Istituto Tecnico Industriale Stanislao Cannizzaro C a t a n i a STATICA E DINAMICA DEI LIQUIDI Prof. Ernesto Trinaistich

P = H * g ; L’unità di misura è (Pascal ) ; g= STATICA DEI LIQUIDI I liquidi, incomprimibili, in quiete si trovano in condizioni di equilibrio statico. La legge di Stevin afferma che la pressione idrostatica di un liquido dipende dall‘altezza di esso e dal peso specifico. Si definisce pressione l‘effetto del peso del liquido sulla superficie. peso liquido volume * peso specifico Pressione = = = area di base area di base L’equazione dimensionale della pressione è: P = F*s-1 = m*a*l-2 = m*l t-2 *l-2 = m* l-1* t-2 area di base * altezza * peso specifico P= = altezza * peso specifico area di base N N P = H * g ; L’unità di misura è (Pascal ) ; g= m2 m3

La legge di Stevin afferma che la pressione in un fluido dipende dalla profondità a cui viene misurata: P2 = P1 + g *(∆h) . Ovvero se due punti si trovano a diversa altezza nel fluido la pressione sarà maggiore nel punto a profondità maggiore, inoltre in due punti che si trovano alla stessa altezza nel fluido la pressione è la stessa. Questa equazione ci dice che una delle cause della pressione è la forza peso esercitata dagli strati di fluidi sovrastanti il volume interessato. Considerando il cilindro pieno di liquido, con P1 pressione relativa alla minore altezza dall’alto, la P2, considerata a maggiore profondità, risulta dalla somma di P1 e l’apporto di Pressione relativo a ∆ h. La pressione è funzione lineare della profondità H. H P1 ∆ h P2

Altre unità di misure relative alla pressione sono: Atmosfere Atm – 1 atm corrisponde al peso di una colonna di mercurio alta 76 cm contenuta in un tubo di 1 cm2 di sezione. Atmosfere tecniche At – Pressione espressa come Kg / cm2 L’equazione fondamentale della statica mette in relazione le forme di energia possedute da un liquido in quiete. Esse sono: Energia interna: è una funzione di stato, essendo i liquidi incomprimibili non dipende dalla pressione. Energia potenziale: è l’energia posseduta dalla massa del liquido ad una certa quota h (altezza). F potenziale = m*g*h joule. m è la massa, g l’accelerazione di gravità e h l’altezza.

g Energia di pressione: rappresenta il lavoro che il liquido, ad una certa quota, può fare. Per comprendere meglio immaginiamo un liquido dentro un recipiente e una quota sistemiamo un tubo ad U. Aprendo la valvola Il liquido sale di una altezza pari ad H. La pressione idrostatica ha compiuto lavoro, dato da forza per spostamento: L = m*g*H. Da Stevin la P è = g * H da cui H = P/ g . m*g * P I = Da cui E (pressione ) = H+h = I H h g

Definizione delle forme di energie possedute da un liquido, vediamo alcuni casi: Liquido in superficie - la quota è tutta I, mentre H=0 (profondità) Epotenziale = m*g*I E pressione = m*g*H = 0 E Etotale = Epot.+ Epress. = m*g*I Liquido quota fondo - h=0 H=I Epot: = 0 Epress. = m*g*I Si nota che in entrambi i casi l’E totale ha lo stesso valore. Per quote intermedie si ha: Etot:= Epot.+ Epress. = m*g*h + m*g*H = m*g*(h+H)= m*g*I A qualsiasi quota l’E totale ha lo stesso valore pertanto è costante. Questa ci dice che le Energie possedute dalle particelle di liquido possono trasformarsi vicendevolmente ma la somma resta costante. H h

P P Si può scrivere Etot:= m*g*h + m*g* (dividendo per m*g si ha:E= h + g g Che rappresenta l’Equazione fondamentale della statica. Ogni termine rappresenta l’energia per unità di massa di liquido ed ha dimensioni di una lunghezza e viene misurato in metri. Per effettuare misure di pressione i metodi che sfruttano i principi della statica dei fluidi sono quelli che si basano sulle variazioni di quota raggiunte da colonne di liquido sottoposte a pressioni di riferimento o a pressioni incognite. Gli strumenti di misura della pressione sono: BAROMETRI A MERCURIO per le misure di pressione atmosferica; MANOMETRI A LIQUIDO per le misure di una qualsiasi pressione incognita assoluta o in riferimento alla pressione atmosferica. BAROMETRI METALLICI per le misure indirette di pressione atmosferica;

La colonna si alzerà tanto quanto necessario ad Il barometro di Torricelli è uno strumento a mercurio per la misura della pressione atmosferica, consiste in un lungo tubo di vetro riempito di mercurio e immerso con l'estremità aperta in una bacinella piena anch'essa di mercurio. Lo spazio all'interno del tubo al di sopra della colonna di mercurio contiene solo vapori di quest'ultimo, la cui pressione alle temperature ordinarie è trascurabile. La colonna si alzerà tanto quanto necessario ad equilibrare la pressione atmosferica esercitata sulla superficie libera del fluido della bacinella : se indichiamo con p2 = 0 la pressione alla sommità della colonna ( a quota y2 ) e con patm la pressione sulla superficie a quota y1 del mercurio della vaschetta, la legge di Stevin nella forma P2 = P1 + ρ * g *(y2 – y1) dà P atm = ρ * g *h dove h = y2 – y1 e ρ la densità Pressione atmosferica

I manometri misurano pressioni sfruttando il fatto che la differenza di pressione è direttamente proporzionale alla profondità del fluido. Essi sono costituiti da un tubo ad U collegato ad una estremità alla pressione P da misurare e l'altra è aperta all'aria: nel tubo è contenuto un liquido manometrico di densità conosciuta. Con questo tipo di manometro si misura la pressione differenziale (o relativa) P – Patm che è data da ρ * g *h dove h è la differenza tra le estremità delle colonne di liquido nei rami del tubo. La pressione assoluta è quella realmente esistente dentro il serbatoio e si ottiene da quella differenziale aggiungendovi patm misurata a parte.

I barometri metallici sono utilizzati per misure rapide (anche se non molto precise) e richiedono una preliminare taratura con un barometro a mercurio. Il barometro olosterico è costituito da una scatola metallica vuota internamente e chiusa superiormente da una superficie flessibile e ondulata per aumentare la superficie esposta. Le deformazioni subite dal coperchio, dovute alla pressione atmosferica, sono equilibrate da una molla elastica e, dopo essere state opportunamente amplificate, trasmesse ad un indice che si muove su un quadrante. Le variazioni di pressione atmosferica producono quindi spostamenti dell'indice che, una volta tarato attraverso un barometro a mercurio, permette una lettura diretta della pressione (anche se la misura è indiretta).

DINAMICA DEI LIQUIDI Supponiamo di avere una condotta di sezione variabile. Per ipotesi il fluido sia incomprimibile ad un certo volume di fluido entrante nel tubo corrisponderà un ugual volume di fluido uscente . Se all'entrata, nel punto 1, la velocità del fluido è e la sezione del condotto è A1, nell'intervallo di tempo sarà passato un volume di fluido (Vol = area di base * altezza) Nel punto 2 la velocità del fluido non sarà necessariamente la stessa del punto 1 : sarà corrispondente ad una sezione A2 del tubo. Nello stesso intervallo di tempo uscirà quindi dal punto 2 un volume di fluido Con A si indica la sezione. Per l'incomprimibilità del fluido questi volumi saranno uguali e quindi : dividendo entrambi per si ha Questa equazione è detta “equazione di continuità”.

Qv = A * Vel = cost. La grandezza A* Vel. è detta portata in volume Qv D’all'equazione di continuità si deduce che: in una corrente stazionaria di un fluido incomprimibile la portata in volume ha lo stesso valore in ogni punto della condotta: Qv = A * Vel = cost.  

DINAMICA DEI LIQUIDI   Il moto di un fluido in una condotta può avere un andamento laminare cioè a strati sovrapposti dove la velocità è massima al centro e assume un profilo con il vettore velocità massimo al centro, oppure turbolento, quando a seguito della maggiore velocità le particelle del fluido hanno andamento irregolare creando microvortici e il moto non avviene a strati. Il profilo della velocità diventa meno pronunziato, la velocità al centro e in prossimità delle pareti è paragonabile. moto laminare b) moto turbolento (la velocità in (al centro più veloce) prossimità delle pareti è simile a quella al centro) La distinzione dipende quindi da fattori tipo: velocità, densità, viscosità. Reynolds raggruppò questi fattori in una espressione detta “numero di Reynolds : Re ” : ρ * Ve * D ρ = densità Re = μ = viscosità μ Ve = velocità D = diametro

il risultato è un numero adimensionale il cui valore qualifica il moto. Se Re è < 2000 il moto è laminare, se è > 4000 il moto è turbolento. ρ = densità in Kg/m3 , V= velocità m/s, D = diametro in m , μ = viscosità in Kg/ m* s.   In regime stazionario, cioè costanza della portata ( Q = Ve * A ) e senza variazione di Energia, in ogni punto della condotta la somma delle Energie: geodetica h, piezometrica P/γ e cinetica Ve2 /2g è costante. L’enunciato rappresenta il “Principio di Bernoulli” la cui equazione è : P 1 Etot.= EPot. + E Press. + P Cin. = mgh + mg + mVe2 γ 2 che dividendo per mg diventa: P Ve2 Et= h + + = costante ( in metri di colonna di liquido.) γ 2g

E Energia totale Verso fluido Rappresentazione dei vettori energia in una condotta avente diametro costante, velocità costante, senza perdite di carico. I vettori, di diverso colore, rappresentano le forme di energia. La E totale, come sempre, si conserva. Energia totale E V1 2 2g P1 γ h1 V2 2 2g P2 γ h2 Energia cinetica Energia piezometrica Verso fluido Energia geodetica condotta Come si vede non c’è nessuna variazione nelle varie forme di energia: Cinetica , di pressione e geodetica.

I pedici 1 e 2 si riferiscono a 2 sezioni della stessa corrente liquida; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci macchine operatrici; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci ingressi o uscite di liquido; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci forniture o sottrazioni di calore; il liquido deve essere incomprimibile; la condotta deve essere indeformabile; il regime deve essere permanente (stazionario). Dal punto di vista dimensionale, il principio di Bernoulli si può interpretare in due modi: come quota da misurare in metri; come energia da misurare in Joule.

quota o altezza geodetica: [h] = [m]; come quota: quota o altezza geodetica: [h] = [m]; quota o altezza piezometrica: [p / γ] = [(kgp / m2) / (kgp / m3)] = [m]; quota o altezza cinetica: [v2 / g] = [(m2 / s2) / (m / s2)] = [m]. E’ possibile visualizzare su un grafico le energie presenti in due distinti punti della condotta e la E totale rappresentata dalla “Linea dei carichi totali”.

Condotta in salita, sezione costante: in questo caso l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; diminuisce però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Carichi totali v12/ 2g v22/ 2g Linea piezometrica P1/ γ P2/ γ Verso di percorrenza Linea geodetica h2 h1 h1 < h2;       v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo     v1 = v2 ;     quindi        p1 / γ > p2 / γ.. L'aumento di quota si è verificato a spese della pressione.

Condotta in salita, sezione variabile: in questo caso l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica non è orizzontale, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro è minore, più vicina dove il diametro è maggiore ; inoltre, per l’inclinazione, diminuisce la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Carichi totali v22/ 2g v12/ 2g Linea piezometrica P2/ γ P1/ γ Verso di percorrenza h1 h2 Linea geodetica h1 < h2; v12 / 2 g > v22 / 2 g   ;    essendo       v1 > v2;    sarà        p1 / γ > p2 / γ

Condotta in discesa, sezione costante: in questo caso l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; aumenta però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale. Linea dei Carichi totali v12/ 2g v22/ 2g Linea piezometrica P1/ γ P2/ γ Linea geodetica Verso di percorrenza h1 h2 h1 > h2;        v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo      v1 = v2;     quindi       p1 / γ < p2 / γ. La diminuzione di quota si è trasformata in aumento di pressione.

E Condotta in discesa e diminuzione di diametro. Si ha un aumento di velocità dovuto alla strozzatura . E V1 2 2g P1 γ h1 V2 2 2g P2 γ h2 La retta rossa in alto rappresenta l’energia totale. Essa non varie perché non sono presenti perdite di carico ( di energia) h1 > h2;    v12 / 2 g < v22 / 2 g    essendo v1 < v2;    quindi  p1 / γ < p2 / γ. Si ha aumento della velocità e della pressione a spese del dislivello.

Liquidi reali: La caratteristica dei liquidi reali è che hanno una viscosità diversa da zero. Nel movimento lungo la condotta, a seguito dell’attrito che incontrano i vari strati a scorrere gli uni sugli altri,si verifica la progressiva diminuzione dell’energia totale posseduta dal liquido. L’equazione di Bernoulli per i liquidi reali è: P1 V12 P2 V22 h1 + + = h2 + + + ΣY γ 2g γ 2g Con Σ Y i si indicano le dissipazioni di energia per unità di peso di fluido. Esse si misurano in metri . La linea dei carichi totali (energia totale) non sarà più orizzontale ma inclinata. Se h non varia così come la sezione ( e quindi la velocità) le perdite di carico non influenzano tutte le forme di energia ma solamente l’energia di pressione (energia piezometrica p / γ ).

Σ Y rappresentano le perdite di carico misurate in metri di colonna di liquido. m.c.l Perdite di carico ΣY V1 2 2g P1 γ h1 V2 2 2g P2 γ h2 Verso fluido

Le perdite di carico si distinguono in continue dovute alla natura del fluido, del diametro D del tubo e tipo e natura del tubo, e in localizzate dovute alla presenza nella condotta di pezzi speciali, tipo: gomiti più o meno chiusi, valvole, pompe ecc. Per la determinazione delle perdite di carico continue viene utilizzata l’equazione di Fanning:   L * V2 ΣY = f * D * 2g in cui si tiene conto della lunghezza del tubo L, del suo diametro D e della Energia cinetica. f rappresenta il fattore di attrito, esso dipende dalla scabrezza interna del tubo e dal numero di Reynolds : Re. ε Si definisce “scabrezza relativa” : D dove ε dipende dalla rugosità interna del tubo.

64 In regime laminare il fattore di attrito: f è = Re Mentre per il moto turbolento per determinare f si fa uso di grafici. Il primo grafico permette la determinazione della scabrezza relativa ε D conoscendo D e la natura del tubo. Un secondo grafico (Abaco di Moody) permette la determinazione di f una volta conosciuta la scabrezza relativa, prima calcolata, e il valore del numero di Re. Nel caso di presenze di perdite di carico localizzate, si usa sempre l’espressione di Fanning vista prima, dove alla lunghezza del tubo L vanno aggiunte le perdite di carico localizzate, considerate come lunghezze aggiuntive del tubo. Cioè ad ogni pezzo va attribuita una lunghezza in metri calcolata in dipendenza del diametro D e al tipo di pezzo.

Unendo con una retta il valore del diametro D riportato a destra nel grafico con il tipo di pezzo riportato a sinistra nel grafico, si identifica al centro il valore della lunghezza in metri da attribuire al pezzo, che va aggiunta, come detto, alla lunghezza del tubo. LTtotale = L (lunghezza del tubo) + L1 (dovuta al primo pezzo) + L2 (dovuta al secondo pezzo) e così via.

L‘ EFFETTO VENTURI Se la velocità di un fluido aumenta, la pressione diminuisce. Questo fenomeno è detto effetto Venturi. Esso si dimostra attraverso l'equazione di continuità e l'equazione di Bernoulli. .Prendiamo infatti un tubo con una strozzatura orizzontale come quello della figura : Essendo entrambe le sezioni alla stessa quota l'equazione di Bernoulli non contiene il termine e diventa : Tenendo presente che per il flusso di un fluido vale anche l'equazione di continuità, essendo il prodotto Av costante, si avrà che ad una diminuzione della sezione corrisponde un aumento delle velocità ; tale aumento di velocità nella strozzatura, poiché la somma dei termini nell'equazione sopra deve anch'essa rimanere costante, si traduce in una diminuzione della pressione nella zona a sezione ridotta del tubo.

Fine