Progettazione ottimizzata di dispositivi elettromagnetici Ing. Nunzio Salerno Modelli numerici per campi e circuiti - A.A

Esempio di progettazione ottimizzata Heating Inductor I=712 Af=4 kHz  =660  cm Trovare la posizione assiale delle spire che permette di riscaldare uniformemente un disco di grafite ad una temperatura di °C  20°C per un periodo di tempo prefissato

Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor Viene prima risolto quello termico determinando la densità di potenza che rende la temperatura uniforme nel disco di grafite. Il problema è di tipo accoppiato: elettromagnetico – termico. #

L’obiettivo della procedura di ottimizzazione è trovare la posizione verticale delle spire dell’induttore che realizza la densità di potenza desiderata. Le prime 2 spire sono fisse a 16 mm dal disco. Le altre 10 si possono muovere verticalmente e la loro distanza p k dal disco può variare tra 16 e 41 mm. Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor L'obiettivo viene perseguito minimizzando lo scarto quadratico medio tra i valori della densità di potenza ottenuti mediante la soluzione del problema di campo elettromagnetico P i e quelli desiderati P 0i (in 55 nodi equidistanti posti sull’asse orizzontale del disco): #

I parametri (o le variabili) di progettazione sono le posizioni delle 10 spire che si possono muovere: n=10. In teoria le spire possono assumere una qualsiasi posizione distante tra 16 e 41 mm dal disco. In pratica occorre definire una distanza minima ( , in mm) al di sotto della quale non è possibile controllare, con precisione, lo spostamento della spira. Si ottiene quindi un numero finito di possibili posizioni per ogni spira pari a: pp = int[(41-16)/  ]; per un totale di pp n combinazioni. Se per esempio poniamo  =0.2mm otteniamo pp=125 e quindi (~10 21 ) possibili configurazioni delle spire! Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

1.Calcoliamo tutte le configurazioni → ricerca esaustiva 2.Procediamo per tentativi → ricerca casuale 3.Usiamo una tecnica di O TTIMIZZAZIONE → ricerca guidata Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor # Come facciamo a trovare la configurazione delle spire che meglio approssima la curva della densità di potenza?

1.Fissiamo la prima configurazione delle spire. 2.Risolviamo il problema di campo elettromagnetico con un metodo numerico: per esempio il FEM. 3.Calcoliamo la curva della densità di potenza. 4.Confrontiamo la curva ottenuta con quella desiderata calcolando la funzione obiettivo f. 5.Ripetiamo la procedura per tutte le possibili configurazioni. 6.La configurazione con il valore più piccolo della funzione obiettivo f è quella cercata. Ovviamente questa strada è praticabile se il numero di configurazioni possibili è basso: non è il nostro caso! Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

1.Scegliamo una configurazione delle spire a caso. 2.Risolviamo il problema di campo elettromagnetico con un metodo numerico: per esempio il FEM. 3.Calcoliamo la curva della densità di potenza. 4.Confrontiamo la curva ottenuta con quella desiderata calcolando la funzione obiettivo f. 5.Ripetiamo la procedura per un certo numero ragionevole di possibili configurazioni (scelte casualmente). 6.La configurazione con il valore più piccolo della funzione obiettivo f è la soluzione. Quante probabilità abbiamo di trovare quella ottima? Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

SA Risultati ottenuti con circa 3000 valutazioni della funzione obiettivo f GA

La moderna progettazione industriale di dispositivi elettromagnetici è affrontata mediante tecniche di ottimizzazione che guidano il progettista nella ricerca della configurazione migliore. Esempio di progettazione ottimizzata - Heating Inductor #

Definizioni Prestazioni (caratteristiche, risposte, performance) da migliorare → obiettivo dell’ottimizzazione → funzione obiettivo Parametri (variabili, gradi di libertà) da modificare → parametri dell’ottimizzazione → variabili della funzione obiettivo Configurazione migliore → ottimo → min/max funzione obiettivo Definizioni e teoria dell’ottimizzazione

Ottimizzare = minimizzare o massimizzare Definizioni e teoria dell’ottimizzazione min f(x), con x=(x 1, x 2, …,x n ) T c i (x)=0, i=1,…,m’ c i (x)  0, i=m’,…,m f(x):funzione obiettivo x: parametri ottimizzazione c(x):vincoli Ottimizzazione

Condizioni di minimo Ottimo locale x* è un minimo locale di f(x) se: f(x*) < f(x)  x  N(x*,  ), x  x*, N(x*,  ) intorno di x* grad[f(x*)] =0 H(x*) definito positivo Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Ottimo globale x* è un minimo globale di f(x) se: f(x*) < f(x)  x  V(x), x  x*, V(x) insieme dei possibili valori di x (SPAZIO DI RICERCA)

Ottimizzazione vincolata Il problema è più complesso nel caso di ottimizzazione vincolata perché il minimo globale può trovarsi ad una estremità: Definizioni e teoria dell’ottimizzazione

Problema –continuo –discreto –combinatorio Funzione obiettivo –multivariabile –multimodale –multiobiettivo può non essere nota la forma analitica Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Classificazione

Ordine: 0→ calcolo di f(x ) (metodo del simplesso, HJ ) 1→ gradiente di f(x ) (gradiente coniugato ) 2→ Hessiano di f(x ) (metodi di Newton ) All’aumentare dell’ordine: –convergenza sempre più veloce –complessità di calcolo maggiore In ogni caso la soluzione dipende dal punto di partenza Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Metodi deterministici

Ottimo globale anche in presenza di più minimi Teoria matematica debole Regole empiriche ed euristiche Metodi dell’ultima risorsa –Genetic algorithms (GA) and Evolutionary strategies (EA) –Simulated annealing (SA) –Particle swarm optimization (PSO) –Artificial immune systems (AIS) –Ant colony optimization (ACO) Definizioni e teoria dell’ottimizzazione Metodi stocastici

NO FREE LUNCH TEOREM(S) Esiste un algoritmo di ottimizzazione migliore di tutti gli altri? No Free Lunch Theorem(s) “For any pair of search algorithms, there are "as many" problems for which the first algorithm outperforms the second as for which the reverse is true. One consequence of this is that if we don't put any domain knowledge into our algorithm, it is as likely to perform worse than random search, as it is likely to perform better. This is true for all algorithms.” Non è possibile quindi trovare un algoritmo di ottimizzazione che sia sempre migliore di tutti gli altri algoritmi, ma è possibile che un determinato algoritmo abbia, su una ristretta classe di problemi, un comportamento migliore degli altri. Definizioni e teoria dell’ottimizzazione

Metodi deterministici a)Steepest descent Newton b)Gradiente Coniugato Lineare c)Gradiente Coniugato non Lineare d)Quasi-Newton (Davidon, Fletcher-Powell – DFP) e)Hooke – Jeeves o Pattern Search f)Metodo del simplesso

Algoritmo di Hooke-Jeeves (Pattern search) x0x0 x NEW f NEW <f LAST =No x NEW f NEW <f LAST =Yes x NEW f NEW <f LAST =Yes f NEW <f LAST =YES x NEW x 0 = x NEW +(x NEW – x 0 ) x0x0 x NEW f NEW <f LAST =No x NEW f NEW <f LAST =No x NEW f NEW <f LAST = f NEW <f LAST =No x NEW f NEW <f LAST =No x NEW Step-size Accuracy x NEW f NEW <f LAST =No

Metodo del simplesso (downhill simplex method) Differentemente dal pattern search, nel metodo del simplesso si utilizza, per la descrizione dello stato del sistema, piuttosto che un singolo punto, un simplesso di N+1 vertici (dove N è il numero di variabili del problema di ottimizzazione) la generazione delle nuove configurazioni avviene attraverso i movimenti del simplesso nello spazio

Movimenti del simplesso Simplesso iniziale Riflessione Espansione Contrazione Contrazione globale

Gli algoritmi genetici (GA)23 Gli algoritmi genetici (GA) Si ispirano al meccanismo dell’evoluzione Viene creata una popolazione di individui che si riproduce ed evolve, di generazione in generazione, selezionando gli individui migliori cioè quelli che meglio si adattano ad un determinato ambiente.

Gli algoritmi genetici (GA)24 viene generata una popolazione iniziale di individui mediante un meccanismo di riproduzione vengono generati nuovi individui, manipolando il materiale genetico della popolazione iniziale gli individui competono tra loro e quelli che meglio si adattano all’ambiente hanno maggiori probabilità di sopravvivenza e di trasmettere il patrimonio genetico alle generazioni future la popolazione evolve, di generazione in generazione, incrementando il numero degli individui migliori in essa presenti. Passi salienti del processo fisico

25 Modello matematico riproduzionecrossover, mutation individuo miglioreottimo globale competizioneselection adattamento all’ambientef(x), fitness individuox Gli algoritmi genetici (GA)

26 NO Reproductive cycle Initial population Fitness evaluation Start Stop criterion satisfied? SELECTION #1,#2 CROSSOVER p cross MUTATION p mut Fully populated? NO YES Genetic algorithm Stop YES Gli algoritmi genetici (GA)

27 Teoria matematica Parallelismo implicito Teorema degli schemi Bilanciamento tra exploration ed exploitation Gli algoritmi genetici (GA)

28Gli algoritmi genetici (GA)

29Gli algoritmi genetici (GA)

30 1.Codifica delle soluzioni 2.Popolazione iniziale 3.Calcolo della fitness 4.Selezione 5.Applicazione degli operatori 6.Iterazione e criterio di stop Realizzazione dell’algoritmo Gli algoritmi genetici (GA)

31 Codifica delle soluzioni Codifica binaria o con numeri reali. Codifica binaria standard, codifica di Gray. N s : numero di bit; risoluzione discretizzazione variabile continua Cromosoma: unione delle stringhe binarie che rappresentano le variabili. Ogni bit è detto gene. Il valore che può assumere il bit (0,1) è detto allele. La lunghezza L c del cromosoma: L c =N s1 + N s2 +… +N sN Dimensione dello spazio di ricerca: 2 L c Gli algoritmi genetici (GA)

32 Popolazione iniziale La popolazione iniziale viene creata generando gli individui in maniera casuale. Il numero N p di cromosomi generati è la dimensione della popolazione N p è scelto in maniera euristica ed è dipendente dalla natura della funzione obiettivo e dalle dimensioni dello spazio di ricerca Negli AG standard N p rimane fisso durante l’evoluzione Gli algoritmi genetici (GA)

33 Fitness e funzione obiettivo La funzione obiettivo gioca il ruolo dell’ambiente nel corso dell’evoluzione. funzione obiettivo = fitness dell’individuo? Sì, in genere, a meno di scaling, ranking o normalizzazioni. Eventuali vincoli di eguaglianza possono essere trattati inserendo termini penalizzanti nella funzione obiettivo. Nell’ottimizzazione di dispositivi elettromagnetici, il calcolo della funzione obiettivo può comportare un’analisi FEM. Gli algoritmi genetici (GA)

34 Selection roulette wheel:  la popolazione è rappresentata mediante una ruota di roulette con i settori proporzionali alla fitness degli elementi; la pallina viene lanciata N p volte e gli elementi che hanno fitness migliore hanno probabilità maggiore di essere scelti. tournament selection:  vengono scelti 2 individui a caso e quello tra i due che ha la fitness migliore viene copiato nella nuova popolazione; l’operazione viene ripetuta N p volte; prima della selezione gli individui vengono mescolati (shuffle). Gli algoritmi genetici (GA)

35 Si può riportare nella nuova generazione l’elemento migliore della precedente popolazione: elitismo. Alla fine della selezione gli individui della popolazione intermedia vengono mischiati casualmente Gli algoritmi genetici (GA)

36 Operatori genetici Per ogni coppia, il crossover viene applicato con probabilità P c punto punti genitorifigli Crossover Gli algoritmi genetici (GA)

37 Mutation Per ogni individuo, la mutation viene applicata con probabilità P m. L’operatore di crossover ricombina il materiale genetico esistente (favorendo l’exploitation). L’operatore di mutation introduce nuovo materiale genetico (favorendo l’exploration). P c e P m si scelgono in maniera euristica e in genere P m <P c (possono variare durante l’evoluzione) Gli algoritmi genetici (GA)

38 Selection Crossover Mutation Gli algoritmi genetici (GA)

39 Criterio di arresto Il meccanismo di selezione, ricombinazione e calcolo della fitness viene iterato. L’evoluzione termina quando viene raggiunto l’ottimo, se questo è noto. Altrimenti l’evoluzione termina quando:  viene raggiunto il numero massimo N g di generazioni; il numero totale N t di valutazioni della funzione obiettivo N t = N p * N g  un indicatore di convergenza (uniformità della popolazione, mancanza di progressi nell’evoluzione) raggiunge un determinato valore Gli algoritmi genetici (GA)