordine 3 (gli altri sono moltiplicati per 0, quindi il risultato del prodotto sarà nullo!!!) det A4 = = 16 N.B.! Come risulta facilmente intuibile dall’esempio, nell’utilizzare il metodo di Laplace conviene fissare sempre una riga (o una colonna) nella quale ci sia un maggior numero di zeri (i calcoli si semplificano!!!)